钟万勰—应用力学的辛对偶体系-精品文档125页

复，…其见天地之心乎中行独复，以从道也---易经，复卦-六四应用力学的辛对偶体系钟万勰,11-5,高教会,同济大连理工大学力学系2019/10.14,科大;2019/3.7大工;4.20交大;6.13清华;8.25,力学教育会,兴城;10.20MMM-10,太原在中国，应用力学的教学与科研受S.P.Timoshenco一套教材很深刻的影响。求解采用一类变量的体系，导致高阶偏微分方程，不易求解。因此采用半逆法凑合求解(semi-inversemethod)，例如弹性力学的Saint-Venant问题，板弯曲问题，等。正确的解的形式一假定就出来。但作出假定非常难，进一步的解？虽然我国努力进行力学科教改革，但仍离不开该体系框架。该框架下的教材使学生负担重，应予以分析。应用力学的教学、科研应从体系上进行改革分析力学是力学中最根本的部分，但在课程中讲得不多。因Timoshenko的教材，弹性力学、结构力学、流体力学、振动与稳定等课程与其关联不多。控制理论则虽然源于力学却已很少在工程力学课程中讲授了。世界正在走向Smart(灵巧)，而力学如不与控制理论相连接，又何能Smart。力学正走向微、细观，Timoshenco的教材体系已不能适应。要从体系上进行改革，分析力学的体系。天行健、君子以自强不息分析力学历来是在动力学的范围内讲述的。还要力图突破分析动力学的框框，走自己的路。分析动力学分析结构力学由连续时间的系统，发展到离散时间系统；由同时间的位移向量，发展到不同时间的位移向量；由维数自始至终不变，发展到有限元变动的维数。由物性的即时响应，进而考虑物性的时间滞后，例如粘弹性、控制理论等根据自己的工作，提问题。何用一味地随洋人。要发展自己的体系，反客为主反客为主36计之30计《乘隙插足，扼其主机。渐之进也。故反客为主之局，第一步须争客位，第二步须乘隙，第三步须插足，第四步须握机，第五步乃成为主。》1，客位：表明需要学习。2，乘隙：要发现现有系统的欠缺。3，插足：开展自己的研究，切入。4，握机：形成自己的研究体系，占据优势。5，有了自己的优势系统，当然就能反客为主。中行独复，以从道也---易经，复卦-六四“乘隙”，隙安在？《从历史上考察，人们对Hamilton体系的评价，Hamilton本人是从几何光学着手创建他的理论模式的。1834年Hamilton曾说：“这套思想与方法业已应用到光学与力学，看来还有其他方面的应用，通过数学家的努力还将发展成为一门独立的学问”，这仅仅是他的期望。》是面向应用而发展的冯康，秦孟兆：Hamilton体系的辛计算格式。浙江科技出版社，2004《19世纪同时代人对其反应则很冷淡，认为这套理论“漂亮而无用”。著名数学家F.Klein在对Hamilton体系的理论给予高度评价的同时，对其实用价值亦持怀疑态度，他说“这套理论对于物理学家是难望有用的，而对工程师则根本无用”。这种怀疑，至少就物理学的范畴而言，是被随后的历史所完全否定了。》面向应用而做的评价冯康，秦孟兆：Hamilton体系的辛计算格式。浙江科技出版社，2004到了20世纪量子力学的创始人之一Schroedinger曾说：“Hamilton原理已经成为现代物理的基石…，如果您要用现代理论解决任何物理问题，首先得把它表示为Hamilton形式。Hamilton体系应用很广，包括结构生物学，药理学，半导体，超导，等离子体，天体力学，材料和偏微分方程，其中前5个方面的应用已列为美国研究计划重点(GrandChallenge)”。物理用上了；冯康，秦孟兆：Hamilton体系的辛计算格式。浙江科技出版社，2004隙：《F.Klein对Hamilton体系的理论给予高度评价的同时，对其实用价值亦持怀疑态度，他说“这套理论对于物理学家是难望有用的，而对工程师则根本无用”》。物理用上了，但应用力学没跟上趟。他们是很讲究应用的！