流体力学基本方程

高等流体力学3流体力学基本方程3流体力学基本方程流体的运动规律遵循物理学三大守恒定律，即：质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律。流体动力学基本方程组就是这三大定律对流体运动的数学描述。但是，流体力学基本方程组是不封闭的，要使其封闭还需增加辅助的物性关系，如：密度、比热、粘性系数和热传导系数随温度、压强的变化关系等。目前尚不能求得这一方程组的解析解，但研究这一方程组的性质却具有极其重要的意义，因为实际流体的流动过程遵循这一基本方程组。3.1系统和控制体的概念3.1.1系统包含着确定不变的物质的任何集合，称之为系统，系统以外的一切，统称为外界。系统的边界是把系统和外界分开的真实或假想的表面。在流体力学中，系统就是指由确定的流体质点所组成的流体团。3.1.1系统流体系统的边界有如下特点：①系统的边界随着流体一起运动。系统的体积边界面的形状和大小可以随时间变化；②在系统的边界处没有质量交换，即没有流体进入或跑出系统的边界；③在系统的边界上，受到外界作用在系统上的表面力；④在系统边界上可以有能量交换，即可以有能量(热或功)通过边界进入或离开系统。3.1.1系统如果我们使用系统来研究连续介质的流动，那就意味着采用拉格朗日观点，即以确定的流体质点所组成的流体团作为研究的对象。但是对大多数实际的流体力学问题来说，采用欧拉观点更为方便，与此相应，必须引进控制体的概念。3.1系统和控制体的概念3.1.2控制体被流体所流过的相对于某个坐标系来说是固定不变的任何体积称之为控制体。控制体的边界面，称之为控制面。它总是封闭表面。占据控制体的诸流体质点是随着时间而改变的。3.1.2控制体控制面有如下待点：①控制体的边界(控制面)相对于坐标系是固定的；②在控制面上可以有质量交换，即有流体跑进或跑出控制面；③在控制面上受到控制体以外物体加在控制体之内物体上的力；④在控制面上可以有能量交换，即可以有能量(内能、动能、热或功)跑进或跑出控制面。3.2连续性方程连续性方程是质量守恒定律在运动流体中的数学表达式。连续性方程是运动学方程，它与力无关，所以既适用于理想流体也适用于粘性流体。在流动空间中，考察一微元控制体，其体积为dxdydz，对某一固定参考系统，它是固定在空间中的，如下图所示。3.2连续性方程质量守恒定律可表述如下：控制体内流体质量的减少量应等于从控制体净流出的流体质量。控制体内流体的流入与流出yxρuxdzdxdyoz3.2连续性方程(1)控制体内流体质量的变化dt时间中控制体内流体密度的变化为dt时间中控制体内流体质量的减少量为dtttzyxtdddd3.2连续性方程(2)通过控制面净流出控制体的流体质量dt时间内在x方向通过左右两个侧面(控制面)净流出的流体质量为同理，dt时间中在y、z方向通过相应控制面净流出的流体质量分别为tzyutzyxxuuxxxddddddd)(tzyxxuxdddd)(tzyxyuydddd)(tzyxzuzdddd)(3.2连续性方程(3)流体流动的连续性方程根据质量守恒定律，由上述分析可得出对于单位时间单位体积空间而言这就是直角坐标系中的连续性方程式，将之写成向量形式即得tzyxzuyuxutzyxtzyxdddd)()()(dddd0)()()(zuyuxutzyx0)(ut3.2连续性方程按求和约定，连续性方程可表示成使用恒等式，连续性方程可写成其中：0)(iixutuuu)()(0DDut)(DDutt3.2连续性方程对于定常流动，，连续性方程变成按求和约定，上式表示成它表示了单位时间流出单位体积空间的质量等于流入该体积空间的质量，也可以说微元控制体内的流体密度不随时间而改变。0t0)(u0)(iixu3.2连续性方程对于不可压缩流体的流动问题，，不可压缩流体流动的连续性方程为按求和约定，上式表示成上式说明，由于流体微团的密度和质量在流动过程中都不变，所以流体微团的体积在运动中也不会改变。0DDt0u0iixu3.2连续性方程在圆柱坐标系(r,θ,z)中，流体流动的连续性方程为在球坐标系(r,θ,φ)中，流体流动的连续性方程为0)()(1)(1zuurrurrtzr0)(sin1)sin(sin1)(122ururrurrtr3.3本构方程一般而言，所谓本构方程是指描述物质对所受力的力学响应的方程。对运动的粘性流体而言，应力与变形速度之间的关系称为本构方程。3.3.1流体的表面应力张量为了建立流体动力学方程，需要分析流体微团上所受到的各种作用力。流体微团受到的作用力可以分为两大类：一类是质量力，它是作用在流体所有质点上的非接触力，如重力、惯性力、电磁力等；另一类是表面力，它是作用在流体微团界面上的接触力，如压力、摩擦力等。现只考虑表面力。3.3.1流体的表面应力张量如右图所示的正六面体流体微团，在垂直于x轴的左右两个侧表面上，分别作用有合应力px和流体微团的表面应力张量τxxτxzzpx(x,y,z)τxydydzdxoxyxxxxdppxxxxdpp3.3.1流体的表面应力张量此处的下标x表示应力向量作用在与x轴垂直的微元面上。