线性代数

1线性方程组1.三种行初等变换倍加变换（某一行的倍数加到另一行）对换变换（两行交换）倍乘变换（某一行所有元素乘以同一个非零数）2.行等价一个矩阵可经过一系列初等行变换成为另一个矩阵。行变换可逆。3.若两个线性方程组的增广矩阵行等价，则它们有相同的解集。4.简化行阶梯矩阵a)非零行的先导元素为0b)先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素一个矩阵的简化行阶梯矩阵唯一。5.对应于主元列的变量称基本变量，其他变量称自由变量。6.向量的平行四边形法则若R2中的向量u，v用平面上的点表示，则u+v对应于u，v，0为三个顶点的平行四边形的第四个顶点。[思考：即使u，v不是R2而是R3甚至Rn中的向量，上述结论是否仍然成立？]7.向量方程x1a1+x2a2+...+xnan=b和增广矩阵如下的线性方程组[a1a2...anb]和矩阵方程Ax=b有相同的解集。8.方程Ax=b有解的条件：b是A的各列的线性组合。9.设A为mxn矩阵，以下命题等价：a)对Rm中每个b，Ax=b有解b)Rm中的每个b都是A的列的一个线性组合c)A的各列生成Rm（Rm=Span{A各列}）d)A在每一行都有一个主元位置（注意是A的每一行，*不*是A的增广矩阵的每一行）10.方程Ax=0有非平凡解的条件：至少有一个自由变量。11.如果非齐次方程有多个解，其解可表示为一个向量（这个向量也是非齐次方程的特解）加上相应的齐次方程的解。或者说：非齐次方程解＝该方程特解＋对应的齐次方程的通解12.若一组向量v1，v2，...，vn组成的向量方程x1v1+x2v2+...+xnvn=0仅有平凡解，则这些向量线性无关；否则这些向量线性相关。同样，仅当矩阵方程Ax=0仅有平凡解，A的各列线性无关。13.单个的零向量线性相关，因为0x=0有非平凡解；同理，单个的非零向量线性无关。含有零向量的向量组必定线性相关。14.向量集线性相关，则其中至少一个向量是其他向量的线性组合；但该集合中也有可能存在不能表示为其他向量线性组合的向量。15.若向量组中的向量个数超过每个向量的元素个数，那么这个向量组必定线性相关。16.仅存在两个向量的向量集是否线性相关很好判断：看一个是否是另一个的倍数就可以了。17.矩阵A与向量x的积，就是A的各列以x中对应元素为权的线性组合。下式中，A为矩阵，x为向量，xn为向量元素，an为矩阵列。Ax＝x1a1+x2a2+...+xnan18.设u，v是R3中的线性无关向量，那么span{v}是过零点和v的直线，span{u,v}是过u，v，0的平面。19.矩阵乘法Ax=b的另一种理解是，将矩阵A作用于向量x，产生新向量b。解方程Ax=b就是求出Rn中所有经过A的“作用”后变为b的向量x。20.符号T:Rn-Rm说明T的定义域是Rn，余定义域是Rm。T(x)的集合是T的值域。21.由Rn到Rm的每个线性变换都是矩阵变换，反之亦然（每个矩阵变换都是线性变换）。即对于线性变换Rn-Rm，存在唯一矩阵A使得T(x)=Ax（对Rn中一切x）。A可按下式求得：A=[T(e1)T(e2)...T(en)]其中ej是单位矩阵In的第j列。A称为线性变换T的标准矩阵。22.若T的值域是整个余定义域，T是满射；若T是一对一的，T是单射。23.线性映射T是一对一的条件：Ax=0仅有平凡解。24.若T为线性变换，A为T的标准矩阵，那么：当且仅当A的列生成Rm时，T把Rn映上到Rm（即将Rn映射到Rm上，满射）；当且仅当A的列线性无关时，T是一对一的。2矩阵代数1.设A，B为可以相乘的矩阵，AB的每一列都是A的各列的线性组合，以B的对应列的元素为权。同样，AB的每一行都是B的各行的线性组合，以A的对应行的元素为权。例如，AB的第m列是以B的第m列为权的A的各列的线性组合；AB的第n行是以A的第n行为权的B的各行的线性组合。2.矩阵乘法恒等式：ImA=A=AIn3.逆矩阵的概念仅对方阵有意义。