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第1页共12页平行线的证明【考点一：命题、定理及公理】对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．判断一件事情的句子，叫做命题，每个命题都由条件和结论两部分组成．正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．公认的真命题称为公理．推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理．【典型例题】1．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式______________________________________．2．命题“任意两个直角都相等”的条件是_________________________，结论是_________________，它是______（真或假）命题．3．有下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是60°，那么这个等腰三角形一定是等边三角形．其中正确的是（）A．只有命题①正确B．只有命题②正确C．命题①，②都正确D．命题①，②都不正确4．下列命题为真命题的是（）A．同位角相等B．如果∠A+∠B+∠C=180°，那么∠A，∠B，∠C互补C．邻补角是互补的角D．两个锐角的和是锐角【变式练习】1．把“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式______________________________．2．下列命题是假命题的是（）A．对顶角相等B．圆有无数条对称轴C．两点之间，线段最短D．平行四边形是轴对称图形3．下列三个命题：①同位角相等，两直线平行；②两点之间，线段最短；③过两点有且只有一条直线，其中真命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．下列语句中，属于命题的是（）A．画∠AOB=90°B．2比－2大吗C．过点A作直线mD．负数的偶次幂是正数第2页共12页5．下列四个命题是真命题的是（）A．同位角相等B．如果两个角的和是180度，那么这两个角是邻补角C．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直6．有下列四个命题，其中所有正确的命题是（）①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行②两条直线被第三条直线所截同旁内角互补③在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相垂直④在同一平面内，过一点由且只有一条直线与已知直线垂直．A．①②B．①④C．②③D．③④7．请写出命题：“全等三角形对应角相等”的逆命题，并判断命题的真假．8．“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是________________________________．【考点二：平行线的性质及判定】判定：1．同位角相等，两直线平行．性质：1．两直线平行，同位角相等．2．同旁内角互补，两直线平行．2．两直线平行，同旁内角互补．3．内错角相等，两直线平行．3．两直线平行，内错角相等．平行线的判定：【典型例题】1．如图所示：已知：AD∥EF，∠1＝∠2．求证：AB∥DG．第3页共12页【变式练习】1．如图，已知直线EF⊥MN垂足为F，且∠1=140°，则当∠2等于（）时，AB∥CD．A．50°B．40°C．30°D．60°2．如图，可以推理得AB∥CD的条件是（）A．∠2=∠ABCB．∠1=∠AC．∠3=∠ABCD．∠3=∠A3．下列说法正确的是（）A．同一平面内没有公共点的两条直线平行B．两条不相交的直线一定是平行线C．同一平面内没有公共点的两条线段平行D．同一平面内没有公共点的两条射线平行4．下列说法正确的是（）①相等的角是对顶角；②相等且互补的两个角是直角；③一个角的两个邻补角是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；⑤凡直角皆相等；⑥同时垂直于同一条直线的两条直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个5．在同一个平面内，不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一边互相（）A．平行B．垂直C．共线D．平行或共线6．小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，要求AB∥CD，∠BAE=35°，∠AED=90°．小明发现工人师傅只是量出∠BAE=35°，∠AED=90°后，又量了∠EDC=55°，于是他就说AB与CD肯定是平行的，你知道什么原因吗?第4页共12页EACBGMDNF127．已知：如图∠1=∠2，当DE与FH有什么位置关系时，CD∥FG?并说明理由．平行线的性质【典型例题】1．如图所示：如果AB∥CD，则角α、β、γ之间的关系式为（）A、α＋β＋γ=360°B、α－β＋γ=180°C、α＋β＋γ=180°D、α＋β－γ=180°2．如图所示：直线AB∥MN，分别交直线EF于点C、D，∠BCD、∠CDN的角平分线交于点G，求∠CGD的度数．【变式练习】1．如下图左，AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，则∠BCE等于（）A．23°B．16°C．20°D．26°2．如下图中，将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上，如果∠1=40°，则∠2的度数是（）A．30°B．45°C．40°D．50°3．把一块直尺与一块三角板如下图右放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（）A．115°B．120°C．145°D．135°第5页共12页4．如图，AE∥BD，∠1=120°，∠2=40°，则∠C的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°5．如图，已知直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α等于（）A．21°B．48°C．58°D．30°6．如图，AB∥CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠BED为（）A．23°B．42°C．65°D．19°7．将一副三角板摆放成如图所示，图中∠1=（）度．A．90B．120C．125D．