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目录第1讲平均数问题……………………………………………………1第2讲速算与巧算……………………………………………………3第3讲找规律…………………………………………………………5第4讲变化规律………………………………………………………7第5讲算式谜（一）…………………………………………………9第6讲算式谜（二）…………………………………………………12第7讲应用题…………………………………………………………15第8讲逻辑推理………………………………………………………17第9讲数数图形………………………………………………………21第10讲容斥原理………………………………………………………24第11讲简单的统筹规划问题…………………………………………27第12讲图形问题………………………………………………………31第13讲错中求解………………………………………………………34第14讲数学开放题……………………………………………………36第15讲数数与计数……………………………………………………40终结性测试题一………………………………………………………44终结性测试题二………………………………………………………461第1讲平均数问题专题简析：我们经常用各科成绩的平均分数来比较班级之间，同学之间成绩的高低，求出各科成绩的平均数就是求平均数。平均数在日常生活中和工作中应用很广泛，例如，求平均身高问题，求某天的平均气温等。求平均数问题的基本数量关系是：总数量÷总份数=平均数解答平均数问题的关键是要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”，然后用总数量除以总份数求出平均数。例1：二（1）班学生分三组植树，第一组有8人，共植树80棵；第二组有6人，共植树66棵；第三组有6人，共植树54棵。平均每人植树多少棵？分析与解答：因为二（1）班学生分三组植树，由问题可知“平均范围”是三个组，是按人数平均，因此所需条件是三个组植树的总棵数和三个组的总人数。三个组植树的总棵数为：80+66+54=200棵，总人数为：8+6+6=20人，所以平均每人植树200÷20=10棵。随堂练习：电视机厂四月份前10天共生产电视机3300台，后20天共生产电视机6300台。这个月平均每天生产电视机多少台？例2：王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高153厘米，一个同学身高152厘米，有两个同学身高149厘米，还有两个同学身高147厘米。求四年级羽毛球队同学的平均身高。分析与解答：这道题可以按照一般思路解，即用身高总和除以总人数。这道题还可以采用假设平均数的方法求解，容易发现，同学们的身高都在150厘米左右，可以假设平均身高为150厘米，把它当作基准数，用“基数+各数与基数的差之和÷份数=平均数”。（153×2＋152＋149×2＋147×2）÷（2＋1＋2＋2）=150厘米或：150＋（3×2＋2－1×2－3×2）÷（2＋1＋2＋2）=150厘米随堂练习：五（1）班有7个同学参加数学竞赛，其中有两个同学得了99分，还有三个同学得了96分，另外两个同学分别得了97、89分。这7个同学的平均成绩是多少？例3：从山顶到山脚的路长36千米，一辆汽车上山，需要4小时到达山顶，下山沿原路返回，只用2小时到达山脚。求这辆汽车往返的平均速度。分析与解答：求往返的平均速度，要用往返的路程除以往返的时间，往返的路程是36×2=72千米，往返的时间是4+2=6小时。所以，这辆汽车往返的平均速度是每小时行72÷6=12千米。随堂练习：小强家离学校有1200米，早上上学，他家到学校用了15分钟，从学校到家用了10分钟。求小强往返的平均速度。2例4：李华参加体育达标测试，五项平均成绩是85分，如果投掷成绩不算在内，平均成绩是83分。李华投掷得了多少他？分析与解答：先求出五项的总得分：85×5=425分，再算出四项的总分：83×4=332分，最后用五项总分减去四项总分，就等于李华投掷的成绩：425－332=93分。随堂练习：小军参加了3次数学竞赛，平均分是84分。已知前两次平均分是82分，他第三次得了多少分？例5：如果四个人的平均年龄是23岁，四个人中没有小于18岁的。那么年龄最大的人可能是多少岁？分析与解答：因为四个人的平均年龄是23岁，那么四个人的年龄和是23×4=92岁；又知道四个人中没有小于18岁的，如果四个人中三个人的年龄都是18岁，就可去求另一个人的年龄最大可能是92－18×3=38岁。随堂练习：如果三个人的平均年龄是22岁，且没有小于18岁的，那么三个人中年龄最大的可能是多少岁？拓展训练1、小明参加数学考试，前两次的平均分是85分，后三次的总分是270分。求小明这五次考试的平均分数是多少。2、二（1）班学生分三组植树，第一组有8人，平均每人植树10棵；第二组有6人，平均每人植树11棵；第三组有6人，平均每人植树9棵。二（1）班平均每人植树多少棵？3、气象小组每天早上8点测得的一周气温如下：13℃、13℃、13℃、14℃、15℃、14℃、16℃。求一周的平均气温。4、敬老院有8个老人，他们的年龄分别是78岁、76岁、77岁、81岁、78岁、78岁、76岁、80岁。求这8个老人的平均年龄。5、李大伯上山采药，上山时他每分钟走50米，18分钟到达山顶；下山时，他沿原路返回，每分钟走75米。求李大伯上下山的平均速度。6、小亮上山时的速度是每小时走2千米，下山时的速度是每小时走6千米。那么，他在上、下山全过程中的平均速度是多少千米？7、小丽在期末考试时，数学成绩公布前她四门功课的平均分数是92分；数学成绩公布后，她的平均成绩下降了1分。小丽的数学考了多少分？8、某班一次外语考试，李星因病没有参加。其他同学的平均分是95分，第二天他的补考成绩是65分，如果加上李星的成绩后，全班的平均分是94分。这个班有多少人？9、如果四个人的平均年龄是28岁，且没有大于30岁的。那么最小的人的年龄可能是多少岁？10、如果四个人的平均年龄是25岁，四个人中没有小于16岁的，且这四个人的年龄互不相等。那么年龄最大的可能是多少岁？3第2讲速算与巧算1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。