第九章-奇异期权

期权市场是世界上最具有活力和变化的市场之一，盈利和避险的需要不断推动新工具的产生。通过在常规期权的基础上加入了条件约束或者增加新的变量等方式，形成比先前所学习的常规期权更复杂的衍生证券，统称为奇异期权。奇异期权是世界上最具生命力的金融工具之一，其内涵和外延无时不处在变化和拓展中。由于奇异期权的多样性，要对它们进行完全的描述是不可能的。本章我们将介绍其中一些常见的新型期权，分析其定价和保值机制。这些思路和方法将有助于我们理解市场中不断创新的期权工具。知识点标题认知度9.1奇异期权概述9.1.1奇异期权的分类特征（1）——分拆与组合9.1.5奇异期权的分类特征（5）——维数9.2障碍期权在布莱克—舒尔斯偏微分方程框架中为障碍期权定价了解了解9.1.2奇异期权的分类特征（2）——弱路径依赖9.1.3奇异期权的分类特征（3）——强路径依赖9.1.4奇异期权的分类特征（4）——时间依赖9.1.6奇异期权的分类特征（6）——阶数9.2.1障碍期权的分类9.2.2障碍期权的性质9.2.4数值定价方法9.2.3了解了解了解了解了解熟悉熟悉熟悉知识点标题认知度9.2.5障碍期权的套期保值9.3亚式期权9.3.1亚式期权的种类9.3.29.3.3亚式期权定价公式的具体方法9.4回溯期权9.4.1在布莱克—舒尔斯模型框架下的回溯期权9.4.2回溯期权的定价公式9.4.3回溯期权的数值定价方法9.5其他奇异期权9.5.1两值期权9.5.2打包期权强势路径依赖期权定价的基本思想及其在亚式期权中的应用熟悉了解熟悉熟悉熟悉熟悉熟悉了解了解知识点标题认知度9.5.3非标准美式期权9.5.4远期开始期权9.5.5呐喊期权9.5.6复合期权和选择者期权9.5.7多资产期权了解了解了解了解了解奇异期权：比常规期权(标准的欧式或美式期权)更复杂的衍生证券。比如执行价格不是一个确定的数，而是一段时间内的平均资产价格的期权，或是在期权有效期内如果资产价格超过一定界限，期权就作废。WhyamIcalledExotic?分拆和组合是金融工程的核心之一。最基本的奇异期权是对常规期权和其他一些金融资产的分拆和组合，从而得到我们所需要的回报。通过对奇异期权到期时回报的数学整理，常常可以把期权分成常规期权、简单期权和其他金融资产的组合，从而大大简化期权定价过程。导致弱式路径依赖的第二个最常见的原因是。当标的资产价格在事先确定的时间内触及某个预先确定的障碍水平时，障碍期权（敲入或敲出期权）就可能被敲出（作废）或是敲入（开始生效）。这种期权显然是路径依赖的，但是因为我们仍然只需要解一个以资产价格和时间为变量的偏微分方程，它仍然只是弱式路径依赖的。如果期权价值会受到路径变量的影响，但是在期权定价的偏微分方程中并不需要比与之类似的常规欧式期权增加新的独立路径依赖变量，就属于弱式路径依赖性质的期权。强路径依赖性质表明：期权的损益除了取决于标的资产的目前价格和时间之外，还取决于资产价格路径的一些特征。期权价值是原先的期权价格、时间和至少再多一个独立变量的函数，相应的在期权价值偏微分方程中也将增加期权价值对这些独立变量的导数。奇异期权的一种变化形式是在以上所述的所有特征中加入时间依赖（TimeDependence）的特性比如说美式期权只能在特定的一段时间之内提前执行，如百慕大期权；敲出期权的障碍位置也可以随着时间而不同，每个月都可以设定一个比上个月更高的水平。这些合约都可以称作是时间上非均匀的（Time-inhomogeneous）。这些变化使得期权合约更加丰富，也更符合客户和市场的特殊需求。2.弱式路径依赖期权合约和那些除了不是路径依赖之外其他条件都与之完全相同的期权合约的维数相同。维数（Dimensions）指的是基本的独立变量的个数。二维的形式：1.常规期权有两个独立变量S和t，因此是二维的。