1508．如图，玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2”，AB∥DE，∠A=30°，∠ACE=110°，则∠E的度数为（）A．30°B．150°C．120°D．100°9．如图所示，OP∥QR∥ST，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．10°10．下列说法正确的有（）（1）两直线被第三直线所截，若同位角相等，则同旁内角相等（2）两直线被第三直线所截，若内错角的角平分线平行，则这两直线平行（3）两直线被第三直线所截，若同旁内角不互补，则内错角也不相等（4）在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，已知AB∥EF，∠BAC=p，∠ACD=x，∠CDE=y，∠DEF=q，则用p、q、y来表示x．得（）A．x=p+y－q+180°B．x=p+q－y+180°C．x=p+q+yD．x=2p+2q－y+90°第6页共12页12．如图，AB∥CD∥EF∥GH，AE∥DG，点C在AE上，点F在DG上．设与∠α相等的角的个数为m，与∠β互补的角的个数为n，若α≠β，则m+n的值是（）A．8B．9C．10D．1113．如图，AB∥CD，BE⊥DE．试说明∠B与∠D之间的关系，并说明理由．14．如图，点P是∠AOB内的任意一点，（1）过点P分别作OA、OB的平行线，分别交OA、OB于点C、D；（2）∠AOB和∠P是否相等?说明理由．15．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，点F在DC上，且∠1+∠2=180°，∠3=∠B．求证：DE∥BC．第7页共12页16．如图，点C在∠AOB的边OA上一点，请你使用直尺和圆规，过点C作直线OB的平行线．（保留作图痕迹，不要求写画法）．【考点三：三角形的内角和外角定理】如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行．如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．【典型例题】1、已知：如图所示：在△ABC中，CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC的平分线．求证：∠A=2∠H证明：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠ABC+∠A（___________________________）∠2是△BCD的一个外角，∴∠2=∠1+∠H（__________________）∵CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC的平分线，∴∠1=21∠ABC，∠2=21∠ACD（_____________________）∴∠A=∠ACD－∠ABC=2（∠2－∠1）（_______________________）而∠H=∠2－∠1（等式的性质）∴∠A=2∠H（_______________________）【变式练习】1．如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．55°第8页共12页2．如图，将一块三角板叠放在直尺上，若∠1=20°，则∠2的度数为（）A．40°B．60°C．70°D．80°3．如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（）A．110°B．115°C．120°D．130°4．两条平行线被第三条直线所截得的角中角平分线互相垂直的是（）A．内错角B．同旁内角C．同位角D．内错角和同位角5．如图，∠ABC=31°，又∠BAC的平分线与∠FCB的平分线CE相交于E点，则∠AEC为（）A．14．5°B．15．5°C．16．5°D．20°6．如图，两平面镜所成的∠1，一束光线由是P发出，经平面镜OB，OA两次反射后回到点P，已知PQ∥OA，PR∥OB，则∠1的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°7．若一个三角形的两个内角的平分线所成的钝角为145°，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形8．若△ABC的内角满足：2∠A－∠B=60°，4∠A+∠C=300°，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．无法确定9．△ABC中，三个内角的度数均为整数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C=7∠A，则∠A的度数为（）A．40°B．48°C．36°D．44°10．如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，则∠α的度数为（）A．25°B．30°C．20°D．35°11．将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为（）A．75°B．95°C．105°D．120°12．如图，∠CBD、∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD=70°，∠ADE=149°，则∠A的度数是（）A．28°B．31°C．39°D．42°第9页共12页13．如图，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（）A．10°B．20°C．30°D．40°14．如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（）A．19.2°B．8°C．6°D．3°15．如图所示，l1∥l2，则下列式子中值为180°的是（）A．α+β+γB．α+β－γC．β+γ－αD．α－β+γ16．下列说法：①三角形的高是线段；②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的一个外角一定大于三角形的内角．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个17．△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC（1）在图中画出△ABC的高AE，垂足为E；并完成下列问题：1．若∠B=50°，∠C=70°，则∠DAE=．2．试探寻∠DAE与∠B、∠C的关系．请说明理由．（2）若一点F在AD上移动，且FE⊥BC于E，其他条件不变，那么∠EFD与∠B、∠C间有怎样的关系?第10页共12页18．在小学学习中，我们已经知道三角形的三个角之和等于180°，如图，在三角形ABC中，