4.若A可逆，则对每一Rn中的b，方程Ax=b有唯一解x=A-1b5.初等矩阵：将单位矩阵进行一次初等行变换所得的矩阵。6.对mxn矩阵A进行初等行变换所得的矩阵，等于对单位矩阵进行相同行变换所得初等矩阵与A相乘的结果。设对单位矩阵Im进行初等行变换所得初等矩阵为E，对A进行相同初等行变换的结果可写为EA。因为初等行变换可逆，所以必有另一行变换将E变回I。设该“另一行变换”对应初等矩阵为F，结合上一行，F对E的作用可写为FE=I。因此，每个初等矩阵均可逆。7.当n阶方阵A行等价于In时，A可逆。此时，将A变为In的一系列初等行变换同时将In变为A-1。8.求A-1：将增广矩阵[AI]进行行化简，若A可逆，则[AI]~[IA-1]将[AI]行变换为[IA-1]的过程可看作解n个方程组：Ax=e1,Ax=e2,...Ax=en这n个方程组的“增广列”都放在A的右侧，就构成矩阵[Ae1e2...en]=[AI]如果我们只需要A-1的某一列或某几列，例如需要A-1的j列，只需解方程组Ax=ej，而不需要求出整个A-1。[注：根据此条可以导出利用克拉默法则求逆矩阵的公式]9.可逆矩阵定理对于n阶方阵，以下命题等价：a)A可逆b)A与n阶单位矩阵等价c)A有n个主元位置d)方程Ax=0仅有平凡解e)A各列线性无关f)线性变换x|-Ax是一对一的g)对Rn中任意b，Ax=b至少有一个解（有且仅有唯一解？）h)A各列生成Rni)线性变换x|-Ax将Rn映上到Rnj)存在nxn阶矩阵B，使AB=BA=Ik)AT可逆l)A的列向量构成Rn的一个基m)ColA=Rnn)dim(Col(A))=no)rank(A)=np)Nul(A)=0q)dim(Nul(A))=0r)det(A)≠0=A可逆s)A可逆当且仅当0不是A的特征值t)A可逆当且仅当A的行列式不等于零再次强调，以上命题仅对n阶方阵等价。对于mxn（m≠n）则未必10.分块矩阵乘法两个矩阵A、B相乘，要求A的列数等于B的行数，因此若要使分块后的矩阵能够应用乘法，分块时A的列分法必须与B的行分法一致，而A的行分法与B的列分法可以任意。例如A有5列B有5行，A分块为3列/2列，那么B就要分为3行/2行。11.按上一项所述，如果将A的每一列都分作为一块，同样将B的每一行都分作为一块，那么就可以得到：AB=[col1(A)col2(A)...coln(A)][row1(B)row2(B)...rown(B)]T=sigma(colk(A)rowk(B))(1≤k≤n)每个colk(A)rowk(B)本身也是一个mxp矩阵（假设A为mxn矩阵，B为nxp矩阵）。12.单位下三角矩阵的逆也是单位下三角矩阵。13.LU分解如果A可化为阶梯形U，且化简过程中仅使用行倍加变换（将一行倍数加到它下面的另一行），那么由于每次初等变换均等价于相应初等矩阵与A相乘，所以A到U的变换过程可表示为：Ep...E1A=U于是A可表示为A=LU，其中L=(Ep...E1)-1，即L=E1-1...Ep-1由于单位下三角矩阵的逆也是单位下三角矩阵，所以L为单位下三角矩阵。14.向量空间：向量集中的向量满足加法交换律和结合律、标量乘法交换律和结合律、存在零向量和负向量，以上运算结果仍在该集合中。15.子空间：非空，对加法和标量乘法封闭（非空且封闭则必包含零向量）。16.若v1,v2,...vp在V中，Span(v1,v2,...vp)是V的子空间。17.设A为mxn矩阵，满足Ax=0的x集合是A的零空间，是Rn的子空间，空间中的任意向量v满足Av=0。18.设A为mxn矩阵，A的列的所有线性组合是A的列空间，是Rm的子空间，空间中的任意向量v使方程Ax=v相容。19.子空间的维与向量的维：向量中元素数量是向量的维；子空间的基的向量的数量是子空间的维。20.矩阵A的行空间的维=列空间的维=rank(A)21.若A有n列，那么rank(A)+dim(Nul(A))=n22.