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第十八章勾股定理复习定理：经过证明被确认为正确的命题叫做定理。1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，也就是说在Rt△ABC中，设∠C=90°，∠C、∠A、∠B所对的边分别为c、a、b，则c、a、b满足关系a²+b²=c²。在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦。注意：由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边(两直角边)的平方和，避免出现这样的错误：在△ABC中，∠B=90°，则a²+b²=c²。2、勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积(拼图)证明——对图形进行割、补、拼、接后利用图形面积不变来证明，这是最常见的一种方法。验证如下：现有四块直角边长为a、b，斜边长为c的直角三角形纸板，请从中取出若干块拼图，证明勾股定理。证法1：∵S大正方形＝4S三角形＋S小正方形∴c²＝4×12ab＋(b−a)²∴c²＝a²＋b²证法2：∵S梯形＝2S小三角形＋S大三角形∴12(a+b)2=2×12ab+12c²∴a²+b²=c²证法3：∵S大正方形＝4S三角形＋S小正方形∴(a+b)2=4×12ab+c²∴a²+b²=c²3、勾股定理的作用：勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，其作用有：(1)已知直角三角形的任两边，求第三边问题；(2)证明三角形中的某些线段的平方关系；ａａｂｂｃｃ(3)作长为无理数的线段.注意：若已知直角三角形的两边求第三边时，先确定是直角边还是斜边。若求直角边，则利用勾股定理的变形式a²=c²−b²=(c+b)(c−b)或b²=c²−a²=(c+a)(c−a)；若求斜边，则利用c²=a²+b²；若不能确定则分以上两种情况讨论。4、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。根据勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的步骤：(1)确定最大边；(2)算出最大边的平方，另两边的平方和；(3)比较最大边的平方与另两边的平方和，如果相等则此三角形是直角三角形。不要盲目比较其中任意一边平方与另两边的平方和的关系。5、勾股数：满足a²+b²=c²的三个正整数称为勾股数。探索神秘的勾股数组：若a、b、c是一组勾股数，则ka、kb、kc(k为正整数)也是勾股数，下列各组数都是常见勾股数：｛3k，4k，5k｝、｛5k，12k，13k｝、｛8k，15k，17k｝、｛7k，24k，25k｝、｛9k，40k，41k｝等．以下几个公式都可以产生勾股数：①设n为正整数，且n＞1，令a=2n，b=n²−1，c=n²+1，则有a²+b²=c²；②设n为正整数，令a=2n+1，b=2n²+2n，c=2n²+2n+1，则有a²+b²=c²；③设m、n为正整数，且m＞n，令a=m²−n²，b=2mn，c=m²+n²，则有a²+b²=c²；④设m、n、k为正整数，且m＞n，令a=k(m2−n2)，b=2kmn，c=k(m²+n²)，则有a²+b²=c²．6、互逆命题：如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论与题设，那么这两个命题互为逆命题，其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。7、互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。注意：每一个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理.