随机过程(超容易理解+配套例题)

随机过程简介1、实际背景：在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做特定时间点上的一次观察,且需要做多次的连续不断的观察,以观察研究对象随时间推移的演变过程.Ex.1对某城市的气温进行n年的连续观察,记录得：研究该城市气温有无以年为周期的变化规律?,}),({btatXEx.2从杂乱电讯号的一段观察{Y(t),0tT}中,研究是否存在某种随机信号S(t)?随机过程直观解释：对随机信号或者噪声信号作一次观测相当于做一次随机试验，每次随机试验所得到的观测记录结果是一个确定的函数，称为样本函数，所有的样本函数的全体构成了随机过程。i(t)x2、随机过程的定义设随机试验E的样本空间为S={e}，对其每一个元素(i=1,2,…)都以某种法则确定一个样本函数x(t,),由全部元素{e}所确定的一族样本函数x(t，e)称为随机过程，记为x(t)。ieie设有一个过程x(t)，若对每一个固定的时刻(j=1,2…)，X()是一个随机变量，则x(t)称为随机过程。jtjt随机过程x(t,e)四种不同情况下的意义：.当t固定，e固定时，x(t)是一个确定值；.当t固定，e可变时，x(t)是一个随机变量；.当t可变，e固定时，x(t)是一个确定的时间函数；.当t可变，e可变时，x(t)是一个随机过程；平稳过程1）严平稳过程：若有相同的联合分布，也就是说主要性质只与变量之间的时间间隔有关。121212,,,0,(,(,nnntttthththtttThXXXXXX及,,)与,,)LLL2）宽平稳过程：如果随机过程{x(t),}所有二阶矩都存在，并且E[x(t)]=,协方差函数只与时间差t-s有关，那么称{x(t),}为宽平稳过程。tT(t,s)tT研究随机过程的一个重要切入点就是研究一个随机信号的数字特征，数字特征主要包括数学期望、相关函数、方差、协方差、均方值。其中数学期望是一阶矩，后面四个是二阶矩。可以通过研究随机过程的二阶矩特征来判断随机过程是否平稳等等。Poisson过程1、计数过程：随机过程称为计数过程，如果表示从0到t时刻某一特定事件A发生的次数，它具备以下两个特点：（1）且取值为整数；（2）时，(t),t0N(t)N(t)0Nst(s)N(t)N(t)N(s)s,t]AN且表示（时间内事件发生的次数。2、Poisson过程计数过程称为参数为的Poisson过程，如果（1）N(0)=0;(2)过程有独立增量；(3)对任意的{N(t),t0}(0),0,st{N(ts)N(s)n},0,1,2.....!ntPnnte称为Poisson过程的强度或者速率，也就是说单位事件内事件发生的次数。例：顾客到达某商店服从=4的Poisson分布已知商店上午9：00开门，试求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。设表示在时间t时到达的顾客数()Nt((0.5)1,(2.5)5)PNN((0.5)1,(2.5)(0.5)4)PNNN((0.5)1)((2)4)PNPN5.041!1)5.04(e244!4)24(e0155.0解：Poisson过程的推广当Poisson过程的强度不再是常数，而与时间t有关时，Poisson过程被推广为非齐次Poisson过程。一般来说，非齐次Poisson过程不具有平稳增量。非齐次Poisson过程计数过程称做强度函数为的非齐次Poisson过程，如果（1）N(0)=0；（2）过程有独立增量；（3）对任意实数为具有参数的Poisson分布。令{N(t),t0}(t)0(t0)0,0,(ts)N(t)tsN(t)m(t)()dtstms0(t)(s)dstm例设某设备的使用期限为10年，在前5年内它平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年需要维修一次，求它在使用期内只维修过一次的概率。解考虑非齐次泊松过程，强度函数1052.5()15102ttt1051000511(10)()4.52.52mtdtdtdt914.52(4.5)9{(10)(0)1}1!2PNNee复合Poisson过程条件Poisson过程设{Yi,i≥1}是一族独立同分布的随机变量，{N(t),t≥0}是泊松过程，且{Yi,i≥1}与{N(t),t≥0}独立，记1NtiiXtY称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。1、定义：设是一个正的随机变量，分布函数为G(x)，设N(t)是一个计数过程，在的条件下，{N(t),t≥0}是参数为的泊松过程，即对任意的s,t≥0，有!nttPNtsNsnen则称{N(t),t≥0}为条件泊松过程。更新过程1、更新过程的定义设{Xn,n≥1}是独立同分布的非负随机变量，分布函数为F(x)，且F(0)1，令010,nnkkTTX记sup;nNtnTt或1nTtnNtI称{N(t),t≥0}更新过程。0=x(x),0nEdFX一个典型的更新过程的例子就是机器零件的更换。在0时刻，安装上一个新零件并开始运行，当零件在X1时刻发生损坏，马上用一个新的来替换（假设替换零件不需要时间），当第二个零件从X1时间开始运行，到X2时间发生损坏时，我们马上换第三个零件….这些零件的使用寿命是独立同分布的，那么到t时刻为止已经更换的零件数目就构成一个更新过程。注：在有限的时间内不可能有无限多次更新发生。因为0kIfEX由大数定律知，依概率1有nTnn,nifnThenT所以，从而，无穷多次更新只可能在无限长的时间内发生，即有限的时间内最多只能发生有限次更新。