实变函数试题库(6)及参考答案

实变函数试题库及参考答案（6）本科一、填空题1．设nE，称E是，如果nT，**mTmTE*cmTE2．设E是外测度为零的集合，且FE，则*mF03.设()fx是定义在可测集E上的实函数,若对任意实数a,都有[()]Exfxa是可测集E上的.4.设0x是E(R)的内点,则*__0mE.5．设()fx为可测集()nER上的非负可测函数，则()fx在E上的L积分值6．若()fx是[,]ab上的有界变差函数，则()fx必可表示成两个递增函数的7．设nfxfx，ngxgx，则nnfxgx8．设nx是E上的单调增收敛于fx的非负简单函数列，则Efxdx二、单选题1．设nRE，则（）AEEB0EECEEDEE2.设P的康托集，则()（A）P为可数集（B）P为开集（C）0mP（D）1mP3.设Q的有理数集，则（）（A）0mQ（B）Q为闭集（C）0mQ（D）Q为不可测集三、多项选择题1．设nfxfx，则（）Anfx几乎处处收敛于fxBnfx一致收敛于fxCnfx有子列nfx，使nfxfx..ae于EDnfx可能几乎处处收敛于fx2．设nE是可测集，则（）EAcE是可测集BmEC的子集是可测集DE的可数子集是可测集3．设()fx是[,]ab上的单调函数，则（）（A）()fx是[,]ab上的有界变差函数（B）()fx是[,]ab上的绝对连续函数（C）()fx在[,]ab上几乎处处收敛（D）()fx在[,]ab上几乎处处可导4．设fx在可测集E上L可积，则（）Afx，fx都是E上的非负可积函数Bfx和fx有一个在E上的非负可积Cfx在E上L可积Dfx在E上不一定L可积四、判断题1.称,fxgx在E上几乎处处相等是指使fxgx的x全体的测度大于0（）2.设fx为可测集E上的非负可测函数，则fxLE（）3.设fx为可测集E上的可测函数，则Efxdx一定存在.（）4.设E为零测集，fx为E上的实函数，则fx不一定是E上的可测函数（）五、定义题1.简述连续集的基数大于可数集的基数的理由.2.简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？3.简述nR中开集的结构.六、计算题1.设230,1xxPfxxxP，其中P为康托集，求01fxdx，.2.求22,0,11nnxfxEnx，求limnnEfxdx.七、证明题1.证明集合等式：\\\ABCACBC.2.设00,1E中的有理点，则0E为可测集且00mE.3.设fxLE，nE为E的一列可测子集，mE，如果limnnmEmE，则limnnEEfxdxfxdx.4.证明集合等式：\\\ABCABAC.5.设1ER，且0mE，则E为可测集.6.证明：1R上的单调函数fx必为可测函数.7.设fx为可测集nER上的可测函数，则fxLE的充要条件fxLE.实变函数试题库及参考答案（6）本科一、填空题1.可测集2.=3.可测函数4.5.一定存在6.差7.fxgx8.limnEnxdx二、单选题1.A2.C3.C三、多选题1.CD2.AD3.ACD4.AC四、判断题××××五、定义题1.答:连续集是无限集，因而包含可数子集，又连续集是不可数集，所以连续集的基数大于可数集的基数.2.答：不一定如1111,11,1nnn3.答：nR中开集可表示成可数个互不相交的半开半闭区间的并六、解答题1.解：因为P为康托集，故0mP，0,1\1mP所以320,1PPfxxx所以2330,10,1fxdxxmPxmPx2.解：易知：22lim00,11nnxxnx令2221,1nnxfxgxnxx，则22232222222221110111nnxnxnxnxnxgxfxnxnxxnxxxnxnx所以00,1,1nfxgxxn又因为gx在0,1上Lebesgue可积，所以由控制收敛定理，得22lim001nEEnxdxdxnx七、证明题1.证明\\\cccABCABCACBCACBC2.证明因为0E为可数集，记为012,,,nErrr，0，取11,1,2,22nnnnnIrrn显然01nnEI，所以0011102nnnnnnEImEI，让0，得00mE.nTR，由于00cTTETE所以00cmTmTEmTE.又00,0cTETmE，所以000ccmTmTEmTEmTE.故00cmTmTEmTE故0E为可测集，且00mE3.证明因()fx在E上L可积，由积分的绝对连续性知，对任意0，存在0，对任何AE，当mA时有|()|Afxdx，由于limnnmEmE，故对上述的0，存在0k，当0nk时nEE，且有()nnmEmEmEE，于是\|()()||()|nnEEEEfxdxfxdxfxdx，即lim()()nEEnfxdxfxdx4.证明\\\cccccABCABCABCABACABAC5.证明nTR，由于ncTRTTETE所以cmTmTEmTE.又,0cTETmE，所以ccmTmTEmTEmTE.故cmTmTEmTE所以E为可测集6.证明1,abR，不妨假设ab，因为fx是1R上的单调函数，不妨设fx为单调增函数，故fx是,ab上的单调增函数，即121212,,,xxExxfxfx，则1R，有1）当supxEfx时，();Exfx2）当infxEfx时，();ExfxE3）当infsupxExEfxfx时，必有10xER，使000,fxfx或000,0fxfx.由fx的单调增知，0(),ExfxEx或0,Ex.在所有情况下，()Exfx都可测.即fx是,ab上的可测函数.由由,ab的任意性可知，fx是1R上的可测函数.7.证明必要性若fxLE，因为fxfxfx，且fxLE所以,EEfxdxfxdx中至少有一个是有限值，故EEEfxdxfxdxfxdx即fxLE充分性若fxLE因为fxfxfx，且fxLE所以,EEfxdxfxdx中至少有一个是有限值，故EEEfxdxfxdxfxdx，即fxLE.