8-第八章-复合材料细观力学

复合材料的宏观力学基于经典的层合板理论，将构成层合板的各单层看做为均匀的各向异性板，解决了复合材料层合板的强度和刚度的分析方法，为复合材料的结构设计提供了理论和方法。表征复合材料宏观力学性能的工程弹性常数、基本强度和湿、热膨胀系数均可通过试验获得。但实际上复合材料单层是非均匀的多相材料，单层的性能与其组分材料的性能和含量比直接相关。要认识纤维增强复合材料中纤维和基体与单层性能的关系，根据组分材料的弹性性能、强度和湿热膨胀系数以及组分材料的含量比来预测单层的性能，就需要应用细观力学的方法。复合材料的细观力学为复合材料的材料设计提供了理论和方法。本章主要介绍了细观力学的基本假设，工程弹性常数和基本强度的细观预测方法以及工程弹性常数的极限分析。第8章复合材料细观力学单向复合材料是各向异性的非均质体，而其组分材料（纤维和基体）可视为均质的、各向同性的。纤维具有高的强度和刚度，作为承载的主体；纤维是密实的，性能比较稳定。基体的力学性能较弱，但对复合材料的结构完整性起着重要作用。通常基体中包含着孔隙，复合材料的强度与孔隙含量亦有密切关系。另外，纤维与基体之间的界面结合完好性对复合材料的力学性能亦有影响。然而基体中的孔隙含量和界面黏结程度都可通过制造工艺来控制。为了简明分析组分材料与复合材料之间的力学关系，本章采用的细观力学方法须有如下的基本假设：（1）复合材料单层是宏观均质的、线弹性的、正交各向异性的，且无初应力；（2）增强材料（纤维）是均质的、线弹性的、各向同性（玻璃纤维）或横向各向同性的（石墨纤维、硼纤维），且分布规则；（3）基体材料是均质的、线弹性的、各向同性的，孔隙可忽略不计；（4）界面黏结完好，无缺陷。8.1细观力学的基本假设为了对复合材料进行细观力学研究，必须建立合理的分析模型，这种模型是从复合材料中选取的一种体积单元。取出的典型单元必须小得足以表示材料的细观结构特征，而且又要大到足以代表复合材料的全部物理性能。这种简化的单元体称为代表性体积单元（RVE），如图8.1所示。RVE选定后，边界条件也就确定了。边界条件必须与复合材料内的真实条件相同，于是可以由代表性体积单元估算出复合材料的力学性能。图8.1代表性体积单元（RVE）纤维与基体的相对比例是决定复合材料性能的重要因素，常用质量分数和体积分数表示各相材料所占的比例。长为l，横截面为A的代表性体积单元，其质量为m，密度为；该单元的纤维质量为mf，密度为f；基体质量为mm，密度为m；纤维和基体的横截面分别为Af和Am。则有关系式mfmmmlAlAAlmf（8.1）（8.2）由式（8.2）可得出组分材料的体积分数关系式为1mf（8.3）上式中，f是纤维的体积分数：f=Af/A；m是基体的体积分数：m=Am/A。按照密度定义，即有由以上公式可得mmffmmmfffmfAlAAmAlAAmlAmlAmlAm（8.4）lAmlAmAlmmmmfff,,这是复合材料的密度混合律。8.2材料主方向工程弹性常数的细观预测在复合材料细观力学分析中，首先以复合材料单层作为典型的研究对象，选择合理的RVE，建立简化分析模型，用以预测复合材料材料主方向的工程弹性常数。细观力学中采用的基本假设是：纤维和基体沿纤维方向的变形相同，且为平面应力状态。下面讨论用材料力学方法确定复合材料的工程弹性常数。从复合材料单层中切取一个典型的RVE，如图8.2所示，细观结构特征为：一根纤维被部分基体所包围，长度为l、宽度为w、厚度为t；该单元的纤维体积分数与复合材料相同。方便于分析，再将单元简化为图8.2（b）所示，即把纤维的圆形截面改成矩形，并保持截面积相等。则有wwAAwwAA,,图8.2复合材料单层中的代表性体积单元一、纵向弹性模量EL和主泊松比vLT设代表性体积单元体在1方向受到单向拉伸，伸长量为l(见图8.3)。根据等应变假设，假定纤维和基体沿纤维方向（1方向）的应变相同，均与复合材料的纵向应变1相等，则有llmf1（8.5）图8.3代表性体积单元体1方向拉伸示意图根据胡克定律，纤维应力f和基体应力m可表示为:11,mmffEE由静力平衡关系，可得单元受到的合力为mmffAAF1于是单元的平均应力1为mmmfffmmffmmffEEAAAAAF11根据纵向弹性模量EL表示的胡克定律，即lLE1可得复合材料沿纤维方向的表观弹性模量为fmffmmffLEEEEE1（8.6）这就是复合材料沿纤维方向的弹性模量混合律。EL与f具有线性关系，当f由0~1变化时，EL从Em~Ef按线性变化，如图8.4所示。图8.4EL和f的关系假设代表性体积单元长度为l，宽度为w，而且w=wf+wm(见图8.3)。当单元体在1方向受到拉伸时，引起纤维和基体的横向应变（2方向）分别为112112,mmmmffff式中，vf和vm分别是纤维和基体的泊松比。单元的横向变形△w可以表示为122mmffmmffmf则单元的横向应变为112mmffmmff由此可得复合材料的主泊松比图8.3代表性体积单元体1方向拉伸示意图fmffmmffLTv112主泊松比vLT也服从混合律。vLT与f具有线性关系，如图8.5所示。图8.5vLT和f的关系二、横向弹性模量ET图8.6代表性体积单元体2方向拉伸示意图当代表性体积单元体在2方向受到单向拉伸时，横向变形为w，如图8.6所示。