相似三角形的六大证明技巧大全

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实用标准文档精彩文案相似三角形的判定方法总结:1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.2.三边成比例的两个三角形相似.(SSS)3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(SAS)4.两角分别相等的两个三角形相似.(AA)5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)相似三角形的模型方法总结:“反A”型与“反X”型.示意图结论EDCBA反A型:如图,已知△ABC,∠ADE=∠C,则△ADE∽△ACB(AA),∴AE·AC=AD·AB.若连CD、BE,进而能证明△ACD∽△ABE(SAS)ODCBA反X型:如图,已知角∠BAO=∠CDO,则△AOB∽△DOC(AA),∴OA·OC=OD·OB.若连AD,BC,进而能证明△AOD∽△BOC.“类射影”与射影模型示意图结论ABCD类射影:如图,已知△ABC,∠ABD=∠C,则△ABD∽△ACB(AA),∴2AB=AD·AC.CABH射影定理如图,已知∠ACB=90°,CH⊥AB于H,则222,,ACAHABBCBHBAHCHAHB相似三角形6大证明技巧第2讲相似三角形证明方法模块一14“旋转相似”与“一线三等角”示意图结论ABCDE旋转相似:如图,已知△ABC∽△ADE,则ABADACAE,∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,∴△BAD∽△CAE(SAS)CBAED一线三等角:如图,已知∠A=∠C=∠DBE,则△DAB∽△BCE(AA)巩固练习反A型与反X型已知△ABC中,∠AEF=∠ACB,求证:(1)AEABAFAC(2)∠BEO=∠CFO,∠EBO=∠FCO(3)∠OEF=∠OBC,∠OFE=∠OCBOFECBA类射影如图,已知2ABACAD,求证:BDABBCACABCD射影定理已知△ABC,∠ACB=90°,CH⊥AB于H,求证:2ACAHAB,2BCBHBA,2HCHAHB实用标准文档精彩文案通过前面的学习,我们知道,比例线段的证明,离不开“平行线模型”(A型,X型,线束型),也离不开上述的6种“相似模型”.但是,王老师认为,“模型”只是工具,怎样选择工具,怎样使用工具,怎样用好工具,取决于我们如何思考问题.合理的思维方法,能让模型成为解题的利刃,让复杂的问题变简单。在本模块中,我们将学比例式的证明中,会经常用到的思维技巧.技巧一:三点定型法技巧二:等线段代换技巧三:等比代换技巧四:等积代换技巧五:证等量先证等比技巧六:几何计算【例1】如图,平行四边形ABCD中,E是AB延长线上的一点,DE交BC于F,求证:DCCFAEAD.ABCFDE【例2】如图,ABC△中,90BAC,M为BC的中点,DMBC交CA的延长线于D,交AB于E.求证:2AMMDMECBAEDM【例3】如图,在RtABC△中,AD是斜边BC上的高,ABC的平分线BE交AC于E,交AD于F.求证:BFABBEBC.DBACFE比例式的证明方法模块二技巧一:三点定型16悄悄地替换比例式中的某条线段…【例4】如图,在△ABC,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F,求证:2FDFBFCABCDEF【例5】如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在边BA的延长线上,CE交AD于F,ECAD.求证:ACBECEAD.CBADEF【例6】如图,△ACB为等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°,∠DAE=45°,求证:2ABBECDABCDE【例7】如图,ABC△中,ABAC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CFAB∥,延长BP交AC于E,交CF于F.求证:2BPPEPF.CBADPEF技巧二:等线段代换实用标准文档精彩文案【例8】如图,平行四边形ABCD中,过B作直线AC、AD于O,E、交CD的延长线于F,求证:2OBOEOF.OFEDCBA【例9】如图,在ABC△中,已知90A时,ADBC于D,E为直角边AC的中点,过D、E作直线交AB的延长线于F.求证:ABAFACDF.EFCABD【例10】如图,在ABC△中(AB>AC)的边AB上取一点D,在边AC上取一点E,使ADAE,直线DE和BC的延长线交于点P.求证:BPCECPBDECDBAP技巧三:等比代换18PMNDABC【例11】如图,ABC△中,BD、CE是高,EHBC于H、交BD于G、交CA的延长线于M.求证:2HEHGMH.ABCDEHGM【例12】如图,在ABC△中,ADBC于D,DEAB于E,DFAC于F,连EF,求证:∠AEF=∠CFEDCBA【例13】如图,在ABC△中,90BAC,D为AC中点,AEBD,E为垂足,求证:CBDECD.CBADE【例14】在Rt△ABC中,AD⊥BC,P为AD中点,MN⊥BC,求证2MNANNC技巧四:等积代换实用标准文档精彩文案【例15】已知,平行四边形ABCD中,E、F分别在直线AD、CD上,EF//AC,BE、BF分别交AC于M、N.,求证:AM=CN.FMNEDCBA【例16】已知如图AB=AC,BD//AC,AB//CE,过A点的直线分别交BD、CE于D、E.求证:AM=NC,MN//DE.DCBAEMN【例17】如图,△ABC为等腰直角三角形,点P为AB上任意一点,PF⊥BC,PE⊥AC,AF交PE于N,BE交PF于M.,求证:PM=PN,MN//AB.CBAPEFNM技巧五:证等量先证等比20【例18】如图,正方形BFDE内接于△ABC,CE与DF交于点N,AF交ED于点M,CE与AF交于点P.求证:(1)MN//AC;(2)EM=DN.PNMEFDABC【例19】(※)设E、F分别为AC、AB的中点,D为BC上一点,P在BF上,DP//CF,Q在CE上,DQ//BE,PQ交BE于R,交CF于S,求证:13RSPQCBADPQSEFGR实用标准文档精彩文案【例20】(※)如图,梯形ABCD的底边AB上任取一点M,过M作MK//BD,MN//AC,分别交AD、BC于K、N,连KN,分别交对角线AC、BD于P、Q,求证:KP=QN.QNSPRKMODCBA【例21】(2016年四月调考)如图,在△ABC中,AC>AB,AD是角平分线,AE是中线,BF⊥AD于G,交AC于点M,EG的延长线交AB于点H.(1)求证:AH=BH,(2)若∠BAC=60°,求FGDG的值.HMFGEDCBA技巧六:几何计算22【例22】(2016七一华源)如图:正方形ABCD中,点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD上,∠1=∠2=∠3=α.求证:(1)EF+EG=AE(2)求证:CE+CG=AF

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