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浙江大学远程教育学院《工程数学》课程作业姓名：学号：年级：学习中心：—————————————————————————————《复变函数与积分变换》第一章1.1计算下列各式：（2）、（a-bi）3解（a-bi）3=a3-3a2bi+3a(bi)2-(bi)3=a3-3ab2+i(b3-3a2b)；（3）、；解====1.2、证明下列关于共轭复数的运算性质：（1）；证()-i()==（2）证===--==()()=--即左边=右边，得证。（3）=(Z2≠0)证==（）====1.4、将直线方程ax+by+c=0(a2+b2≠0)写成复数形式［提示：记x+iy=z］z+A+B=0，其中A=a+ib，B=2C(实数)。解由x=，y=代入直线方程，得()+()+c=0,az+-bi()+2c=0,(a-ib)z+(a+ib)+2c=0,故z+A+B=0，其中A=a+ib，B=2C1.5、将圆周方程a(x2+y2)+bx+cy+d=0(a≠0)写成复数形式（即用z与来表示，其中z=x+iy）解：x=，y=，x2+y2=z代入圆周方程，得az+()+()+d=0，2az+(b-ic)z+(b+ic)+2d=0故Az++B+C=0，其中A=2a，C=2d均为实数，B=b+ic。1.6求下列复数的模与辅角主值：（1）、=2，解arg()=arctan=。1.8将下列各复数写成三角表示式：（2）、i；解=1,arg()=arctan()=-a故i=+i。1.10、解方程：Z3+1=0解方程Z3+1=0，即Z3=-1，它的解是z=，由开方公式计算得Z==+i，k=0,1,2即Z0==+i，Z1==1，Z2=+i=i。1.11指出下列不等式所确定的区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？（1）、2＜＜3；解圆环、有界、多连域。（3）、＜argz＜；解圆环的一部分、单连域、有界。（5）、Rez2＜1；解x2-y2＜1无界、单连域。（7）、＜；解从原点出发的两条半射线所成的区域、无界、单连域；第二章2.2下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？（1）f(z)=z2；解f(z)=z2=·z·z=·z=(x2+y2)(x+iy)=x(x2+y2)+iy(x2+y2)，这里u(x,y)=x(x2+y2),v(x,y)=y(x2+y2)。ux=x2+y2+2x2，vy=x2+y2+2y2，uy=2xy，vx=2xy。要ux=vy，uy=-vx，当且仅当x=y=0，而ux,vy，uy,vx均连续，故f(z)=·z2仅在z=0可导；z≠0不可导；复平面上处处不解析；（2）、f(z)=x2+iy2；解这里u=x2,v=y2,ux=2x,uy=0,vx=0,vy=2y，四个偏导数均连续，但ux=vy，uy=-vx仅在x=y处成立，故f(z)仅在x=y上可导，其余点均不可导，复平面上处处不解析；2.3确定下列函数的解析区域和奇点，并求出导数：（1）、；解f(z)=是有理函数，除去分母为0的点外处处解析，故全平面除去点z=1及z=-1的区域为f(z)的解析区域，奇点为z=±1，f(z)的导数为：f’(z)=)’=则可推出==0，即u=C(常数)。故f(z)必为D中常数。2.9由下列条件求解析函数f(z)=u+iv（1）、u=(x-y)(x2+4xy+y2)；解因==3+6xy-3，所有v=dy=+3x-+（x），又=6xy+3+’（x）,而=3-3，所以’（x）=-3，则（x）=-+C。故f(z)=u+iv=(x-y)(+4xy+)+i(-+C)=(1-i)(x+iy)-(1-i)(x+iy)-2(1+i)-2x(1-i)+Ci=z(1-i)()-2xyi·iz(1-i)+Ci=(1-i)z(-2xyi)+Ci=（1-i）z3+Ci（3）、u=2(x-1)y，f(0)=-i；解因=2y，=2(x-1)，由f(z)的解析性，有==2(x-1)，v=dx=+（y），又==2y，而=’（y），所以’（y）=2y，（y）=+C，则v=++C，故f(z)=2y+i(++C)，由f(2)=i得f(2)=i(1+C)=,推出C=0。