解几离心率求解的基本方法

有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------1解几求解离心率的基本方法设椭圆xaybab222210（）的左、右焦点分别为FF12、，如果椭圆上存在点P，使FPF1290，求离心率e的取值范围。解法1：利用曲线范围设P（x，y），又知FcFc1200（，），（，），则FPxcyFPxcyFPFFPFPFPFPxcxcyxyc1212121222229000()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得xacababFPFxaacababa2222222122222222229000但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）cbcaccaecaecae2222222221221[解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知||||||||||||PFPFaPFPFPFPFa121222122224有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------2又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此FPFPFPFFFcPFPFacPFPFuauac12122212221222122229042220||||||||||()||||()4801222222222aacecae()因此，e[)221解法3：利用三角函数有界性记PFFPFF1221，，由正弦定理有||sin||sin||sin||||sinsin||||||||sinsinsincoscosPFPFFFPFPFFFPFPFaFFceca121212121212902211222122又，，则有而知从而可得09002452221221||||cose有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------3解法4：利用焦半径由焦半径公式得||||||||||PFaexPFaexPFPFFFacxexacxexcaexcxcaePxyxaxa12122212222222222222222222224220，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即022212222caeae得，）[解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有212aPFPF||||平方后得42228212221212221222aPFPFPFPFPFPFFFc||||||||(||||)||得ca2212所以有，）e[221解法6：巧用图形的几何特性由FPF1290，知点P在以||FFc122为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P故有cbcbac2222由此可得，）e[221有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------4水深火热的演练一、直接求出ac，或求出a与b的比值，以求解e。在椭圆中，ace，22222221ababaacace1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于322.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为223.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21FF,则椭圆的离心率为214.已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为12。5.若椭圆)0(,12222babyax短轴端点为P满足21PFPF，则椭圆的离心率为e22。6..已知)0.0(121nmnm则当mn取得最小值时，椭圆12222nymx的的离心率为237.椭圆22221(0)xyabab的焦点为1F，2F，两条准线与x轴的交点分别为MN，，若12MNFF≤，则该椭圆离心率的取值范围是212，8.已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率为e22。9.P是椭圆22ax+22by=1（a＞b＞0）上一点，21FF、是椭圆的左右焦点，已知有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------5,2,1221FPFFPF,321PFF椭圆的离心率为e1310.已知21FF、是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若75,151221FPFFPF，则椭圆的离心率为3613.椭圆12222byax（ab0）的两顶点为A（a,0）B(0,b),若右焦点F到直线AB的距离等于21∣AF∣，则椭圆的离心率是36。14.椭圆12222byax（ab0）的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是21515.已知直线L过椭圆12222byax（ab0）的顶点A（a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L的距离为2a，则椭圆的离心率是3616.在平面直角坐标系中，椭圆2222xyab1(ab0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径作圆，过点2,0ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e=2217.设椭圆22221(0)xyabab的离心率为1e2，右焦点为(0)Fc，，方程20axbxc的两个实根分别为1x和2x，则点12()Pxx，（A）Ａ．必在圆222xy内Ｂ．必在圆222xy上Ｃ．必在圆222xy外Ｄ．以上三种情形都有可能二、构造ac，的齐次式，解出e有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------61．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是532．以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点，椭圆的左焦点为F1，直线MF1与圆相切，则椭圆的离心率是133．以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是134．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是215．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是336．设12FF、分别是椭圆222210xyabab的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为3c（c为半焦距）的点，且122FFFP，则椭圆的离心率是22三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。1．已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MFMF的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是2(0,)22．已知21FF、是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且9021PFF，椭圆离心率e的取值范围为1,223．已知21FF、是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且6021PFF，椭圆离心率e的取值范围为1,214．设椭圆12222byax（ab0）的两焦点为F1、F2，若椭圆上存在一点Q，使∠F1QF2=120º，椭圆离心率e的取值范围为136e有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------75．在ABC△中，ABBC，7cos18B．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e38．6．设12FF，分别是椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P使线段1PF的中垂线过点2F，则椭圆离心率的取值范围是313，7．如图，正六边形ABCDEF的顶点A、D为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B、C、E、F均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是13关于双曲线离心率一、利用双曲线性质例1设点P在双曲线)0b,0a(1byax2222的左支上，双曲线两焦点为21FF、，已知|PF|1是点P到左准线l的距离d和|PF|2的比例中项，BCFEADBCFEADFEAD有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------8求双曲线离心率的取值范围。解析：由题设|PF|d|PF|221得：|PF||PF|d|PF|121。由双曲线第二定义ed|PF|1得：e|PF||PF|12，由焦半径公式得：eexaexa，则aeea)e1(x2，即01e2e2，解得21e1。归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点P在双曲线1byax2222的左支上则ax；若点p在双曲线1byax2222的右支上则ax。二、利用平面几何性质例2设点P在双曲线)0b,0a(1byax2222的右支上，双曲线两焦点21FF、，|PF|4|PF|21，求双曲线离心率的取值范围。解析：由双曲线第一定义得：a2|PF||PF|21，与已知|PF|4|PF|21联立解得：a32|PF|,a38|PF|21，由三角形性质|FF||PF||PF|2121得：c2a32a38解得：35e1。归纳：求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质，如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。三、利用数形结合例3（同例2）解析：由例2可知：a32|PF|,a38|PF|21，点P在双曲线右支上由图1可知：有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------9ac|PF|1，acPF||2，即aca32,aca38，两式相加得：ca35，解得：35e1。四、利用均值不等式例4已知点P在双曲线)0b,0a(1byax2222的右支上，双曲线两焦点为21FF、，|PF||PF|221最小值是a8，求双曲线离心率的取值范围。解析：a8a4|PF|a4|PF||PF|)a2|PF(||PF||PF|222222221，由均值定理知：当且仅当a2|PF|2时取得最小值a8，又ac|PF|2所以aca2，则3e1。五、利用已知参数的范围例5（2000年全国高考题）已知梯形ABCD中，|CD|2|AB|，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当4332时，求双曲线离心率的取值范围。解析：如图2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为)0b,0a(1byax2222，设)y,x(E)h,2c(C)0,c(B)0,c(A00、、、有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------10其中h是梯形的高，由定比分点公式得1hy,)1(2c)2(x00，把C、E两点坐标分别代入双曲线方程得1bha4c2222，1b)1(ha)1(4c)2(22222222，两式整理得1)14e()1()1(4e)2(222222，从而建立函数关系式2e1e22，由已知4332得，432e1e3222，解得10e7。六、利用直线与双曲线的位置关系例6已知双曲线)0a(1yax222与直线l：1yx交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。解析：把双曲线方程和直线方程联立消去x得：0a1,0a1y2y)a1(2222时，直线与双曲线有两个不同的交点则0，0)a2(a