实变函数试题库(4)及参考答案

实变函数试题库及参考答案（4）本科一、填空题1.设,AB为两个集合,则__cABAB.2.设nER,如果E满足EE(其中E表示E的导集),则E是3.若开区间(,)为直线上开集G的一个构成区间,则(,)满(i)）（ba,G(ii),aGbG4.设A为无限集.则A的基数__Aa(其中a表示自然数集N的基数)5.设12,EE为可测集,2mE,则1212(\)__mEEmEmE.6.设()nfx为可测集E上的可测函数列,且()(),nfxfxxE,则由______定理可知得,存在()nfx的子列()knfx,使得.()()()kaenfxfxxE.7.设()fx为可测集E(nR)上的可测函数,则()fx在E上的L积分值存在且|()|fx在E上L可积.（填“一定”“不一定”）8.若()fx是[,]ab上的绝对连续函数,则()fx是[,]ab上的有二、选择题1．设,001Exx，则（）A1mEB0mECE是2R中闭集DE是2R中完备集2．设fx，gx是E上的可测函数，则（）A、Exfxgx不一定是可测集B、Exfxgx是可测集C、Exfxgx是不可测集D、Exfxgx不一定是可测集3．下列集合关系成立的是（）A、(\)ABBABB、(\)ABBAC、(\)BAAAD、\BAA4.若nER是开集，则（）A、E的导集EB、E的开核EC、EED、E的导集E三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1．设fx是,ab上有界函数，且L可积，则（）Afx在,ab上黎曼可积Bfx在,ab上可测Cfx在,ab上几乎处处连续Dfx在,ab上不一定连续2.设{[0,1]}E中的无理点,则()A、E是可数集B、E是闭集C、E中的每个点均是聚点D、0mE3.若E(R)至少有一个内点，则（）A、*mE可以等于０B、*0mEC、E可能是可数集D、E不可能是可数集4．设[,]Eab是可测集，则E的特征函数()Ex是（）A、[,]ab上的符号函数C、E上的连续函数B、[,]ab上的可测函数D、[,]ab上的连续函数四、判断题1.零测集上的函数是可测函数.（）2.可列个闭集的并集仍为闭集（）3.任何无限集均含有一个可列子集（）4.设E为可测集，则一定存在G集G，使EG，且\0mGE.（）五、定义题1.为什么说有界变差函数几乎处处可微？2.简述无穷多个开集的交集是否必为开集？3.可测集E上的可测函数与简单函数有什么关系？4.,ab上的有界变差函数与单调函数有什么关系？六、计算题7.设3sin0,1\xxPfxxxP，P为康托集，求0,1fxdx.8.求0,lnlimcosxnnxnexdxn.七、证明题1．设(),(),(),()nnfxgxfxgx是E上几乎处处有限的可测函数，且()()nfxfx，()()ngxgx，则()()()()nnfxgxfxgx2．设(),()fxgx是E上L可积函数，则22()()fxgx在E上也是L可积的3．设()fx是可测集E上的非负可测函数，如果()0Efxdx，则()0.fxae于E4．证明等式：\()(\)(\)ABCABAC实变函数试题库及参考答案（4）本科一、填空题1.等于2.闭集.3.(a,b)G4.5.6.黎斯7.不一定不一定8.界变差函数.二、单选题1.B2.B3.A4.B三、多选题1.BD2.CD3.BD4.ABC四、判断题√×√√五、定义题1.答：由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微.2.答：不一定，如1111,11,1nnn3.答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式.4.答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差.六、解答题1.解：因为0mP，所以,.fxxae于0,1于是0,10,1fxdxxdx而x在0,1上连续，所以2121000,11|22xxdxRxdx因此0,112fxdx.2.解：令0,lncosxnnxnfxxexn显然nfx在0,上可测，且0,0,lncosxnnxnexdxfxdxn因为lnlncos,0,,1,2,xnxnxnfxexxnnn不难验证lnnxngxn，当n足够大时，是单调递减非负函数，且lim0nngx，所以0,0,0,lnlimlimlimnnnnnxndxgxdxgxn0,00dx由勒贝格控制收敛定理0,lim0nnfxdx故0,lnlimcos0xnnxnexdxn.七、证明题1.证明对任何正数0，由于|(()())(()())||()()||()()|nnnnfxgxfxgxfxfxgxgx所以[|(()())(()())|]nnExfxgxfxgx[|()()|][|()()|]22nnExfxfxExgxgx于是[|(()())(()())|]nnmExfxgxfxgx[|()()|][|()()|]22nnmExfxfxmExgxgx0()n故()()()()nnfxgxfxgx2.证明因(),()fxgx是E上L可积，所以|()|,|()|fxgx在E上L可积，从而|()||()|fxgxL可积，又222()()(|()||()|)|()||()|fxgxfxgxfxgx故22()()fxgx在E上L可积3.证明反证，令[|()0]AExfx，则由()fx的可测性知，A是可测集.下证0mA，若不然，则0mA由于11[|()0][|()]nAExfxExfxn，所以存在1N，使1[|()]0mExfxdN于是11[|()][|()]111()()[|()]0EExfxExfxNNdfxdxfxdxdxmExfxNNNN因此()0Efxdx，矛盾，故()0.fxae于E4.证明\()()()()()(\)(\)cccccABCABCABCABACABAC