对于这些合约来说，资产价格这个变量的作用和时间变量的作用是彼此不同的，因为在布莱克－舒尔斯方程中，包含了对资产价格的二阶偏导而只有对时间的一阶偏导。1.有其他随机源的时候，比如期权中有多个标的资产。假设有一个期权，要取两种股票价格的最大值。这两种标的资产都是随机的，每种都有自己的波动率，它们之间还有相关关系。在布莱克－舒尔斯方程中，我们将会出现对每种资产价格的二阶偏导，我们把这叫做存在和的扩散过程，这就出现了三维问题。1S2S多维的形式：2.强式路径依赖的合约。比如一种新的独立变量是路径依赖量（比如亚式期权中的价格平均数）的一个衡量，期权价值是依赖于这个量的。这样，期权价格方程中需要再增加新的变量，但这时期权价格对这个新变量的导数只是一阶的。这样这个新的变量看起来更像是一个象时间一样的变量，这与多标的资产的情况显然是不同的。1t2t奇异期权最后的一个分类特征是期权的阶数，但这不仅是一种分类特征，还引入了建模的问题。常规期权是一阶的，其损益仅直接取决于标的资产价格其他的如路径依赖期权，如果路径变量直接影响期权价格的话，它也是一阶的。高阶指的是那些期权损益和价值取决于另一个（些）期权的价值。最典型的二阶期权的例子是复合期权。比如一个看涨期权给予持有者购买一个看跌期权的权利。复合期权在时刻到期，而作为其自变量的那个标的期权则在更迟的一个时刻到期。从实际的角度来看，高阶期权的存在提出了一些重要的建模问题：复合期权的损益取决于标的期权的市场价值而非理论价值。我们对两阶期权都要使用理论模型，这时高阶期权对模型正确与否就非常敏感，需要很小心地处理。障碍期权（BarrierOptions）是指期权的回报（Payoff）依赖于标的资产的价格在一段特定时间内是否达到了某个特定的水平（临界值），这个临界值就叫做“障碍”水平。通常有许多种不同的障碍期权在场外市场进行交易。1.敲出障碍期权（Knock-outOptions）：当标的资产价格达到一个特定的障碍水平时，该期权作废（即被“敲出”）；如果在规定时间内资产价格并未触及障碍水平，则仍然是一个常规期权。2.敲入障碍期权（Knock-inOptions）：正好与敲出期权相反，只有资产价格在规定时间内达到障碍水平，该期权才得以存在（即“敲入”），其回报与相应的常规期权相同；反之该期权作废。在此基础之上，我们可以通过考察障碍水平与标的资产初始价格的相对位置，进一步为障碍期权分类：1.如果障碍水平高于初始价格，则我们把它叫做向上期权。2.如果障碍水平低于初始价格，则我们把它叫做向下期权。将以上分类进行组合，我们可以得到诸如向下敲出看涨期权（Down-and-outCall）、向下敲入看跌期权（Down-and-inPut）等组合形式。根据市场需求而变形的特殊交易条款障碍水平的重新设定障碍水平的时间依赖性外部障碍期权提前执行的可能性多次触及障碍水平特殊交易条款部分折扣双重障碍障碍期权是路径依赖期权，它们的回报，以及它们的价值要受到资产到期前遵循的路径的影响。障碍期权是属于弱式路径依赖。我们只需要知道这个障碍是否被触发，而并不需要关于路径的其他任何信息。关于路径的信息不会成为我们定价模型中的一个新增独立变量，如果障碍水平没有被触发，障碍期权到期时的回报仍然和常规期权是相同的。障碍期权通常比常规期权便宜。障碍距离资产价格现价越近，期权被敲出的可能性越大，合约就越便宜。相反，一个敲入期权将会被某个相信障碍水平将会实现的人购买，这时期权同样也会比相应的普通期权便宜。购买者可以使用它们来为某些非常特定的具有类似性质的现金流保值。定价基本原理障碍期权是弱式路径依赖的，这使得我们仍然可以直接应用布莱克-舒尔斯期权定价偏微分方程来为其定价。在障碍条件被触发之前，期权价值仍然满足222212fffrSSrftSS障碍条件则反映在相应的边界条件上。1.敲出障碍当标的资产价格达到敲出障碍水平时，期权合约作废，因此边界条件为当tT时，f(H,t)=0其中H可以是向上或向下的障碍水平。