实变函数试题库(3)及参考答案

实变函数试题库及参考答案（3）本科一、填空题1．设,AB为集合，则\BABAAB2．设A为无理数集，则Ac（其中c表示自然数集0,1的基数）3．设nE，如果E中没有不是内点的点，则称E是4．任意个闭集的交是5．设fx是定义在可测集E上的实函数，如果1a，Exafxb是可测，（ab）则称fx在E上6．可测函数列的上确界也是7．设nfxfx，ngxgx..ae，则nnfxgx8．设nfxfx，那么由黎斯定理，nfx有子列knfx，使..ae于E二、选择题1．下列集合关系成立的是（）AccAABccAACccAADcccAA2．设nRE，则()AEEBEECEEDEE3．设P为康托集，则（）AP是可数集B0mPCP是不可数集DP是开集4．下列集合关系成立的是（）A若AB则ccBAB若AB则ccABC若AB则ABBD若AB则ABB三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1．设Dx是狄利克莱函数，即10,100,1xDxx为中有理数为中无理数，则（）ADx几乎处处等于1BDx几乎处处等于0CDx是非负可测函数DDx是L可积函数2．设nE，*0mE，则（）AE是可测集BE的任何子集是可测集CE是可数集DE不一定是可数集3．设nE，10EcxExxE，则（）A当E是可测集时，Ex是可测函数B当Ex是可测函数时，E是可测集C当E是不可测集时，Ex可以是可测函数D当Ex是不是可测函数时，E不一定是可测集4．设fx是,ab上的连续函数，则（）Afx在,ab上有界Bfx在,ab上可测Cfx在,ab上L可积Dfx在,ab上不一定L可积四、判断题1.对等的集合不一定相等.（）2.称,fxgx在E上几乎处处相等是指使fxgx的x全体是零测集.（）3.可数个开集的交是开集（）4.可测函数不一定是连续函数.（）5.对等的集合有相同的基数.（）五、定义题1.简述证明集合对等的伯恩斯坦定理.2.简述1R中开集的结构.3.可测集与闭集、F集有什么关系？4.为什么说绝对连续函数几乎处处可微？六、计算题1.设3cos0,\2xxEfxxxE，E为0,2中有理数集，求0,2fxdx.2.设22cos,0,11nnxnxfxxnx，求0,1limnnfxdx.七、证明题1．设()fx是E上的可测函数，则对任何常数0a，有()[|()]afxEmExfxaeedx2．设()fx是E上的可积函数，{}nE为E的一列可测子集，mE，如果limnnmEmE则lim()()nEEnfxdxfxdx3．证明集合等式：()\(\)(\)ABCACBC4．设nER是零测集，则E的任何子集F是可测集，且0mF5.证明：1R上的实值连续函数fx必为1R上的可测函数本科实变函数试题库及参考答案（3）一、填空题1.=2.=3.开集4.闭集5.可测6.可测函数7.fxgx8.knfxfx二、单选题1.B2.A3.B4.A三、多选题1.BCD2.ABD3.AB4.BD四、判断题√√×√√五、定义题1.答：若ABB，又BAA，则AB2.答:设G为1R中开集，则G可表示成1R中至多可数个互不相交的开区间的并.3.答：设E是可测集，则0，闭集FE，使\mEF或F集FE，使\0mEF.4.答：因为绝对连续函数是有界变差，由若当分解定理，它可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处有有限的导数，所以绝对连续函数几乎处处可微.六、解答题1.解：因为0mE，所以cos,.fxxae于0,1于是0,0,22cosfxdxxdx而cosx在0,2上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式22000,1coscossin|1xdxRxdxx因此0,21fxdx2.解：因为nfx在0,1上连续，所以可测1,2,n又2222cos1,0,1,1,2,1122nnxnxnxnxfxxnnxnxnx而22lim01nnxnx，所以lim0nnfx.因此由有界控制收敛定理0,10,10,1limlim00nnnnfxdxfxdxdx七、证明题1.证明因为()fx在E上可测，所以()fxe是非负可测函数，于是由非负可测函数积分性质，()()[|()][|()]afxfxExfxaExfxaEedxedxedx而[|()][|()]aaExfxaedxemExfxa，所以()[|()]afxEmExfxaeedx2.证明因()fx在E上L可积，由积分的绝对连续性知，对任意0，存在0，对任何AE，当mA时有|()|Afxdx，由于limnnmEmE，故对上述的0，存在0k，当0nk时nEE，且有()nnmEmEmEE，于是|()()||()|nnEEEEfxdxfxdxfxdx，即lim()()nEEnfxdxfxdx3.证明()\()()()(\)(\)cccABCABCACBCACBC4.证明设FE，*0mE，由外测度的单调性和非负性，*00mFmE，所以*0mF，于是由卡氏条件易知F是可测集5.证明1,abR，不妨假设ab，因为fx是1R上的连续函数，故fx是,ab上的连续函数，记,Fab，由fx在F上连续，则,MmmM，使mfxM，则显然易证，1,RFf是闭集，即fx为,ab上的可测函数，由,ab的任意性可知，fx是1R上的可测函数.