第八章变分法

八、能量原理与变分方法材料质点（微单元体）能量原理与变分法静力平衡变形几何物理关系偏微分方程变分法整个变形体的能量积分方程（能量的变分为零）变分法是有限元方法的基础变分法与微分方程的描述，两者可以转化静力可能状态•物体Q，在内部受体力(X，Y，Z)作用，•在静力边界S上受面力(，，)作用XYZSuS(X,Y,Z)(X,Y,Z)外力与内力(应力）处处（物体内和边界上）满足平衡。0Xzyxszxsyxsx0Yzyxszysysxy0ZzyxszsyzsxzXnmlszxsyxszYnmlszysyszyZnmlszsyzsxz•在物体内满足平衡微分方程•在静力边界上满足静力边界条件•在位移边界上，其反力由上式给出xddxuxydddxyvuxddyvydddyzwzvzddzwzuwdddzxx•在物体内位移与应变满足几何方程ud=vd=wd=uvw•在位移边界Su上，满足位移边界条件变形协调变形可能状态•静力可能状态（s）和变形可能状态（d）是同一物体的两种不同的受力状态和变形状态，两者可以彼此完全独立而没有任何关系•静力可能状态的应力所给出的变形一般不满足变形协调变形可能状态给出的应力一般不满足平衡微分方程可能功原理外力（体力和面力，包括反力）在变形可能的位移上所做功＝内力（应力）在变形可能的应变上所做功SuS(X,Y,Z)(X,Y,Z)ijsS(u=u,v=v,w=w)uu,v,wddddddijdQSSudQwWvYuXdwWvYuXddddddQdzxszxdyzsyzdxysxyszszsysydxsxdQdQwZzyxvYzyxuXzyxdddQszsyzsxzszysysxyszxsyxsx0dwvuddduSSszsyzsxzszysyszyszxsyxszZnmlYnmlXnml证明:dQwzyxvzyxuzyxdddQszsyzsxzszysysxyszxsyxsxdwvuwvuwvuddddddddduSSszszyszxsyzsysyxsxzsxysxnmldwvuddduSSszsyzsxzszysyszyszxsyxsznmlnmlnml散度定理QzdQzAyAxAyxdnAmAlAzyxQdzxszxdyzsyzdxysxydzszdysydxsxdQQdzxszxdyzsyzdxysxydzszdysydxsxdQdQwvuzwvuywvuxdddddddddQszszyszxsyzsysyxsxzsxysxQdzxszxdyzsyzdxysxydzszdysydxsxdQSuu=0,v=0,w=0)iju,v,w)SuS(X,Y,Z)(X,Y,Z)ijij真实状态（静力可能状态）虚位移状态（变形可能状态）虚位移（功）原理QSdQwWvYuXdwWvYuXQzxzxyzyzxyxyZZyyxxdQ外力虚功＝内力虚功（1）虚功原理没有涉及到物理方程，即没有规定应力与应变之间的具体关系，因此，对弹性、塑性情况均适用。（2）虚位移原理完全等价于平衡微分方程和力边界条件。使用可能功原理，并考虑到位移边界上反力功为零0uSdwWvYuX使用位移法求解，应力、应变等都通过几何方程和物理方程看作是位移的函数。若位移及与之相应的应力与应变满足：（1）单值连续（由它给出的应变满足变形协调条件），（2）位移边界条件，（3）平衡微分方程，（4）静力边界条件，则该位移就是问题的解，即为真实位移。仅满足前两个条件的位移场是变形可能的位移场，而后两个条件等价于虚位移原理。求解弹性力学问题又可叙述为：在所有变形可能的位移场中，寻找所给出的应力能满足虚位移原理的位移场。或者，真实的位移场除必须是变形可能的位移外，它所给出的应力还应满足虚位移原理。zxzxyx...yxWzxzxyyxx最小势能原理•内力虚功物体是弹性的，则单位体积内的内力虚功UzxzxyxQQQyxWdQWdQdQ＝＝...对于整个弹性体内力虚功＝应变能因虚位移而引起的改变•外力虚功如果作用的外力是保守力，大小和方向都不变，只是作用点的位置改变QSdQwWvYuXdwWvYuXVQSdQwWvYuXdwWvYuXQSVdQwWvYuXdwWvYuX外力虚功＝外力势能因虚位移而引起的改变QSVUVUdQwWvYuXdwWvYuXWdQQ0)(0称为弹性体的总势能，它是应变能与外力势能之和•从弹性体的真实状态出发产生虚位移，所引起的总势能变分应为零，即在真实状态总势能取极值。•对于处于稳定平衡的真实状态，应是取最小值，•最小势能原理：在所有变形可能的位移中，使总势能达到最小值的位移，就是真实的位移。将上述结果代入虚功原理，得位移变分原理（1）虚位移原理无论是弹性、还是塑性情况下都成立，但位移变分方程式仅对弹性保守系统有效。（2）变分与微分在数学上的意义等同都是指微小的变化，因此运算方法相同，但它们的运算对象不同：微分运算中，自变量一般是坐标等变量，因变量是函数。变分运算中，自变量是函数，因变量是函数的函数，即数学上所谓的泛函。总势能是位移函数的泛函。对泛函求极值的问题，数学上称之为变分法将求解弹性力学中偏微分方程的问题转化为求解势能变分问题例6-1简支梁受分布荷载作用，不计自重时，导出以轴线挠度表示的平衡微分方程和两端的静力边界条件。lqxy解：用w表示轴线挠度，不考虑剪切作用，则梁的应变能可近似地表示为而外荷载q形成的外力势为l0qwdxVdxdxwdEI20222lU002222＝－l0wdxqdxdxwddxwdEIlll02202222dxdwddxwdEIdxdxwddxwdEI＝ll033022dxdxdwdxwdEIdxdwdxwdEIll04403322wdxdxwdEIwdxwddxdwdxwdEI使用分部原理使用变分原理044qdxwdEI003322lwdxwddxdwdxwdEI由于在支承点x=0，x=l上的虚位移为零，即w=0，002222xlxdxdwdxwdEIdxdwdxwdEIdxdw任意，则022dxwd（1）设满足位移边界的近似位移函数为kxkkxxzyxuauu),,(0kykkyyzyxubuu),,(0kzkkzzzyxucuu),,(0使用位移变分原理近似求解kzkkzzyxuau),,(kykkyzyxubu),,(kxkkxzyxucu),,(=U＋V＝(ak，bk，ck)（2）求弹性体的总势能0ka0kb0kckSxxkxxkkaUdTudFuaVkSyykQyykkbUdTudQFubVkSzzkzzkkcUdTudFucV=ak＋bk＋＝0kkakbkkcc（3）总势能变分为零，求待定系数例题6-3用变分方法求简支梁在均布荷载作用下的挠度解：（1）设位移函数为w(x)=c1x(lx)+c2x2(l2x2)+显然，该挠度函数满足位移边界w(0)=0，w(l)=0。l2qwdxdxwEI0021lVU（2）求总势能l0121221dxxlqxccEI（3）求总势能的极值EIqlcc240211