由此可得到作用在垂直于x轴的微元面上的表面力的合力为同理，作用在垂直于y轴和z轴的微元面上的表面力的合力分别为zyxxxdddpzyxyydddpzyxzzdddp3.3.1流体的表面应力张量综和上述结果，可得到作用于单位体积流体的表面力的合力上式中px、py和pz都是向量，可以将它们沿三个坐标方向分解，即分解成垂直于各微元面的正应力和平行于各微元面的切应力，例如上面图中作用于与x轴垂直的微元面上的应力px可分解成同理zyxzyxzzyxyzyxxzyxddddddddddddpppzyxzyxpppkjipxzxyxxxkjipyzyyyxykjipzzzyzxz3.3.1流体的表面应力张量下标规定：第一个下标代表应力所在平面的外法线方向，第二个下标代表应力的方向。例如，τxy表示作用在与x轴垂直的平面上沿y方向的切应力。由上述分析可见，要完全描述微元体上的应力，则需要九个分量，这九个分量就组成了应力张量，应力张量可表示成zzzyzxyzyyyxxzxyxx3.3.1流体的表面应力张量可以证明，应力张量是二阶对称张量。正应力的正方向为作用面外法线方向；对于切应力，当作用面的外法线沿坐标轴的正方向时，取沿坐标轴正方向的切应力为正，当作用面的外法线沿坐标轴的负方向时，取沿坐标轴负方向的切应力为正。这样，单位体积流体的表面力可写成jipppzyxzyxzyxzyyyxyzxyxxxzyxkzyxzzyzxz3.3.2牛顿流体的本构方程物质所受到的应力与运动学参数之间存在着一定的关系。在弹性力学中，这种关系是由虎克定律表示的，即弹性固体中应力与应变成正比；在流体力学中，不同性质的流体这种关系有不同的类型，对于水、空气和润滑油等化学结构比较简单的低分子流体，应力与变形速率成正比，也就是说，应力与变形速率之间存在着线性关系，服从这种线性关系的流体称为牛顿流体。3.3.2牛顿流体的本构方程牛顿提出了关于粘性流体作直线层状运动时，两流体层间的切应力的假设。认为切应力与层间速度梯度成正比，即μ为动力粘性系数，其值取决于流体的物理性质。通常称上式为牛顿内摩擦定律。odyuu+duzxyyuyxdd3.3.2牛顿流体的本构方程根据变形率张量和应力张量，上式左边对应于平面直线运动特殊情况下的应力张量的一个切向分量，右边的导数项对应于变形率张量的一个分量。因此，可以理解为τyx与εyx成正比例yxyx23.3.2牛顿流体的本构方程斯托克斯将牛顿内摩擦定律推广到粘性流体的任意流动情形中去，假设：1)流体是连续的，其应力张量是变形率张量的线性函数。2)流体是各向同性的，即它的性质与方向无关。因此，无论坐标系如何选取，它的应力与变形率的关系是相同的。3)当流体静止，即变形率为零时，流体中的应力就是流体静压力。3.3.2牛顿流体的本构方程或者式中的负号表示压力的方向总是与微元体表面外法线方向相反，I为单位张量实验证明，对大多数常见的液体和气体，上述假设是对的。)(0)(10jijipijijijIτ0p100010001I3.3.2牛顿流体的本构方程根据应力张量与变形率张量是线性关系以及流体是各向同性的假设，可以将应力张量τ与变形率张量ε的线性关系式写成式中的系数a和b应该是标量。由于关系式是线性的，因此系数a不可能与张量τ和ε中的分量有关，而应该与流体运动形态无关，它是取决于流体的物理属性的系数。参照牛顿内摩擦定律，令Iετba2a3.3.2牛顿流体的本构方程至于系数b，由于在应力张量与变形率张量线性关系式中右边第二项是b与单位张量I的乘积，要保持该式的线性关系，b只能由张量τ与ε的分量线性地组成。又由于b是标量，因此它应该由张量τ与ε的分量中，那些当坐标系转换时其值不变的分量组合来构成。对二阶张量而言，主对角线上三个分量的和为它的线性不变量(即第一不变量)。3.3.2牛顿流体的本构方程对于应力张量的线性不变量为对于变形率张量的线性不变量为通过上述分析，可以写出标量b的一般关系式式中的b1、b2、b3为待定常数。zzyyxxuzzyyxx321)(bbbbzzyyxxu3.3.2牛顿流体的本构方程将标量b的表达式代入应力张量与变形率张量线性关系式中，得取等式两边主对角线上三个分量之和，可得归并同类项后，得在静止状态下，，而且，因此，上式可以写成Iετ])([2321bbbzzyyxxu32133)(32bbbzzyyxxzzyyxxuu3213)32())(31(bbbzzyyxxu0u0pzzyyxx310)31(bbp3.3.2牛顿流体的本构方程由于b1、b3均为常数，而且要求在静压力p0值为任意情况下均成立，则只有而这三个系数确定以后，就可得出应力张量与变形率张量之间的一般线性关系式31013bb，322－bIετu32)(312zzyyxx3.3.2牛顿流体的本构方程对于非粘性流体，一点的压强在各个方向是相等的，此处引入平均压强的概念，即对于粘性流体来讲，类似地采用这样的平均法向应力，有如果待定常数b2记为λ，则通常称上式为广义牛顿内摩擦定律，λ称为膨胀粘性系数。)(31zzyyxxpIετu322pIετup23.3.2牛顿流体的本构方程如以ui和xi(i＝1,2,3)分别代替ux,uy,uz和x,y,z，则可以写出在直角坐标系中应力张量与变形率张量各分量之间的关系式jixupjixuxujiijjiiju3223.3.2牛顿流体的本构方程对于不可压缩流体，则0ujixupjixuxujiijjiij23.3.2牛顿流体的本构方程广义牛顿内摩擦定律建立了在一般情况下应力张量与变形率张量之间的关系，它是粘性流体