矩阵的主元列构成列空间的基23.若A，B均为nxn矩阵，则detAB=(detA)(detB)[注：一般来说det(A+B)≠detA+detB]24.若A为nxn矩阵，且除了其中一列以外其他各列固定，那么detA是那个可变列的线性函数25.若A是一个2x2矩阵，那么由A的列确定的平行四边形面积为|detA|若A是一个3x3矩阵，那么由A的列确定的平行六面体的体积为|detA|（若A为2x2矩阵，两列为v1，v2，那么平行四边形的四个顶点为0，v1，v2，v1+v2）（若A为3x3矩阵，三列为v1，v2，v3，那么平行六面体的八个顶点为0，v1，v2，v3，v1+v2，v1+v3，v2+v3，v1+v2+v3）26.若T:R2-R2是由一个2x2矩阵A确定的线性变换，S是R2中的一个平行四边形，则：T(s)的面积=|detA|·S的面积3向量空间0.尽管我们在大多数情况下我们以Rn作为向量空间的研究对象，但实际上有很多非Rn形式的向量空间。例如，最高次幂为n的多项式空间。1.mxn矩阵A的零空间是Rn的子空间；同样，m个方程n个未知数的齐次线性方程组的解的集合也是Rn的子空间。NulA的生成集中向量的个数等于方程Ax=0中自由变量的个数。当且仅当Ax=0仅有平凡解，NulA={0}。当且仅当x|-Ax是一对一的，NulA={0}。2.mxn矩阵A的列空间是A的列的线性组合组成的集合，ColA是Rm的子空间。当且仅当Ax=b对每一个b都有一个解，ColA=Rm当且仅当x|-Ax将Rn映上到Rm，ColA=Rm3.向量空间V-W的线性变换T将V中每个向量x映射成W中唯一向量T(x)线性变换T的核（即零空间）是V中所有满足T(u)=0的向量u的集合T的值域（即列空间）是W中所有具有形式T(x)的向量的集合4.矩阵的行初等变换不影响矩阵列的线性相关关系（想象方程组的求解过程）5.矩阵A的主元列构成ColA的一个基与矩阵A等价的阶梯矩阵的非零行构成RowA的一个基若两个矩阵行等价，它们有相同的行空间6.如果一个一般意义上的向量空间（不一定是Rx）的基包含n个向量，那么该向量空间中的某个向量可以用相对于该基的坐标操作，这样就使得操作V像操作Rn一样方便。例如，n次多项式向量空间的一个基是{t0,t1,...,tn}向量y=a0+a1t+...+antn相对于该基的坐标是Rn+1中的向量：[a0a1...an]T7.对Rn中的一个基B={b1,b2,...,bn}，若令PB=[b1b2...bn]那么：x=PB[x]B[x]B=PB-1x8.若向量空间V的一个基是B={b1,b2,...,bn}，那么x|-[x]B是由V映上到Rn的一对一的线性变换。9.若B和C都是向量空间V的基，假定基中的向量个数为n，则存在一个nxn矩阵PC-B使得：[x]C=PC-B[x]B其中PC-B是基B中向量的C-坐标向量：PC-B=[[b1]c...[bn]c]该矩阵称为由B到C的坐标变换矩阵。自然，[x]B=PC-B－1[x]C如上所述，PC-B是基B中向量的C-坐标向量，所以可以按下式求PC-B：[c1...cn|b1...bn]~[I|PC-B]10.一个具有非负分量且各分量数值相加等于1的向量称为概率向量；随机矩阵是各列均为概率向量的方阵。对一个nxn的正规随机矩阵P，存在稳态向量（也是概率向量）q使得Pq=q4特征值与特征向量1.一个例子：随机矩阵与其稳态向量q满足Aq=q，此时特征值λ=1，特征向量即稳态向量q。2.由Ax=λx，可以推出(A-λI)x=0。由于特征向量不能为0，该方程必须有非平凡解，因此A-λI不可逆；所以det(A-λI)=0。据此可解出所有λ，再跟据λ可解出特征向量。det(A-λI)=0称为特征方程。3.根据齐次线性方程组的特点，一个特征值对应的特征向量有无限多个，且对应于λ的所有特征向量加上零向量可以构成向量空间，称为矩阵A对应于特征值λ的特征空间。4.n阶矩阵的特征方程是λ的n阶方程，如