第10章1-层合板刚度理论

第10章层合板的宏观力学性能10.1.1单层的应力—应变性能在平面应力状态下，正交各向异性材料单层在材料主方向上的应力—应变关系为：1221662212121112210000QQQQQ在单层平面内任意坐标系中的应力为：111216122226162666xxyyxyxyQQQQQQQQQ(10-1)(10-2)方程（10-1）和（10-2）两者都可以设想为多层层合板第k层的应力—应变关系。方程（10-2）可写为：kkkQ(10-3)第10章层合板的宏观力学性能10.1.2层合板的应变和应力变化假定层合板是由粘结得很好的许多单层组成的，而且假定粘结是非常薄的且没有剪切变形，即单层边界两边的位移是连续的，层间不能滑移。因而，层合板相当于一块具有非常特殊性能的单层板，但仍像一块单层材料一样作用。假设薄板：0xyzz（1）假设垂直于层合板中面的一根初始直线，在层合板承受拉伸和弯曲后仍保持直线并垂直于中面，要求垂直于中面的法线在变形后仍保持直的并垂直中面，相当于忽略了垂直于中面的平面内的剪应变：第10章层合板的宏观力学性能(2)假定表示法线的长度不变，因而垂直于中面的应变同样忽略不计0z板的克希荷夫（Kirohhoff)假设和壳的克希荷夫—勒甫（Kirohhoff—Love)假设。任意点从变形前到变形后在x方向的位移是00zuu直线ABCD在变形后仍垂直于中面，是层合板中面在x方向的斜率，即xw0因此，在层合板厚度上任一点z的位移u为：xwzuu00同理，y方向的位移v为：ywzvv00(10-4)(10-5)(10-6)(10-7)第10章层合板的宏观力学性能根据克希荷夫—勒甫假设，即0yzxzz，层合板应变已经减少为xy和xy对于小应变（线弹性），应变由位移确定如下：xuxyyxyuxy于是，对于在方程（10-6）和（10-7）导出的位移u、v，应变为：2020xwzxuz2020ywzyyyxwzxyuxy02002或xyyxxyyxxyyxkkkz000。(10-8)(10-9)(10-10)第10章层合板的宏观力学性能中面应变为：xyuyxuxyyx0000000中面曲率为：yxwywxwkkkxyyx022022022(10-11)(10-12)方程（10-12）是中面的曲率。很容易证明克希荷夫假设，说明层合板厚度的应变是线性变化的。第10章层合板的宏观力学性能第k层的应力用层合板中面的应变和曲率表示如下：011121601222260616266xxxyyyxyxyxykkQQQkQQQzkQQQk因为层合板每层的Qij可以是不同的，即使沿层合板厚度的应变变化是线性的，其应力变化未必是线性的。典型的应变和应力变化示于图10—2中。层合板应变变化特性模型应力变化图10-2假定的沿层合板厚度的应变和应力变化(10-13)第10章层合板的宏观力学性能10.1.3层合板的合力和合力矩作用于层合板上的合力和合力矩是由沿着层合板厚度对各单层上的应力积分而得到的，例如:22xxttdzN22xxttzdzM(10-14)图10-3层合平板的平面力图10-4层合平板的力矩实际上，xN是层合板横截面单位长度（或宽度）上的力，如图10-3所示。xM是单位长度上的力矩，如图10-4所示。同样，第10章层合板的宏观力学性能N层层合板上的全部合力和合力矩定义为：dzdzNNNNkZZkxyyxttxyyxxyyxkk1221zdzzdzMMMkNkZZxyyxttxyyxxyyxkk1221式中，kZ和1kZ由图10-5确定。2/0tz,这些合力和合力矩在积分后与z无关.图10-5n层层合板的几何性质注意:(10-15)第10章层合板的宏观力学性能将（10-13）代入(10-15)得：kkkkZZZZxyyxxyyxkNkxyyxzdzkkkdzNNNQQQQQQQQQ110001662616262212161211kkkkZZZZxyyxxyyxkNkxyyxdzzkkkzdzMMMQQQQQQQQQ1120001662616262212161211因为0x0y0xyxkykxyk不是z的函数，因此可以从求和记号中移出。