精品-线线角、线面角角的求法(教案)

DBAC专题二空间角的求法1一、知识点击1.异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：0，π2.2.直线和平面所成的角（1）定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．（2）范围：[0，π2]．（3）求直线和平面所成的角用的直接法是射影转化法。具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。也是简称为“作，证，求”（4）利用公式sinθ=h／ι其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。（5）利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2（如图）若OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面α内的射影，OC为面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cosθ=cosθ1·cosθ2，它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）BαOAC二、题组设计命题点1求两条异面直线所成的角(一)抓异面直线上的已知点1．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．答案60°解析取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求，设AB＝1，则A1A＝2，AB1＝3，B1E＝32，故∠AB1E＝60°.（二）抓异面直线(或空间图形)上的特殊点2．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．解如图，取AC的中点G，连接EG、FG，则EG綊12AB，FG綊12CD，由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°.由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.3．(2015·浙江)如图，三棱锥A—BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．答案78解析如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.∵M为AD的中点，∴MK∥AN，∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角．∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝22，∴MK＝2.在Rt△CKN中，CK＝22＋12＝3.在△CKM中，由余弦定理，得cos∠KMC＝CM2＋MK2－CK22CM·MK＝22＋22－322×2×22＝78.（三）平移(或构造)几何体4．如图，PA平面ABC，90ACB且PAACBCa，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____．解：将此多面体补成正方体'''DBCADBCP，PB与AC所成的角的大小即此正方体主对角线PB与棱BD所成角的大小，在Rt△PDB中，即tan2PDDBADB．故填2．4．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，（1）求异面直线AP与BD所成的角；（2）若E，F，M分别是AB，BC，PQ的中点，异面直线EM与AF所成的角为θ，求cosθ的值．解析（1）如图，将原图补成正方体ABCD－QGHP，连接GP，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，所以∠APG＝π3.（2）设N为BF的中点，连接EN，MN，1D1B1CPDBCAPBCA则∠MEN是异面直线EM与AF所成的角或其补角．不妨设正方形ABCD和ADPQ的边长为4，则EN＝5，EM＝26，MN＝33.在△MEN中，由余弦定理得cos∠MEN＝EM2＋EN2－MN22EM·EN＝24＋5－332×26×5＝－130＝－3030.即cosθ＝3030.5．(2017·杭州第一次质检)如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BCD＝90°，且BC＝3CD＝3.将△ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在△BCD的内部(含边界)，则点M的轨迹的最大长度等于________；在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值等于________．答案3266解析当平面ABC⊥平面BCD时，点A在平面BCD上的射影为BC的中点M，当点A在平面BCD上的射影M在BD上时，因为AB＝AC，所以BM＝MC，因为BC＝3CD＝3，所以∠DBC＝30°，所以由∠BCD＝90°得BM＝MD，点M的轨迹的最大长度等于12CD＝32，将其补为四棱锥，所以AB＝322，AE＝AM2＋EM2＝322，又因为∠EBA为直线AB和CD所成的角，所以cos∠EBA＝AB2＋BE2－AE22AB·BE＝66.6.(2016浙江文,14,4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=5,∠ADC=90°.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD',直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是.命题点2求直线和平面所成的角7．如图5所示，在三棱锥ABCP中，6ABBC，平面PAC平面ABC，ACPD于点D，1AD，3CD，3PD．PACD（1）证明△PBC为直角三角形；（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．（1）证明1：因为平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，PD平面PAC，ACPD，所以PD平面ABC．…………………………………………………………………………………1分记AC边上的中点为E，在△ABC中，ABBC，所以ACBE．因为6ABBC，4AC，所以2222622BEBCCE．………………3分因为PDAC，所以△PCD为直角三角形．因为3PD，3CD，所以22223323PCPDCD．………4分连接BD，在Rt△BDE中，因为2BE，1DE，所以2222213BDBEDE．…………5分因为PD平面ABC，BD平面ABC，所以PDBD．在Rt△PBD中，因为3PD，3BD，所以2222336PBPDBD．…………………………………………………6分在PBC中，因为6BC，6PB，23PC，所以222BCPBPC．所以PBC为直角三角形．………………………………………………………………………………7分证明2：因为平面PAC平面ABC，平面PACI平面ABCAC，PD平面PAC，ACPD，所以PD平面ABC．…………………………………………………………………………………1分记AC边上的中点为E，在△ABC中，因为ABBC，所以ACBE．BPACDE因为6ABBC，4AC，所以2222622BEBCCE．………………3分连接BD，在Rt△BDE中，因为90BEDo，2BE，1DE，所以2222213BDBEDE．………………………………………………………4分在△BCD中，因为3CD，6BC，3BD，所以222BCBDCD，所以BCBD．……………………………………………………………5分因为PD平面ABC，BC平面ABC，所以BCPD．…………………………………………………………………………………………6分因为BDPDD，所以BC平面PBD．因为PB平面PBD，所以BCPB．所以PBC为直角三角形．………………………………………………………………………………7分（2）解法1：过点A作平面PBC的垂线，垂足为H，连PH，则APH为直线AP与平面PBC所成的角．…………………………………………………………8分由（1）知，△ABC的面积1222ABCSACBE．…………………………………………9分因为3PD，所以13PABCABCVSPD12622333．…………………………10分由（1）知PBC为直角三角形，6BC，6PB，所以△PBC的面积1166322PBCSBCPB．……………………………………11分因为三棱锥APBC与三棱锥PABC的体积相等，即APBCPABCVV，即126333AH，所以263AH．……………………………………………………………12分在Rt△PAD中，因为3PD，1AD，所以2222312APPDAD．………………………………………………………13分因为2663sin23AHAPHAP．所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为63．…………………………………………………14分解法2：过点D作DMAP∥，设DMPCM，则DM与平面PBC所成的角等于AP与平面PBC所成的角．……………………………………8分由（1）知BCPD，BCPB，且PDPBP，所以BC平面PBD．因为BC平面PBC，所以平面PBC平面PBD．过点D作DNPB于点N，连接MN，则DN平面PBC．所以DMN为直线DM与平面PBC所成的角．……10分在Rt△PAD中，因为3PD，1AD，所以2222312APPDAD．………………………………………………………11分因为DMAP∥，所以DMCDAPCA，即324DM，所以32DM．………………………………12分由（1）知3BD，6PB，且3PD，所以33626PDBDDNPB．……………………………………………………………13分BPACDMN因为662sin332DNDMNDE，所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为63．…………………………………………………14分解法3：延长CB至点G，使得BGBC，连接AG、PG，……………………………………8分在△PCG中，6PBBGBC，所以90CPGo，即CPPG．在△PAC中，因为23PC，2PA，4AC，所以222PAPCAC，所以CPPA．因为PAPGPI，所以CP平面PAG．…………………………………………………………………………………9分过点A作AKPG于点K，因为AK平面PAG，所以CPAK．因为PGCPPI，所以AK平面PCG．所以APK为直线AP与平面PBC所成的角．……………………………………………………11分由（1）知，BCPB，所以23PGPC．在△CAG中，点E、B分别为边CA、CG的中点，所以222AGBE．………………………………………………………………………………12分在△PAG中，2PA，22AG，23PG，所以222PAAGPG，即PAAG．……………………………………………………………13分因为226sin323AGAPKPG．BPACDEGK所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为63．…………………………………………………14分解法4：以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系Exyz，…………………………………………………………………………………………………8分则0,2,0A，2,