根据沿2方向的平衡条件，纤维和基体必然承受相同的横向应力，均等于单元受到的横向应力，有222mf（8.8）纤维和基体的横向应变为mmffEE2222,单元的横向变形是纤维和基体的变形之和，则有mmffmf于是单元的横向应变2为mmmfffmmffEE22222引入横向弹性模量ET，可建立单元的应变与应力关系为：TE22由以上各式可将复合材料的表观横向弹性模量ET表示为：mfffmmffTEEEEE11式（8.9）表示沿2方向的弹性模量倒数（柔量）满足混合律，该式可改写成无量纲形式，即（8.9）fmfmfmfmTEEEEEE/111/1（8.10）对于不同的弹性模量比Ef/Em，按式(8.10)确定的ET/Em随f的变化曲线如图8.7所示，在表8.1中列出ET/Em的一些数值。显然，要使横向弹性模量提高到基体模量的2倍，需要50%以上的纤维体积分数。所以，一般纤维增强复合材料的纤维体积分数都比较高。图8.7ET/Em与f关系表8.1ET/Em值fEm/Ef11/21/51/101/1000111110.211.111.191.221.250.311.181.321.371.420.411.251.471.561.660.511.331.671.821.980.611.431.922.172.460.711.542.272.703.250.811.672.273.574.801.012510100上述确定横向弹性模量ET时没有考虑纤维与基体之间的变形协调。通常纤维和基体的泊松比不同，沿1方向的应变也不同，引起纤维与基体在界面处变形不一致，这不符合实际情况（实际相同）。为了克服上述模型的缺点，可假定沿1方向纤维与基体的应变相等，即11mf（8.11）为了保证变形协调，纤维和基体均为二向应力状态。当典型单元只在2方向拉伸时（见图8.6），考虑到复合材料沿1方向的合力为零，也就是应力1为零，则有0111222mmffmf（8.12）沿1方向的纤维和基体的应变为21121111mmmmmfffffEE（8.13）由式（8.11）~式(8.13)，可求解出沿1方向纤维和基体的应力为2121fmmffmffmmmmmfffmmffEEEEEEEE（8.14）沿2方向的纤维和基体的应变为12212211mmmmffffEE（8.15）典型单元体的横向应变2为mmffTE2222（8.16）由式(8.14)~式(8.16)，可得出复合材料的表观横向弹性模量ET的表达式为ffmmfmmfmmmmmffmfmfmfmfmmffmfmmffTEEEEEEEEEEEEEEEE11212222（8.17）对于常用的纤维增强聚合物基复合材料，一般有1,1ffmmfmmfEEEE则式（8.17）可简化为211mmmffTEEE（8.18）可把上式改写无量纲形式，即21/1mmfmfmTEEEE（8.19）由于碳纤维很细，单丝直径为5~7m，一般不能直接用单丝制备复合材料，而是采用加捻后的纤维束，这样会使基体刚度增大。因此，要对计算ET的公式（8.19）作如下修正，即21/1mmfmfmTEEEE式中21mmmEE三、面内剪切弹性模量GLT在1O2平面内，对代表性体积单元体进行剪切试验，如图8.8（a）所示；单元体的变形如图8.8(b)所示。可确定面内剪切模量GLT。根据平衡条件，纤维和基体中的切应力必须相等，且等于复合材料受到的切应力，即mf（8.20）因此，纤维和基体的切应变可表示为mmffGG,图8.8代表性体积单元体纯剪切示意图单元的总剪切变形为mmffmfww所以单元的切应变为mmmfffmmffGGw单元的切应变与切应力之间的关系为LTG由以上各式，可得复合材料的表观面内剪切弹性模量的表达式为：mfffmmffLTGGGGG11（8.21）这是复合材料的剪切模量倒数混合律。上式亦可表示成无量纲形式，即fmmmfmfmLTGGGGG/111/1（8.22）这与横向弹性模量ET的表达式相似，GLT/Gm随f的变化曲线如图8.9所示。GLT/Gm随f的变化曲线如图8.9所示。图8.9GLT/GM与f的关系一、弹性力学的极值法保尔（Paul）首先用极值法分析了颗粒增强复合材料，该方法也可用于纤维增强复合材料。先陈述常用的最小总势能原理和最小总余能原理。设弹性体的体积为V，体力为Fi；表面为S=ST+Su，在ST上给定面力Ti，在Su上给定位移。真实的位移场ui（或应变场ij）和应力场ij所对应弹性的总势能II和总余能II，定义为8.3工程弹性常数极限分析上节通过建立简单的细观力学分析模型，用材料力学方法求解了单向复合材料的工程弹性常数。由于采取了某些假设，其结果就有一定的近似性。因此，有必要对工程弹性常数作进一步的讨论，以便说明所得近似解的有效性和精确性。通常利用极值法对复合材料进行分析，即用弹性理论中的能量极值原理来确定复合材料工程弹性常数的上、下限。一、弹性力学的极值法iuTSiiViiijijdSuTdVuFUuSiiijijdSuTU（8.23）对于线弹性体，应变能U与应力能U（余能）相等，即（8.24）VVijijijijijijdVdVUUU121213132323332211212