即f(z)=2y+i()=i(+2z)=i(1z)2（4）、u=(x)，f(0)=0；解因=(x)+，=(-x)，由f(z)的解析性，有==，==(x)+。则v(x,y)=dx+dy+C=+dy+C=Xdy-dy+dy)+C=+C=x-+C，故f(z)=-i()+iC。由f(0)=0知C=0即f(z)=（x）+i()=zez。2.13试解方程：（1）、=1+i解=1+i=2（+i）=2=（4）、+=0解由题设知=-1,z=k-，k为整数。2.14求下列各式的值：（1）、解==；（3）、；===·=·=27(-i)。第三章3.1、计算机积分dz积分路径为（1）自原点至1+i的直线段；（2）自原点沿实轴至1，再由1沿直线向上至1+i；（3）自原点沿虚轴至i，再由i沿水平方向向右至1+i。解（1）dz=dt=i(1+i)=；注：直线段的参数方程为z=(1+i)t，0≤t≤1。（2）C1：y=0,dy=o,dz=dx,C2：x=1,dx=o,dz=idy,dz=+=dx+idy=+i；（3）:x=0,dz=idy;:y=1,dz=dx。dz=+=dy+dx=3.2、计算积分dz的值，其中C为（1）=2；（2）=4。解令z=r,则dz==2i。当r=2时，为4i；当r=4时，为8i。3.6、计算dz，其中C为圆周=2；解f(z)==在=2内有两个奇点z=0,1,分别作以0,1为中心的圆周C1,C2,C1与C2不相交，则dz=dz-dz=2i-2i=03.8计算下列积分值：（1）、dz；解dz=πi0=1-；（3）、dz；解dz=(3+)0i=3=3。3.10计算下列积分：（1）、dz；解dz=2i=2i（2）、dz；解dz=2（2）=4i（4）、(r≠1)；解为0；r＞1时n=1为2i，n≠1为0。3.11、计算I=其中C是（1）=1；（2）=1；（3）=；（4）=3。解（1）被积函数在≤1内仅有一个奇点z=，故I=dz=2()=i；（2）被积函数在≤1内仅有一个奇点z=2，故I=dz=2()=i；（3）被积函数在≤内处处解析，故I=0；（4）、被积函数在≤3内有两个奇点z=，z=2由复合闭路原理，知I=+=dz+dz==i，其中C1为=1，C2为=1。3.13计算下列积分：（2）、dz；解dz=2（）’=2·=0（3）、dz，其中：=2，：=3。解dz=dz+dz=2()”2()”=(-1)(-1)=0第四章4.2下列级数是否收敛？是否绝对收敛？（1）、；（2）、；解（1）因=发散。故发散。（2）=收敛；故绝对收敛。4.4试确定下列幂级数的收敛半径：（1）、；（2）、；解（1）==1，故R=1。（2）===e，故R=4.5将下列各函数展开为z的幂级数，并指出其收敛区域：（1）、；（3）、；（5）、sin2z；解（1）===，原点到所有奇点的距离最小值为1，故＜1。（3）=·()’=()’==，＜1（5）sin2z===，＜∞。4.7求下列函数在指定点z0处的泰勒展示：（1）、，z0=1；（2）、，z0=1；解（1）=（）’=［］’==，＜1(2)==+=+，＜∞4.8将下列各函数在指定圆环内展开为洛朗级数：（1）、，0＜＜1，1＜＜+∞；（3）、，1＜＜2（4）、，0＜＜+∞；解（1）0＜＜1时，=(1-)=，当1＜＜+∞时，0＜＜1，=(1+)=（1+）=+=+。（3）====+，1＜＜2。（4）0＜＜+∞时，==+==。4.9将=在z=1处展开为洛朗级数解f(z)==。f(z)的奇点为z1=1,z2=2。f(z)在0＜＜1与＞1解析。当0＜＜1时f(z)====当＞1时0＜＜1，f(z)==+=+第五章5.3、下列各函数有哪些奇点？