sup;max;nnNtnTtnTt2、更新方程：如下形式的积分方程称为更新方程0()()()()tKtHtKtsdFs其中H(t)，F(t)为已知，且当t0时，H(t)，F(t)均为0，当H(t)在任何区间上有界时称此方程为适定更新方程，简称更新方程。设m(t)为更新函数，其导数称为更新密度，记为M(t)00(),0(),0ttmtFtmtsdFstMtftMtsfsdst3、更新方程的解设更新方程中H(t)为有界函数，则方程存在惟一的在有限区间内有界的解0()()()()tKtHtHtsdms4、更新方程在人口学中的一个应用考虑一个确定性的人口模型()Bt------在时刻t女婴的出生速率，即在[t,t+dt]之间有B(t)dt个女婴出生.已知：()Sx------生存函数：指一个女婴能活到年龄x的概率.()x------生育的年龄强度：指年龄为x的母亲生育的速率.即年龄为x的母亲在[t,t+dt]之间生下的女婴数为().xdt我们要用过去的B(t)预测未来的B(t)。因为()()BtxSxdx---t时刻年龄在[x,x+dx]之间的女性数。()()()BtxSxxdx---t时刻年龄在[x,x+dx]之间的女性在单位时间内所生育的女婴数。则在单位时间内所有育龄段女性生育的女婴数为0()()()()BtBtxSxxdx所以，00()()()()()()()()()()ttBtBtxSxxdxBtxSxxdxBtxSxxdx这是一个更新方程，其中()()()()()()()tfxSxxHtBtxSxxdx作变量替换x=y+t得0()()()()HtBySytytdy注意：()Htdt---年龄≥t的女性在时间[t,t+dt]之间生育的女婴数()()()fxdxSxxdx---一个新生的女婴在年龄[x,x+dx]之间期待生育的女婴数所以0()()xFxftdt---一个新生的女婴在年龄x之前期待生育的女婴数表示其一生中将期待生育个女婴数()F可以证明:当时，()1F(),RtBtCet其中C为常数,R满足方程0()()1RxeSxxdx当时，B(t)渐近指数地趋于0，即人群最终消亡。()1F当时，B(t)将趋于一个有限的正数。()1FMarkov链1、定义随机过程称为马尔可夫链，若它只取有限或可列个值（称为过程的状态，记为0，1，2，…），并且，对任意及状态，有,0,1,2,nXn0n011,,,,,nijiii10011111(,,,,)()nnnnnnPXjXiXiXiXiPXjXi有这样一类随机过程，它具备“无后效性”，即，要确定过程将来的状态，知道它此刻的状态就足够了，并不需要对它以往状况的认识，这类过程称为Markov过程。定义,,ijS称1nnijPXjXipn为n时刻的一步转移概率。若,,ijijijSpnp即pij与n无关，则称{Xn,n≥0}为齐次马尔可夫链。记P=(pij)，称P为{Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵.000102101112012iiippppppPppp11,0,02,10,1,2,ijijjpijpi2、转移概率123456假设有一只蚂蚁在如右图的图上爬行，当两个结点相临时，蚂蚁将爬行它临近的一点，并且爬向任何一个邻居的概率是相同的。则此Markov链的转移矩阵为：1100002211000022111100444400100011000022000010P假定某大学有一万人，每人每月使用一支牙膏，并且只使用“中华”牙膏和“黑妹”牙膏两者之一。根据本月的调查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使用中华牙膏。又据调查，使用黑妹牙膏的3000人中，有60%的人下月将继续使用黑妹牙膏，40%的人将改用中华牙膏；使用中华牙膏的7000人中，有70%的人下月将继续使用中华牙膏，30%的人将改用黑妹牙膏。1）我们可以得到转移概率矩阵60%40%30%70%B2）用转移概率矩阵预测市场占有率的变化有了转移概率矩阵，我们可以知道下一个月使用黑妹牙膏和中华牙膏人数60%40%(3000,7000)(3900,6100)30%70%故下个月使用黑妹牙膏的人数为3900人，使用中华牙膏的人数为6100人3）假定转移概率矩阵不变，还可以预测再下一个月的情况60%40%(3900,6100)30%70%60%40%60%40%(3000,7000)30%70%30%70%2(3000,7000)(4170,5830)60%40%30%70%其中称为二步转移矩阵，也就是从刚开始那月份到接下来的第二月份的情况。二步转移矩阵正好是一步转移矩阵的平方。一般的，k步转移矩阵正好是一步转移矩阵的k次方。260%40%30%70%鞅；Brown运动；曾红庆:1、严平稳随机过程在通信过程中的应用2、严平稳随机过程与宽平稳随机过程区别联系3、马尔科夫链与马尔科夫过程关系以及区别赵津锋:1、随机过程在wsn中哪部分可以被用到？2、请详述马尔科夫过程。3、请详述泊松过程李玉龙:1、什么是随机过程？2、随机过程主要用于无线网络的哪些方面？3、马尔可夫链的原理是什么？甘子健:1、poisson过程是累积计数模型，它与WSM或实验室研究内容有哪方面的关联？2、随机过程是否存在傅里叶变化？3、臧浪同学对于随机过程学习的建议。常宝明:1、随机过程在无线传感器网络中有没有典型的应用？2、想重点了解一下马尔可夫链3、跟哪些学科有练习，学习时应该注意些什么？欧阳经纶:1、随机过程和概率论相关吗？有什么区别？2、随机过程有哪些主要的内容，主要解决什么问题？3、马尔科夫链是随机过