大学物理测试卷3

第1页共9页测试卷3一、（6题，每题5分，共30分）简要回答下列问题：1.解释费米面（Ferimisurface）【解答】绝对零度下（T=0k）,晶体中电子在k空间中占据态与未占据态的分界面。在非零温度下指电子占据几率为1/2的状态所构成的面。2.解释布里渊区和第一布里渊区（BrillourinZone,FirstBrillourinZone）【解答】在倒格子空间，以一格点为原点，此格子与其余格点连线的垂直平分面所围成的区域称为布里渊区。其中包含原点在内的最小封闭区域（WS原胞）为第一布里渊区，与第一布里渊区连通的区域（三维时面连通，二维时线连通）为第二布里渊区。3.试用能带论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点。【解答】金属或导体中的价电子没有把价带（最高填充带）填满，此为导带。绝缘体中的价电子正好把价带填满，且更高的许可带（空带）与价带间相隔较宽的禁带。半导体和绝缘体相似，但禁带较窄。4.解释朗道能级（Landanlevel）【解答】在垂直与恒定磁场的平面内，电子的圆周运动对应于以一种简谐运动，其能量是量子化的：cvv21((v=1,2,3...........)meBc这些量子化的能级称为朗道能级。5.长光学支格波与长声学支格波本质上有何区别？【解答】长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频率较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波，但见到晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波。第2页共9页6.为什么价电子的浓度越高，电导率越高？【解答】电导σ是金属导电能力的量度。导电能力取决于单位时间内通过切面积的电子数。但并不是所有价电子对导电都有贡献，对导电有贡献的是费米面附件的电子。费米球越大，对导电有贡献的电子数目就越多。费米球的大小取决于费米半径31)3(nkF可见电子浓度n越高，费米球越大，对导电有贡献的电子数目就越多，该金属的电导率就越高。二、（15分）图B3-1表示一个由两种不同元素的原子所形成的二维层状晶体，其中正三边形的边长为a。请分析并找出其基元，画出其Bravais格子、初基元胞和W-S元胞，并写出基矢在适当直角坐标系中的表达式。【解答】图B3-1基元：Bravais格子。30cos2a2a0300301ayX初基元胞W-S元胞第3页共9页基矢：yxyxeaeaeaeaa2323)30cos2)(30(sin)30cos2)(30(cos00001yxyxeaeaeaeaa232330cos230sin30cos2)30(cos00002！！！注意：从第三.1题和第三.2题中选做其中一个题三、1（10分）He3原子是具有自旋1/2的费米子。在绝对零度附件，液体He3的密度为3081.0cmg。计算费米能量F和费米温度FT。He3原子的质量为gm24105。【解答】He3的自旋为1/2，是费米子，其质量gm24105。在密度3081.0cmg的液体He3中，单位体积中的He3数目为:3283221062.11062.1mcmmn其费米能为：32222322nmmkFF将n,m值带入；得到:JF23108.6其费米温度为：KKkTBFF9.41038.1108.62323三．2（10分）求出bccBravais格子（110）晶面族的晶面上的格点数密度和面距离。【解答】晶面格点数面密度面距离bccbcc{100}21a2a第4页共9页四、(15分)考虑晶格常数为a和c的三维简单六角晶体的第一布里渊区。令cG为平行于晶格c轴的最短倒格矢。（１）证明对于六角密堆积结构，晶体势场rV的傅里叶分量cGV为零。（２）cGV是否也为零？（３）为什么二价原子构成的简单六角晶格在原则上有可能是绝缘体？（４）为什么不可能得到由单价原子六角密堆积形成的绝缘体？【解答】（1）证：由教材p61(3.2.30)和（3.2.31）两式，对于基元中原子数p1的复式晶格，且由同种原子组成的基元，有：jjhGdGifSh)exp(①fSGVGVhGhh)(1②其中：cGV是复式晶格的某一倒格矢hG的傅里叶分量。hGS是同种原子组成的基元的几何结构因子。由②式可知，对于复式晶格的某一倒格矢hG，如结构因子为零，则周期势rV相应的傅里叶分量也为零。