对于一个向上敲出障碍期权来说，我们要在的条件下解出布莱克-舒尔斯偏微分方程，同时考虑资产价格达到H时的边界条件（9.1），最后如果障碍水平没有达到，还需要考虑回报。如一个看涨期权，我们有：这一边界条件。如果是一个向下敲出障碍期权，则将范围改为，考虑相应的两个边界条件，解出偏微分方程。注意如果合约中有部分折扣规定的话，边界条件当tT时，f(H,t)=0可以修改为：f(H,t)=R其中R为折扣数。0SH,max,0fSTSXHS2.敲入障碍敲入期权只有在障碍水平被触及的时候才有价值，因此，如果没有到达障碍水平，则对于敲入期权来说，其价值在于到达障碍的可能性。如果是一个向上敲入期权，那么在资产价格到达上限的时候，合约的价值就等于一个相应的常规期权价值。当时，＝。对于敲入期权来说，当障碍被触及时，我们得到的是衍生工具本身，因此一个敲入期权实际上是一个二阶合约。在解敲入期权价值的时候，我们必须先得到常规期权的价值，因此要花解敲出期权两倍的时间，才能得到敲入期权的价值。,0fST,fHt,bfHttT,fHt,bfHt3.敲入和敲出障碍期权的关系在不考虑折扣R的情况下，具有相同的执行价格、到期时间和障碍水平的敲入期权和敲出期权具有如下的关系：这是因为无论资产价格是否触及障碍水平，敲入期权和敲出期权的组合总能得到与常规期权相同的回报。这个关系在障碍期权定价中很有意义，只需要求出其中一个障碍期权，即可得到另一个的价值。障碍期权的具体定价公式向下敲出看涨期权向下敲入看涨期权2212,,,rbbSHfStfStftSH2212,,rbSHfStftSH障碍期权定价的扩展波动率的选择标的资产价格的观察频率障碍期权合约中增加条款的考虑数值定价方法将结点设置在障碍上结点不在障碍水平上的调整适应性网状模型图9.4.2.1三叉树图图9.4.2.2二叉树图尽可能地用交易活跃的常规看涨和看跌期权来复制障碍期权价值。障碍期权的静态套期保值比如为向上敲出看涨期权空头保值的一个常用方法是买进同样价格和到期日的看涨期权多头，若期权敲出，则还有一个看涨期权多头可以弥补。但是只有在障碍水平和执行价格以正确的顺序排列的时候才有效。假设我们目前拥有一个向下敲入看涨期权，并假设障碍水平H和执行价格X相等。现在用一个具有同样执行价格的常规看跌期权空头来为其保值。如果触及障碍水平，则我们的组合头寸价值为，其中第一项来自障碍期权，第二项来自常规期权。根据平价关系和，组合价值正好等于，这是一个接近0的数。此时我们将两个期权平仓，就可实现保值。cp1rTtrTtSXeXeHX反射保值很简单但效果相当不错，这个方法建立在反射原理和看涨看跌对称的基础上，亚式期权（AsianOptions）是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的奇异期权之一。它最重要的特点在于：其到期回报依赖于标的资产在一段特定时间（整个期权有效期或其中部分时段）内的平均价格。它属于强式路径依赖期权，因为这一平均价格将成为定价公式中的一个独立状态变量。121...nISSSn1231lnlnlnln...lnnISSSSn平均资产价期权平均执行价期权几何平均算术平均定义反映资产价格路径平均值的变量，消除随机项，获得无风险收益。使用B—S公式得到偏微分方程：其中为平均值函数，视期权合约条款规定而不同分析易得，即I所满足的随机偏微分方程中并没有包含随机项，因此我们仍然可以建立一个无风险组合0,tItFSd,FS,dIFStdt22221,02ffffSfStrSrftSIS连续取样平均,,ffSItSS,,,fSITPSI2222102ffffSSrSrftSIS22221ln02ffffSSrSrftSIS偏微分方程中增加了对变量I的一阶偏导，是对第三个独立变量的影响的描述。边界条件变为连续取样平