离心率的五种求法

离心率的五种求法第1页共10页离心率的五种求法椭圆的离心率10e，双曲线的离心率1e，抛物线的离心率1e．一、直接求出a、c，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式ace来解决。例1：已知双曲线1222yax（0a）的一条准线与抛物线xy62的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.23B.23C.26D.332解：抛物线xy62的准线是23x，即双曲线的右准线23122cccax，则02322cc，解得2c，3a，332ace，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为0,11F、0,32F，则其离心率为（）A.43B.32C.21D.41解：由0,11F、0,32F知132c，∴1c，又∵椭圆过原点，∴1ca，3ca，∴2a，1c，所以离心率21ace.故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）A.23B.26C.23D2解：由题设2a，62c，则3c，23ace，因此选C变式练习3：点P（-3，1）在椭圆12222byax（0ba）的左准线上，过点P且方向为5,2a的光线，经直线2y反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A33B31C22D21离心率的五种求法第2页共10页解：由题意知，入射光线为3251xy，关于2y的反射光线（对称关系）为0525yx，则05532cca解得3a，1c，则33ace，故选A二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。例2：已知1F、2F是双曲线12222byax（0,0ba）的两焦点，以线段21FF为边作正三角形21FMF，若边1MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.324B.13C.213D.13解：如图，设1MF的中点为P，则P的横坐标为2c，由焦半径公式aexPFp1，即acacc2，得0222acac，解得31ace（31舍去），故选D变式练习1：设双曲线12222byax（ba0）的半焦距为c，直线L过0,a，b,0两点.已知原点到直线的距离为c43，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.332解：由已知，直线L的方程为0abaybx，由点到直线的距离公式，得cbaab4322，离心率的五种求法第3页共10页又222bac,∴234cab,两边平方，得4222316caca，整理得01616324ee，得42e或342e，又ba0，∴2122222222ababaace，∴42e，∴2e，故选A变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为1F、2F，021120MFF，则双曲线的离心率为（）A3B26C36D33解：如图所示，不妨设bM,0，0,1cF，0,2cF，则2221bcMFMF，又cFF221，在21MFF中，由余弦定理，得212212221212cosMFMFFFMFMFMFF,即22222222421bccbcbc，∴212222cbcb，∵222acb，∴212222aca，∴2223ca，∴232e，∴26e，故选B三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为1F、2F，过2F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若21PFF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。解：12121222222221cccPFPFcacace四、根据圆锥曲线的统一定义求解离心率的五种求法第4页共10页例4：设椭圆12222byax（0,0ba）的右焦点为1F，右准线为1l，若过1F且垂直于x轴的弦的长等于点1F到1l的距离，则椭圆的离心率是.解：如图所示，AB是过1F且垂直于x轴的弦，∵1lAD于D，∴AD为1F到准线1l的距离，根据椭圆的第二定义，21211ADABADAFe变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）A2B22C21D42解：221222ADAFe五、构建关于e的不等式，求e的取值范围例5：设4,0，则二次曲线1tancot22yx的离心率的取值范围为（）A.21B.22,21C.2,22D.,2另：由1tancot22yx，4,0，得tan2a，cot2b,∴cottan222bac,∴2222cot1tancottanace∵4,0，∴1cot2,∴22e，∴2e，故选D例6：如图，已知梯形ABCD中，CDAB2，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当4332时，离心率的五种求法第5页共10页求双曲线离心率e的取值范围。解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立如图所示的直角坐标系xoy，则yCD轴.因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记0,cA，hcC,2，00,yxE，其中ABc21为双曲线的半焦距，h是梯形的高．由定比分点坐标公式得122120cccx，10hy，设双曲线的方程为12222byax，则离心率ace，由点C、E在双曲线上，所以，将点C的坐标代入双曲线方程得142222bhac①将点E的坐标代入双曲线方程得11124222222bhac②再将ace①、②得14222bhe，∴14222ebh③1112422222bhe④将③式代入④式，整理得214442e，∴2312e，由题设4332得：43231322e，解得107e，所以双曲线的离心率的取值范围为10,7离心率的五种求法第6页共10页配套练习1.设双曲线12222byax（0,0ba）的离心率为3，且它的一条准线与抛物线xy42的准线重合，则此双曲线的方程为（）A.1241222yxB.1964822yxC.132322yxD.16322yx2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A．31B．33C．21D．233．已知双曲线12222byax的一条渐近线方程为xy34，则双曲线的离心率为（）A35B34C45D234．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为A2B22C21D425．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为（）离心率的五种求法第7页共10页A22B2C2D226．如图，1F和2F分别是双曲线12222byax（0,0ba）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以1OF为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且ABF2是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A3B5C25D137.设1F、2F分别是椭圆12222byax（0ba）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为c3（c为半焦距）的点，且PFFF221，则椭圆的离心率是（）A213B21C215D228．设1F、2F分别是双曲线12222byax的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使02190AFF，且213AFAF，则双曲线离心率为（）A25B210C215D59．已知双曲线12222byax（0,0ba）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为060的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A2,1B2,1C,2D,210．椭圆12222byax（0ba）的焦点为1F、2F，两条准线与x轴的交点分别为M、离心率的五种求法第8页共10页N，若212FFMN，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．21,0B．22,0C．1,21D．1,22答案：1.由3,ca21ac可得3,6,3.abc故选D2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴2ab，椭圆的离心率32cea，选D。3.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得224345,333bceaa可得,故选A离心率的五种求法第9页共10页4.不妨设椭圆方程为22221xyab（ab0），则有22221bacac且，据此求出e＝225.不妨设双曲线方程为22221xyab（a0，b0），则有222122bacac且，据此解得e＝2，选C6.解析：如图，1F和2F分别是双曲线)0,0(12222babrax的两个焦点，A和B是以O为圆心，以1FO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ABF2是等边三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=3c，∴2(31)ac，双曲线的离心率为31，选D。7.由已知P（cca3,2），所以222)3()(2cccac化简得220222aceca．8.设F1，F2分别是双曲线22221xyab的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中122||||2aAFAF，22122||||10cAFAF，∴离心率102e，选B。9.双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ba，∴ba离心率的五种求法第10页共10页≥3，离心率e2=22222cabaa≥4，∴e≥2，选C10.椭圆22221(0)xyabab的焦点为1F，2F，两条准线与x轴的交点分别为MN，，若2||2aMNc，12||2FFc，12MNFF≤，则22acc，该椭圆离心率e≥22，选D