《学以致用》么道近年来，洋人也很注意保辛积分，见E.Hairer,Ch.LubichandG.Wanner:Geometricnumericalintegration.Springer,2002.世界数学大会ICM(InternationalCongressofMath.)第一届：1897苏黎世，主席：F.Klein第二届：1900巴黎，主席：Poincare’Hilbert提出著名的23个问题……第23届：2002北京1900年，D.Hilbert在Paris第二次世界数学大会上明确指出：“我们面临的问题是：数学会不会遭遇到像其它有些学科长期以来经历的那样的厄运。被分割成许多孤立的分支，它们的任务很难相互理解，彼此之间的关系变得更加松散。我们从不相信，也不希望那样。我认为数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力依赖于各个部分的联系….数学的有机的统一是这门学科固有的特点，因为它是一切精确自然科学知识的基础。”一百多年来数学发展的历史证实了Hilbert的名言。分析力学历来是在动力学范围内论述的.但结构力学与最优控制模拟关系的共同基础就是分析力学。表明结构力学与最优控制理论的架构内也应有分析力学的整套理论。就结构力学讲述分析力学，称分析结构力学。“分析结构力学与有限元”，动力学与控制学报，2(3):1~8，2019分析力学历来是在动力学的范围内讲述的。还要力图突破分析动力学的框框，走自己的路。分析动力学分析结构力学由连续时间的系统，发展到离散时间系统；由同时间的位移向量，发展到不同时间的位移向量；由维数自始至终不变，发展到有限元变动的维数。由物性的即时响应，进而考虑物性的时间滞后，例如粘弹性、控制理论等根据自己的工作，提问题。何用一味地随洋人。要发展自己的体系，反客为主第一章,分析力学道1687年，牛顿给出了动力学的基本方程，可说这是现代科学开始的标记。牛顿力学是用微分方程表述的体系。但工业发展需要有约束的系统动力学。1788年，拉格朗日的《分析力学》用分析的方法研究力学，主要研究数学建模以及通过广义坐标变换来求解。Lagrange体系是采用能量表述的体系。1834年，哈密顿进一步发展了拉格朗日的体系，提出了正则方程体系。经一系列数学力学大师的推进，形成了分析力学的整套体系，对物理与力学的发展做出了巨大的贡献。但对Hamilton体系的认识还有曲折。冯康1985指出，动力学差分格式要保持辛结构，自然科学一等奖。洋人也响应了：E.Hairer,Ch.LubichandG.Wanner:Geometricnumericalintegration.Springer,NY,2002.这一章只就应用中的一些基本问题进行讲述。从教学的角度来看，深入浅出是一条准则。浅出可通过一维问题切入讲述。它最简单，故便于分析求解。通过一维问题的分析力学方法，求解多种领域的有关课题，从振动到量子力学与控制理论，倒也可达到某种深入。但不是在严格数学方面的深入，否则不免会《阳春白雪，其和盖寡》同一套数学方法在不同的课题中一再出现。可能读者会感觉自己已经明白，教材太重复了。这不奇怪，因为本来就是统一的数学方法么，明白了就好。传统分析力学体系是非线性的，经数学力学大师数百年的研究，其精深内容不易为初学者掌握。为了易学易懂，可以从线性振动讲起，同样可给出辛求解体系的基本内容。在以后再讲述非线性系统的课题。通过最简单的课题入手，‘退够’，‘解剖一只麻雀’，“以小喻大”，比较容易掌握。最简单的是单自由度振动问题，我们“借题发挥”，由此讲起。§1.1，单自由度弹簧-质量系统的振动用m代表滑块的质量，k代表弹簧常数。滑块只可在x方向滑动，图1.1。滑块-弹簧系统构成了单自由度系统的振动。用()xt代表滑块振动的坐标，当然是时间的函数。图1.1，弹簧-滑块系统用()xt代表滑块振动的坐标，当然是时间的函数。滑块的速度与加速度分别为()xt与()xt，其中上面一点代表对时间的微商()ddxtxt。