1.已知抛物线2:4Cyx,直线:lyxb与抛物线C交于,AB两点.(Ⅰ)若以AB为直径的圆与x轴相切,求该圆的方程;(Ⅱ)若直线l与y轴负半轴相交,记AOB面积为S,求bS的最大值答案:1.解:(1)令线段AB中点坐标为P00,yx,则由题意得,20ABy,由xy42,bxy得0442byy由01616b,得1b421yy,byy421,21212yybxx21221221221221422yyyyyyyyxxAB=bb1241616222210yyy,所以2122b,解出21b2322210bxxx,所求圆的方程为422322yx(8分)(2)由(1)知,bAB124,点O到直线AB的距离2bdbbbbS12212421,bS=41212122bbb,因01b,所以当21b时,bS取最大值1(15分)略2.(本题满分13分)已知椭圆C的两个焦点是(0,-3)和(0,3),并且经过点3(1)2,,抛物线的顶点E在坐标原点,焦点恰好是椭圆C的右顶点F.(Ⅰ)求椭圆C和抛物线E的标准方程;(Ⅱ)过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2,l1交抛物线E于点A、B,l2交抛物线E于点G、H,求HBAG的最小值.答案:2.(I)设椭圆的标准方程为12222bxay(ab0),焦距为2c,则由题意得c=3,22332(13)(13)444a,∴a=2,222bac=1,∴椭圆C的标准方程为2214yx.………………………………………4分∴右顶点F的坐标为(1,0).设抛物线E的标准方程为22(0)ypxp,∴1242pp,,∴抛物线E的标准方程为24yx.…………………………………………6分(Ⅱ)设l1的方程:(1)ykx,l2的方程1(1)yxk,11()Axy,,22()Bxy,,33()Gxy,,44()Hxy,,由2(1)4ykxyx,,消去y得:2222(24)0kxkxk,∴x1+x2=2+24k,x1x2=1.由21(1)4yxkyx,,消去y得:x2-(4k2+2)x+1=0,∴x3+x4=4k2+2,x3x4=1,……………………………………………………9分∴()()AGHBAFFGHFFB=FBFGHFFGFBAFHFAF=|AF|·|FB|+|FG|·|HF|=|x1+1|·|x2+1|+|x3+1|·|x4+1|=(x1x2+x1+x2+1)+(x3x4+x3+x4+1)=8+2244kk≥8+22442kk=16.当且仅当2244kk即k=±1时,HBAG有最小值16.……………………13分3.(本题满分12分)已知12,FF为椭圆2222:1xyCab0ab的左右焦点,O是坐标原点,过2F作垂直于x轴的直线2MF交椭圆于M,设2MFd.(1)证明:,,dba成等比数列;(2)若M的坐标为2,1,求椭圆C的方程;(3)在(2)的椭圆中,过1F的直线l与椭圆C交于A、B两点,若0OAOB,求直线l的方程.答案:3.(1)证明:由条件知M点的坐标为0,cy,其中0yd,22222221,1cdcbdbabaa,dbba,即,,dba成等比数列.………3分(2)由条件知2,1cd,22212baab22ab椭圆方程为22142xy…6分所以2122212242kxx,12k4k4xx12k+科+网]由0OAOB得1212xxyy04.(原创)(本小题满分12分)如图,已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率是22,12,AA分别是椭圆C的左、右两个顶点,点F是椭圆C的右焦点。点D是x轴上位于2A右侧的一点,且满足121122ADADFD。(1)求椭圆C的方程以及点D的坐标;(2)过点D作x轴的垂线n,再作直线:lykxm与椭圆C有且仅有一个公共点P,直线l交直线n于点Q。求证:以线段PQ为直径的圆恒过定点,并求出定点的坐标。答案:4.(1)12(,0),(,0),(,0)AaAaFc,设(,0)Dx,由12112ADAD有112xaxa,又1FD,1,1xcxc,于是11211caca1(1)(1)ccaca,又222caca,1(12)(12)ccccc20cc,又0c,1,2,1cab,椭圆22:12xCy,且(2,0)D。(2)(2,2)Qkm,设00(,)Pxy,由2222()1212ykxmxkxmxy222()2xkxm222(21)4220kxkmxm,由于22222222164(21)(22)021021kmkmkmmk(*),而由韦达定理:*00222422222121kmkmkmkxxkkmm由(),20021kykxmmmm,21(,)kPmm,设以线段PQ为直径的圆上任意一点(,)Mxy,由0MPMQ有2221212()(2)()((2))0(2)(2)(1)0kkkxxyykmxyxkmymmmmm由对称性知定点在x轴上,令0y,取1x时满足上式,故过定点(1,0)K。1A2AOFDPQlnxy5.(本题满分l3分)已知椭圆C:2211xym的两个焦点是F1(c,0),F2(c,0)(c0)。