各属何类型（如是极点，指出它的阶数）：（1）、；（2）、；（3）、；（4）、；（5）、；（6）、-；解（1）令f(z)=，z=0，±2i为f(z)的奇点，因=，所以z=0为简单极点，又==，所以z=2i为二阶极点，同理z=亦为二阶极点。（2）因==1，所以z=0为二阶极点。（3）令f(z)==，则的零点为z=k-，k=0，±1，±2，…因（）’=（==0，所以都为简单极点。（4）令f(z)=，=，则的零点为z=,k=0，±1，±2，…。因=（z++…）=(1++…)，z=0为的三阶零点，故f(z)的三阶极点。又）’=(2z()+)0，故z=为的一阶零点，即为f(z)的简单极点。（5）令f(z)=，z=0为其孤立奇点。因==1，所以z=0为可去奇点。（6）令f(z)=-=，z=0和（）为其孤立奇点。因===，所以z=0为可去奇点，又==()，所以z=(k=0，±1，±2，…)为的一阶零点，即为f(z)的简单极点。5.5、如果与g(z)是以z0为零点的两个不恒为零的解析函数，则=(或两端均为)。［提示：将写成的形式，再讨论。］证设为的m阶零点，为g(z)的n阶零点，则=，在0，m≥1，g(z)=，在0，n≥1。因而=，==当m=n时，（1）式==（2）式，当m＞n时，（1）式=（2）式=0，当m＜n时，（1）式=（2）式=∞。5.7求出下列函数在孤立奇点处的留数：（1）、；（2）、；（5）、；（6）、；解（1）令=，孤立奇点仅有0。Res［，0］===0（2）z=2为简单极点，z=±i为二阶极点。Res［，2］===，Res［，i］===。同理可计算Res［，-i］=。（5）的孤立奇点为z=0，=kπ(k=±1，±2，…)，其中，z=0为二阶极点，这是由于===，在z=0处解析。且≠0所以Res［，0］====0，易知=kπ(k=±1，±2，…)为简单极点，所以Res［，kπ］(k=±1，±2，…)为简单极点，所以Res［，kπ］===(k=±1，±2，…)。（6）=在整个复平面上解析，无孤立奇点。5.8利用留数计算下列积分：（1）、=0；（2）、dz=；（4）、=-2解（1）=2Res［，0］=2=2=2=2=2=0（2）dz=2Res［，1］=2=。（4）=2=2=25.12求下列各积分之值：（1）、()；（3）、d()；（4）、d；解（1）dz=dz=dz。令=，其中a=a，=+为实系数二次方程=0的两相异实根，显然＞1,＜1，被积函数在=1上无奇点，在单位圆内部又是一个简单极点z=故Res［，］=·==，即=2Res［，］=（3）=它共有两个二阶极点，且（）在实轴上无奇点，在上半平面仅有二阶极点ai，所以=2Res［，］=2=2=（4）不难验证=满足若尔当引理条件，函数有两个一阶极点-2+i，-2-i。Res［，-2+i］===，d=2Res［，-2+i］=()。故d=第八章8.4求下列函数的傅氏变换，并证明所列的积分等式。（1）、f(t)=；（2）、f(t)=；（3）、f(t)解（1）［f(t)］=dt=dt+dt=dt+dt=2jdt==［1-］（2）F()=dt=dt=dt==（3）F()=dt=dt=dt-dt=-2dt=［］=()［tdt］=()。8.5求下列函数的傅氏变换，并证明所列的积分等式。（2）、f(t)=证明d=解（2）F()=dt=dt=dt=2jdt=jdt=j()=j()=8.13证明下列各式：（1）、f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)；8.14、设f1(t)=f2(t)=求f1(t)*f2(t)。解f1(t)*f2(t)=dt当t≤0时，f1(t)*f2(t)=0；当t＞0时，f1(t)*f2(t)=dt==1故f1(t)*f2(t)=8.15设F1()=F［f1(t)］，F2)=［f2(t)］，证明：f1(t)·f2(t)］=F1()*F2)。证F1()*F2)=du=dt］du=du=dt=dt=dt=dt=f1(t)·f2(t)］第九章9.1求下列函数的拉氏变换：（1）、f(t)=；（2）、f(t)=解（1）F(s)=［f(