线性弹簧的力为()kxt。认为振动没有阻尼，而外力为()ft，与x的同向为正。根据Newton定理根据Newton定理()()()(0)(0)mxtkxtftxx已知已知，(1.1.1)这是二阶常微分方程，定解需要给出两个初始条件，也已经给出在上面方程之中。该方程的求解在传统理论力学或各种振动理论教材中是常见的。在此再讲是作为进入分析力学的引导。(1.1.1)是非齐次微分方程，从微分方程求解理论知，应先求解其齐次微分方程()()0mxtkxt(1.1.2)这个方程的求解非常容易。读者应当已经熟悉。§1.2，一维杆件的拉伸分析分析力学并不是单纯地用于动力学的。在结构力学中有许多柱形域的课题，例如杆件、梁、轴、条形板、薄壁杆件、柱形壳等的分析。结构力学与最优控制理论的模拟关系就奠基于Hamilton体系的基础上的。所以，结构力学课题基于分析力学的Hamilton体系理论分析是很重要的，分析结构力学，也是饶有兴趣的。为了便于与单自由度振动系统的分析相对比，选择一维杆件的拉伸用分析力学的方法进行求解来讲述，‘退够’。“借题发挥”。设有一根长为L的杆件在端部受到拉力P的作用，杆件只有沿轴向z的位移()wz，轴向一个自由度。杆件截面的拉伸刚度为EF(拉伸模量E，剪切模量G，杆件截面积F)，并且轴向还有刚度为kGhd的分布弹簧支承，这种轴向弹簧也可以理解为厚h宽d的剪力膜，见图1.2。现在要予以分析。kw(z)zwP图1.2，弹性支承的轴向拉杆kw(z)zwP图1.2，弹性支承的轴向拉杆记#d#dz，轴向变形与轴向力为ddzwzw，()zNzEFEFw(1.2.1)还有分布弹簧单位长度的支承力()()Rzkwz(1.2.2)于是取长度为dz的微元，可导出微分方程d()d()d()d0NzzRzEFwzkw(1.2.3)0EFwkw(1.2.3)这是常系数二阶微分方程，求解为()zzwzAeBe，2kEF(1.2.4)其中,AB为待定常数，由两端的边界条件(0)0w，与()()EFwLNLP(1.2.5)解为()[()]sinh()cosh()wzPEFzL(1.2.6)()cosh()cosh()NzPzL端部的刚度系数为()coth()RzNwEFz§1.2.1，Lagrange体系的表述，最小总势能原理问题是很简单的，但选择该课题的目的在于讲述分析力学的应用。所以用能量法再作探讨。当前是静力分析问题，有最小总势能定理。一个弹性体系的总势能由变形势能与外力势能两部分组成。外力势能是外力做功的负值()VPwL(1.2.7)而变形势能U则由两部分的积分组成1)杆件本身单位长度的变形能21L()/2wEFw(1.2.8)2)单位长度支承弹簧的变形能22L()/2wkw12L(,)LLww(1.2.9)变形势能U与总势能S分别为0L(,)dLUwwz，作用量就是变形能0()L(,)d()LSwUVwwzPwL(1.2.10)最小总势能原理要求泛函()Sw取最小。()Sw是轴向位移()wz的泛函根据最小总势能原理0S。比较单自由度振动问题。该课题的外力势能只影响到端部边界条件。12L(,)LLww就是Lagrange函数，它也由两部分组成。1L()w与w有关，它雷同于振动的动能；而2L()w与w有关，它雷同于振动的弹簧变形能都是变形能。差别在于现在是12LLL，而分析动力学的Lagrange函数构成规则是(动能-势能)。差别在于现在是12LLL而分析动力学的Lagrange函数构成规则是(动能-势能)。故从势能变分原理推导的平衡方程就是Lagrange方程，是Lagrange体系的表述dLLdd()()0dddwEFkwzwwzz(1.2.11)就是(1.2.3)式。所以对于结构力学柱形域的问题，分析力学方法仍是可用的。对线性课题，势能(()wz是域内的真解)220022aa0ab02bb2L(,)d[]/2d/2/2LLUwwzkwE