相似三角形的判定+性质+经典例题分析

-1-/10相似形（一）板块一、课前回顾一、比例性质1.基本性质:bcaddcba（两外项的积等于两内项积）2.反比性质：cdabdcba(把比的前项、后项交换)3.合比性质：ddcbbadcba（分子加（减）分母,分母不变）．4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果)0(nfdbnmfedcba，那么banfdbmeca．谈重点：(1)此性质的证明运用了“设k法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．5.黄金分割：○1内容○2尺规作图作一条线段的黄金分割点经典例题回顾：例题1．已知a、b、c是非零实数，且kcbaddabcdcabdcba，求k的值.例题2．已知111xyxy，求yxxy的值。板块二、新课讲解知识点一、相似形的概念概念：具有相同形状的图形叫相似图形．谈重点：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关．⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况．⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．-2-/10知识点二、平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。则，，，…ABBCDEEFABACDEDFBCACEFDF②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；知识点三、相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．符号语言：拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。【重难点高效突破】例题1．如图，直线DE分别与△ABC的边AB、AC的反向延长线相交于D、E，由ED∥BC可以推出ADAEBDCE吗？请说明理由。（用两种方法说明）例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D.求证：（1）2ABBDBC；（2）2ADBDCD；（3）CBCDAC2例题3．如图，AD是RtΔABC斜边BC上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、AC于E、F.则BDBEADAF吗？说说你的理由.例题精讲AEDBCABCD-3-/10例题4．如图，在平行四边形ABCD中，已知过点B作BE⊥CD于E,连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；（3）在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF的长。【即时训练】一、选择题1．如图，△ABC经平移得到△DEF，AC、DE交于点G，则图中共有相似三角形（）A．3对B．4对C．5对D．6对2．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．ACAEABADB．FBEACFCEC．BDADBCDED．CBCFABEF.3.在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF=90°，则一定有（）A．ΔADE∽ΔAEFB.ΔECF∽ΔAEFC.ΔADE∽ΔECFD.ΔAEF∽ΔABF4、如图，直线l1∥l2，AF∶FB=2∶3，BC∶CD=2∶1，则AE∶EC是（）A.5∶2B.4∶1C.2∶1D.3∶2（1题图）（2题图）（3题图）（4题图）5.如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（）A.1对B.2对C.3对D.4对(5题图)(6题图)(7题图)(8题图)6.ΔABC中，DE∥BC，且AD∶DB=2∶1，那么DE∶BC等于（）A.2∶1B.1∶2C.2∶3D.3∶27.如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条8.如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A.ACAEABADB.FBEACFCEC.BDADBCDED.CBCFABEF9.下列说法：其中正确的是()①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.A.①②B.③④C.①④D.②③ADCBEFGFEDCBA-4-/10二、解答题1、如图，ΔABC中，BD是角平分线，过D作DE∥AB交BC于点E，AB=5cm，BE=3cm，求EC的长.2.如图，在梯形ABCD中，AD⊥BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC.(1)ΔABC与ΔDCB相似吗？请说明理由.(2)如果AD=4，BC=9，求BD的长.3.已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.ΔADQ与ΔQCP是否相似？为什么？4.如图，已知AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，交AB与F，试判定△BAE与△ACE是否相似，并说明理由。5.如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，动点P在AB边上由A向B作匀速运动，1分钟可到达B点；动点Q在BC边上由B向C作匀速运动，1分钟可到达C点，若P、Q两点同时出发，问经过多长时间，恰好有PQ⊥BD？6.已知：如图所示，D是AC上一点，BE∥AC，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1=∠2.则BF是FG、EF的比例中项吗？请说明理由.7.如图，CD是RtΔABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F.ABEDCFQPDCBA-5-/10ABCDDABCDABCEABCDEAC•AE=AF•AB吗？说明理由.8.如图，AD是RtΔABC斜边BC上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、AC于E、F.