例1计算：①300-73-27②1000-90-80-20-10解：①式=300-（73＋27）＝300-100=200②式=1000-（90＋80＋20＋10）＝1000-200＝800随堂练习：计算：500-124-56210-48-522.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。例2计算：①4723-（723＋189）②2356-159-256解：①式=4723-723-189＝4000-189=3811②式=2356-256-159＝2100-159=1941随堂练习：计算：368-124-168721-59-2213.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整，再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。例3计算：①506-397②467＋997解：①式=500＋6-400+3（把多减的3再加上）=109②式=467＋1000-3（把多加的3再减去）＝1464随堂练习：计算：323-189543＋198拓展训练1、用简便方法求差。①1870-280-520②4995-（995-480）③4250-294＋94④1272-9952、用简便方法计算。①890-198②365-296③284＋97④342＋1986、计算1032+1028+1033+1029+1031+103047、计算19998+39996+49995+699968、计算1208－569－2089、计算283+69－18310、计算2318+625－1318+37551265208430830125963310第3讲找规律专题简析：对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考：1、对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析；2、对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。3、对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。例1：根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数。12186815748分析与解答：经仔细观察、分析表格中的数可以发现：12+6=18，8+7=15，即每一横行中间的数等于两边的两个数的和。依此规律，空格中应填的数为：4+8=12。随堂练习：找规律，在空格里填上适当的数。916781754129162151011962449121673530例2：根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？分析与解答：经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：5×12÷10=64×20÷10=8根据这一规律，第三个圈中右下角应填的数为：8×30÷10=24随堂练习：根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。（1）6459113813例3：先计算下面一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后几题的得数。12345679×9=12345679×18=12345679×54=12345679×81=分析与解答：题中每个算式的第一个因数都是12345679，它是有趣的“缺8数”，与9相乘，结果是由九个1组成的九位数，即：111111111。不难发现，这组题得数的规律是：只要看每道算式的第二个因数中包含几个9，乘积中就包含几个111111111。因为：12345679×9=111111111所以：12345679×18=12345679×9×2=22222222212345679×54=12345679×9×6=66666666612345679×81=12345679×9×9=999999999随堂练习：找规律，写得数。1+0×9=2+1×9=3+12×9=4+123×9=9+12345678×9=例4：找规律计算。（1）81－18=（8－1）×9=7×9=63（2）72—27=（7－2）×9=5×9=45（3）63－36=（□－□）×9=□×9=□分析与解答：经仔细观察、分析可以发现：一个两位数与交换它的十位、个位数字位置后的两位数相减，只要用十位与个位数字的差乘9，所得的积就是这两个数的差。63－36=（6－3）×9=3×9=27随堂练习：利用规律计算。（1）53－35（2）82－28例5：计算（1）26×11（2）38×11分析：一个两位数与11相乘，只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个数字中间，就是所求的积。（1）26×11=2（2+6）6=286（2）38×11=3（3+8）8=418注意：如果两个数字的和满十，要向前一位进一。随堂练习：计算下面各题。（1）27×11（2）32×11拓展训练1、根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。（1）459771236916481215（2）2、找规律，写得数。（1）1×1=11×11=111×111=111111111×111111111=（2）19+9×9=118+98×9=1117+987×9=11116+9876×9=111115+98765×9=3、利用规律计算。（1）92－29（2）61－16（3）95－594、找规律计算。（1）62+26=（6+2）×11=8×11=88（2）87+78=（8+7）×11=15×11=165（3）54+45=（□+□）×11=□×11=□5、计算下面各题。（1）39×11（2）46×11（3）92×11（4）98×118第4讲变化规律例1：两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？分析与解答：一个加数增加9，假如另一个加数不变，和就增加9；假如一个加数不变，另一个加数减少9，和就减少9；和先增加9，接着又减少9，所以不发生变化。随堂练习：1，两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否