(I)若直线2yx与椭圆C有公共点,求m的取值范围;(II)设E是(I)中直线与椭圆的一个公共点,求|EF1|+|EF2|取得最小值时,椭圆的方程;(III)已知斜率为k(k≠0)的直线l与(II)中椭圆交于不同的两点A,B,点Q满足AQ=QB且0NQAB,其中N为椭圆的下顶点,求直线l在y轴上截距的取值范围.答案:5.6.(本小题14分)已知椭圆P的中心O在坐标原点,焦点在x轴上,且经过点)32,0(A,离心率为21。(1)求椭圆P的方程;(2)是否存在过点)4,0(E的直线l交椭圆P于点,,TR且满足716OTOR,若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由。答案:6.(1)设椭圆方程为)0(12222babyax22212122121221221222222211222243)1(4816)(4)4)(4(4316433241001632)43(112164:),(),()2(1121623241222132kkxxkxxkkxkxyykxxkkxxkkxxkyxkxylyxTyxRkyxcbacacaaceb设设存在易知椭圆方程为为所求或0404:1171643)1(48431671671622222121yxyxlkkkkkyyxxOTOR7.(本小题14分)已知椭圆C:12222byax0ba的离心率为21,且过点23,1P,F为其右焦点。(1)求椭圆C的方程。(2)设过点0,4A的直线l与椭圆相交于NM,两点(点M在NA,两点之间),若AMF与MFN的面积相等,试求直线l的方程。答案:7.①CbCaaC3,221134114341)23,1(,134222222222yxCCCPCyCx代入点设椭圆②已知直线l斜率存在,设l方程为y=k(x-4)0126432)34(134)4(222222kxkxky,yxxky得消去△=(32k2)2-4(3+4k2)(64k2-12)02121k)4(6565365431264)4431642(43164)5()4()5(431264)42()2(42)4(43164,)3)(1()3(42)2(431264)1(4332),(),(2222222221112221221222122212211xykkkkkkkkkkxxxxkkxxxx,kkxxkkxxyxNyxM解得代入将得代入将得消去由由已知设8.已知椭圆C两焦点坐标分别为1(3,0)F,2(3,0)F,且经过点1(3,)2P.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)已知点(0,1)A,直线l与椭圆C交于两点,MN.若△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形,试求直线l的方程.答案:8.(Ⅰ)设椭圆标准方程为22221(0)xyabab.依题意1211212444aPFPF,所以2a.又3c,所以2221bac.于是椭圆C的标准方程为2214xy.………………5分(Ⅱ)依题意,显然直线l斜率存在.设直线l的方程为ykxm,则由2214xyykxm得222(41)8440kxkmxm.因为2222644(41)(44)0kmkm,得22410km.………………①设1122(,),(,)MxyNxy,线段MN中点为00(,)Qxy,则12221228414441kmxxkmxxk于是000224,4141kmmxykxmkk.因为AMAN,线段MN中点为Q,所以AQMN.(1)当00x,即0k且0m时,0011ykx,整理得2341mk.………………②因为AMAN,1122(,1),(,1)AMxyANxy,所以2212121212(1)(1)(1)(1)()21AMANxxyykxxkmxxmm22222448(1)(1)()2104141mkmkkmmmkk,整理得25230mm,解得35m或1m.当1m时,由②不合题意舍去.由①②知,35m时,55k.(2)当00x时,(ⅰ)若0k时,直线l的方程为ym,代入椭圆方程中得221xm.设2(21,)Mmm,2(21,)Nmm,依题意,若△AMN为等腰直角三角形,则AQQN.即2211mm,解得1m或35m.1m不合题意舍去,即此时直线l的方程为35y.(ⅱ)若0k且0m时,即直线l过原点.依椭圆的对称性有(0,0)Q,则依题意不能有AQMN,即此时不满足△AMN为等腰直角三角形.综上,直线l的方程为35y或5530xy或5530xy.………………14分9.已知椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F(2,0),离心率e=22,M、N是椭圆上的的动点。(Ⅰ)求椭圆标准方程;(Ⅱ)设动点P满足:2OPOMON,直线OM与ON的斜率之积为12,问:是否存在定点12,FF,使得12PFPF为定值?,若存在,求出12,FF的坐标,若不存在,说明理由。(Ⅲ)若M在第一象限,且点,MN关于原点对称,点M在x轴上的射影为A,连接NA并延长交椭圆于点B,证明:MNMB;答案:9.(Ⅰ)由题知:22,222cacca故2222bac故椭圆的标准方程为:22142xy(Ⅱ)设1122(,),(,),(,)pPPxyMxyNxy,由2OPOMON可得:12122.............2