因此，来计算对于六角密堆积结构：0cGS六角密堆积结构的布喇菲点阵是简单六角，相应的基元包括两个同种原子，它们的坐标是01d，3212213132aaad，如图所示：Hcp结构初基矢量的一种取法第5页共9页将以上关系代入结构因子的表达式①中，得：3213322112131322exp1)(exp)exp(hhhifdbhbhbhifdGifSjjjjhGh③据题意，本题中1,0100321221hhhbbbGc代入③得:0exp1ifScG故对于六角密堆积结构，晶体势场rV的傅里叶分量cGV为零。（2）解：2,02002321221hhhbbbGc代入（1）问③式中，得：022exp12fifScG故：cGV2不为零。（3）对处于简单六角点阵阵点上的二价原子构成的晶体，每个单胞有两个价电子，N个单胞有2N个价电子，刚好可以填满第一布里渊区（一个能带），故原则上可以形成绝缘体（如果没有能带交迭）。（4）对于单价原子的六角密堆积结构，虽然每个单胞也有两个价电子，N个单胞有2N个价电子，但由于第一布里渊区一个边界面上能隙消失，和第二布里渊区连通，形成一个复合区，可以容纳4N个电子，2N个电子只能填充这个复合区的一半，于是，在外加电场下可以导电。因而单价原子的六角密堆积原则上不可能形成绝缘体。五、（15分）用紧束缚近似求出面心立方金属和体心立方金属中与s态原子能级对应的能带的)(k函数。【解答】（1）面心立方结构晶体具有12个第一近邻，它们的格矢如下422yxeaea个，422zyeaea个，422xzeaea个于是xzzyyxkakaikakaikakainnRmkieeee222222,第6页共9页其中：yxkakaikakaikakaikakaikakaikakaeeeeeyxyxyxyxyx2cos)2cos(42222222222同理可得：zyzykakakakai2cos2cos422expxzkakaikakaexz2cos2cos422由教材（3.3.10）式及（3.3.13）式可知，S态能带为：xzzyyxikakakakakakaJJk2cos2cos2cos2cos2cos2cos410（2）体心立方结构晶体具有8个第一近邻，它们的格矢如下zyxeaeaea222仿照面心立方结构的情形有：S态能带为：zyxikakakaJJk2cos2cos2cos810！！！注意：从第六.1题和第六.2题中选做其中一个题六、1（15分）计算一维单原子链的动量qP。应用周期性边界条件，证明波矢0q时，0qP，即声子不携带动量。证明：对于波矢为q,频率为的一维单原子链的格波：wtqnainAeu⑴原子链上第n个原子的动量为:tqnainMAeiuM⑵第7页共9页原子链的总动量为：NniqnatiNnneMAeiuMqp11⑶式中N是原子链上的原子数。由周期性边界条件:2,1,02lNlq式⑶化为：NnNnlitieMAeiqp12)(⑷利用公式：xxxNNnn111式⑷化为：NililtieeMAeiqp2211⑸当0l时（即0q）时，式⑸中的012ile，因而有0qp0q的模式是描写晶体中所有原子的相对运动的，由于每个原子有一定位相差，原子链的总动量为零，这表明声子0q是不携带物理动量的。六、2（15分）对于原子间距为a，由N个原子组成的一维单原子链，在德拜近似下（1）计算晶格振动频谱；（2）证明低温极限下，比热正比于温度T【解答】（1）按照德拜模型，格波的色散关系，即振动频谱为cq⑴对于原子间距a为一维单原子链色散曲线如图示：adqddqaDq图5.4一维单原子链德拜模型色散关系第8页共9页由色散曲线的对称性可以看出，d区间对应两个同样大小的波矢区间dq，a2区间对应N个振动模式，单位波矢区间对应有2aN个振动模式。d范围则包含：dqaNdqaNdz22⑵个振动模式则有Ndddzd0⑶其中ddz是单位频率区间包含的振动模式数目，即模式密度D。由⑵式有ddqaNddz由⑴式有cddq1上两式联合得出caNddzD⑷将⑷式代入⑶，得acNcaNDD（2）证明：N个原子构成的一维单原子链，晶格振动总的热振动能为dBTkedDE01其中caNddzD叫做模式密度，acD热容量DBBDBBTkTkBBTkTkBBVvedeTkcaNkedDeTkkTEC02202211第9页共9页作变量代换TkxB得TxxBVDedxxecTaNkC02221其中BDDk在低温极限下TD，VC中的被积函数按二项式定理展开成级数12222211nnxxxxxnexeexexe则积分312121212022nnnxxxndxxneedxxe由此有cTkaNCBV32