于是，方程（10-16）和（10-17）可写成：xyyxxyyxxyyxkkkBBBBBBBBBAAAAAAAAANNN662616262212161211000662616262212161211(10-16)(10-17)(10-18)第10章层合板的宏观力学性能xyyxxyyxxyyxkkkDDDDDDDDDBBBBBBBBBMMM662616262212161211000662616262212161211式中：11kkkNkijijZZAQ212121kkkNkijijZZBQ313131kkkNkijijZZDQ式中：ijA---拉伸刚度ijB---耦合刚度ijD---弯曲刚度（意味着层合板在弯曲和拉伸之间有相互耦合）(10-19)(10-20)第10章层合板的宏观力学性能图10-6两层不对称层合板在拉伸荷载下的扭转这是一块两层尼龙增强的层合板，承受着合力xN，由于支承的方式，0xyxxyyMMNN当层合板的材料主方向与层合板的x轴成+和-时，我们能证明：xyyxxkBAAN16012011因此，合力xN产生层合板的扭转，可由除了一般的拉伸应变0x和0y外，还有xyk项得到证明。第10章层合板的宏观力学性能§10.2层合板刚度的特殊情况1.对象：专门讨论层合板的某些特殊情况，其刚度与一般形式的方程不同，是简化值。一些情况很平常，而另一些情况则较为特殊，但都有助于理解层合板刚度的概念。2.方法：本节是一个逐步复杂化的特殊情况。多数情况是从用许多单层组成的层合板得出的，这些单层具有相同的材料性能和厚度，但它们的材料主方向彼此不同，也不同于层合板轴的方向。对其它更一般的情况也作了研究。3.过程:首先处理单层结构的刚度，其次讨论和分类对称于中面的层合板，然后描述与中面反对称的层合板。最后讨论与中面完全不对称的层合板。10.2.1单层结构本节所处理的特殊单层结构是各向同性，特殊正交各向异性，一般正交各向异性以及各向异性的。从分析角度来看，一般正交各向异性结构和各向异性层没有区别，但是正交各向异性材料只有四个独立的材料性能参数。1.各向同性单层对于材料性能为和厚度t的各向同性单层，（10.1.20）式的层合板刚度简化为：vE,11kkkNkijijZZAQ212121kkkNkijijZZBQ313131kkkNkijijZZDQ0ijB311212(1)EtDDvvDD12DD22016D026DDvvEtD21)1(24366AvEtA2111vAA12`AA22`016`A026`AAvvEtA21)1(266(10.2.1)10.2.1单层结构因此，合力仅仅与层合板中面内的应变有关，而合力矩则仅仅与中面的曲率有关：000210000xyyxxyyxAvAvAvAANNNxyyxxyyxkkkDvDvDvDDMMM210000因而，各向同性单层的拉伸与弯曲之间没有耦合影响。同样122AtD(10.2.2)(10.2.3)(10.2.4)10.2.1单层结构2.特殊正交各向异性单层对于厚度为t和方程（9-7）给出的单层刚度Qij的特殊正交各向异性单层，其层合板的刚度为：tQA1111tQA1212`tQA2222`016`A0ijB1231111tQD1231212tQD1232222tQD(10.2.5)10.2.1单层结构21121111vvEQ2112121211221121211vvEvvvEvQ21122221vvEQ1266GQ因此，和各向同性单层一样，合力仅与面内的应变有关，合力矩也仅与曲率有关：00066221212110000xyyxxyyxAAAAANNNxyyxxyyxkkkDDDDDMMM66221212110000(10.2.6)(10.2.7)10.2.1单层结构026`AtQA6666016D026D1236622tQD3.一般正交各向异性单层对于一块厚度为t和方程（9-26）给出单层刚度的一般正交各向异性单层，其层合板刚度为：ijQtQAijij0ijB312tQDijij同样，弯曲和拉伸之间无耦合影响，因而合力和合力矩可表示为：(10.2.8)10.2.1单层结构422411126622112244112266121242241112662222331122661222661611226626cos2(2)sincossin(4)sincos(sincos)sin2(2)sincoscos(2)sincos(2)sincos(2)QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ331222662244112212666666sincos(2)sincos(22)sincos(sincos)QQQQQQQQQ000662616262212161211xyyxxyyxAAAAAAAAANNN(10.2.9)xyyxxyyxkkkDDDDDDDDDMMM662616262212161211(10.2.10)注意：与各向同性单层和特殊正交各向异性单层都不同，其拉力既依赖于伸长应变也依赖于剪应变，合剪力既依赖于伸长应变，也依赖于剪应变。合力矩依赖于曲率和扭率。xyN00,yx0xyyxkk,xyk4.各向异性单层一般正交各向异性单层和各向异性单层之间在外观上的区别仅在