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1第七章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。——常用来比较角的大小5.多边形的内角与外角多边形的内角和与外角和（识记）正n边形34568101215内角和180°360°540°720°1080°1440°1800°2340°外角和360°360°360°360°360°360°360°360°每一个内角n360180180)2(或nn60°90°108°120°135°144°150°158°每一个外角n360180)2(180或nn120°90°72°60°45°36°30°22°24题图EBDACH（1）多边形的内角和：（n-2）180°（2）多边形的外角和：360°引申：（1）从n边形的一个顶点出发能作（n-3）条对角线；（2）多边形有2)3(nn条对角线。（3）从n边形的一个顶点出发能将n边形分成（n-2）个三角形；※6．镶嵌（1）同一种正三边形、正四边形、正六边形可以进行平面镶嵌；（2）正三角形与正四边形、正三角形与正六边形……可以进行平面镶嵌；（1）同一种任意三角形、任意四边形可以进行镶嵌。【典型例题】三角形的分类例题1：具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（B）。A：∠A+∠B=∠CB：∠A=∠B=∠CC：∠A=90°-∠BD：∠A-∠B=90例题2：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为(D)．A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°如图，∠1+∠2+∠3+∠4等于多少度；（280°）练习：1、如图，下列说法错误的是(A)A、∠B∠ACDB、∠B+∠ACB=180°－∠AC、∠B+∠ACB180°D、∠HEC∠B2、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是(C).A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、无法确定三角形的内角和、外角和相关的计算与证明例题1：若三角形的三个外角的比为3：4：5，则这个三角形为（B）．A．锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形例题2：已知等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角为_______.练习：1、如图，若∠AEC=100°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于(A)A.125°B.115°C.110°D.105°2、如图，∠1=______.3、如图，则∠1=______,∠2=______,∠3=______,4、已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是(C)图4432140_3题图_150_50_3_2_1_2题图_140_80_1_1题图_F_E_A_C_B_D3A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形5、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为(C)A.30°B.60°C.90°D.120°6、已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数(D).A.90°B.110°C.100°D.120°例7.如图（1）所示，△中，的平分线交于点，求证：.（1）（2）（3）变式1：如图（2）所示，△中，内角和外角的平分线交于点，求证：.变式2：如图（3）所示，△中，外角的平分线交于点，求证：.分析：本题已知△的内角平分线和外角平分线，从而想到可利用三角形角平分线的性质，三角形的内角和定理以及外角与内角的关系证题。解答：如图（1），∵在△中，又∵的平分线交于点，∴变式1：∵是△的一个外角，∴4∵平分，平分，且是△的外角，∴，即∴变式2：在△中，在△中，∵平分，且三点共线，∴，同理可证∴∴例5.已知：如图，在△中，，分别是边上的高，相交于，求的度数。分析：由已知可求，在△中，故先求和。解答：∵∴设，则∴，解得∴∵为边上的高，∴5∴在中，同理∴在△中，例题1：若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（A）A．三角形B．六边形C．五边形D．四边形例题2：下列说法错误的是（A）A．边数越多，多边形的外角和越大B．多边形每增加一条边，内角和就增加180°C．正多边形的每一个外角随着边数的增加而减小D．六边形的每一个内角都是120°例题3：一个多边形内角和与其中一个外角的总和为1360°这个多边形的边数为9.例题4：一个多边形的每一个外角都是24°，则此多边形的内角和（B）A．2160°B．2340°C．2700°D．2880°练习：1．一个多边形内角和是10800，则这个多边形的边数为（B）A、6B、7C、8D、92．一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是（C）A、四边形B、五边形C、六边形D、八边形3．一个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加(A)A.180°B.360°C.(n-2)·180°D.n·1804、若一个多边形的内角和与外角和相加是1800°，则此多边形是(B)A、八边形B、十边形C、十二边形D、十四边形5、正方形每个内角都是_90°_____，每个外角都是___90°____。6、多边形的每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有9条。7、正六边形共有___9____条对角线，内角和等于____720°______，每一个内角等于__120°_____。8、内角和是1620°的多边形的边数是_11_____。9、如果一个多边形的每一外角都是24°，那么它是__15____边形。10、将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和___180°或360°_。11、一个多边形的内角和与外角和之比是5∶2，则这个多边形的边数为__8____。12、一个多边形截去一个角后,所得的新多边形的内角和为2520°,则原多边形有_15或16或17___条边。13.已知一个十边形中九个内角的和的度数是12900，那么这个十边形的另一个内角为150度.考点六：镶嵌例题1：装饰大世界出售下列形状的地砖：○1正方形；○2长方形；○3正五边形；○4正六边形。若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖有（B）A.○1○2○3B.○1○2○4C.○2○3○4D.○1○3○4例题2：边长相等的下列两种正多边形的组合，不能作平面镶嵌的是(B)A.正方形与正三角形B.正五边形与正三角形C.正六边形与正三角形D.正八边形与正方形6练习：1.下列正多边中，能铺满地面的是（B）A、正方形B、正五边形C、等边三角形D、正六边形2.下列正多边形的组合中，不能够铺满地面的是(D).A.正六边形和正三角形B.正三角形和正方形C.正八边形和正方形D.正五边形和正八边形3.用正三角形和正十二边形镶嵌，可能情况有(B)种.A、1B、2C、3D、44.某装饰公司出售下列形状的地砖：①正方形；②长方形；③正五边形；④正六边形.若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖共有(C)种.A、1B、2C、3D、45.小李家装修地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则小李不应购买的地砖形状是(C)A、正方形B、正六边形C、正八边形D、正十二边形6.用正三角形和正四边形作平面镶嵌，在一个顶点周围，可以有_3__个正三角形和_2__个正四边形。7.如图，第n个图案中有白色地砖_（4n+2）____块.8.多边形的内角和与某一个外角的度数总和为，求多边形的边数。分析：利用多边形的内角和公式来求，另外此题隐含边数为正整数这个条件。解答：设边数为，这个外角为，则，依题意有：∴∵为正整数，∴（）必为180的倍数。又∵，∴，∴_第1个_第3个_第?2个