则BDBEADAF吗？说说你的理由.相似形（二）板块二、新课讲解知识点1．相似三角形的判定判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．知识点2．直角三角形相似的判定在直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．知识点3．相似三角形中的基本图形A型，X型交错型旋转型母子形【重难点高效突破】例题1．如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．（1）填空：∠ABC=______，BC=_______．（2）判定△ABC与△DEF是否相似？并说明理由。例题2.如图，在△ABC中，已知BD、CE是△ABC的高，求证：△ADE∽△ABC。例题精讲ABCDEABCDE-6-/10例题3．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由B点向D点移动，当BP等于多少时，△ABP与△CPD相似？例题4.已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，P是AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC于E，点E不与点C重合，若AB＝10，AC＝8，设AP＝x，四边形PECB的周长为y，求y与x的函数关系式．例题5．在三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，M为DE的中点，AM与BE相交于点N，延长AM交BC于点G，AD与BE相交于点F，求证：（1）DEAD=CECD;（2）△BCE∽△ADM；（3）AM⊥BE.【随堂演练】A组1．下列命题中正确的是（）①三边对应成比例的两个三角形相似②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似④一个角对应相等的两个等腰三角形相似A、①③B、①④C、①②④D、①③④2．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是（）A.∠B=∠CB.∠ADC=∠AEBC.BE=CD，AB=ACD.AD∶AC=AE∶AB3．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC，②ΔBCD，③ΔBDE，④ΔBFG，⑤ΔFGH，⑥ΔEFK.其中②～⑥中，与三角形①相似的是（）(A)②③④(B)③④⑤(C)④⑤⑥(D)②③⑥4．如图，DE与BC不平行，当ACAB=时，ΔABC与ΔADE相似。5．如图，平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是（）．A．5B．8.2C．6.4D．1.8（3题图）（4题图）（5题图）5．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.MNFABCDEGABDCP-7-/10(1)ΔABE与ΔADF相似吗？说明理由.(2)ΔAEF与ΔABC相似吗？说说你的理由.6．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.ΔADQ与ΔQCP是否相似？为什么？7．如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC,AEAB△AEF∽△EFC吗若相似，请证明；若不相似，请说明理由。若ABCD为矩形呢？板块三、课后作业1．如图，正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，AF与DE相交于点O，则AODO等于（）．A．13B．255C．23D．122．如图，直线EF交AB、AC于点F、E，交BC的延长线于点D，AC⊥BC，已知ABCD=DEAC,求证：AECE=DEEF3．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，以AD为直径的半圆与BC相切于E点．求证：AB·CD＝BE·EC．4．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC．求证：AD·BC＝OB·BD．5．如图所示，在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB于D，弦CF交AB于E．FABCDE-8-/10求证：CB2＝CF·CE．6．已知D是BC边延长线上的一点，BC＝3CD，DF交AC边于E点，且AE＝2EC．试求AF与FB的比．7．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC于H，以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，试判断△BDH与△AEH是否相似，并说明理由．相似三角形的性质及其应用板块二、新课讲解知识要点：相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等，对应边成比例．②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．③相似三角形周长的比等于相似比．④相似三角形面积的比等于相似比的平方．【重难点高效突破】例题1.(1)两个相似三角形的面积比为21:ss，与它们对应高之比21:hh之间的关系为_______(2)如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若16:9:COBABCSS，则AD:DB=_________(3)如图，已知AB∥CD,BO:OC=1:4,点E、F分别是OC，OD的中点，则EF:AB的值为(4)如图，已知DE∥FG∥BC,且AD:FD:FB=1:2:3,则)(S::FBCGDFGE四边形四边形SSABCA.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36(5)梯形ABCD中，AD∥BC，（ADBC），AC、BD交于点O,若ABCDOABSS256,则△AOD与△BOC的周长之比为__________。BCDEAO(2)题图(3)题图CEFOBAD(4)题图BGFEDAC(5)题图CA’DD’C’B’BAOBCDA-9-/10例题2.如图，在△ABC中，DE∥BC，且S△ADE: