北航《数值分析》总复习题(2011年)

第1页(共8页)工程硕士《数值分析》总复习题（2011年用）[由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用]一.解答下列问题:1）下列所取近似值有多少位有效数字(注意根据什么?):a)对e=2.718281828459045„,取*x=2.71828b)数学家祖冲之取113355作为的近似值.c)经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001,90.55000,它们的有效数字位数分别为位,位,位。2)简述下名词:a)截断误差(不超过60字)b)舍入误差(不超过60字)c)算法数值稳定性(不超过60字)3)试推导(按定义或利用近似公式):计算3x时的相对误差约等于x的相对误差的3倍。4)计算球体积334rV时,为使其相对误差不超过0.3%,求半径r的相对误差的允许范围。5）计算下式3418)1(3)1(7)1(5)1(22345xxxxxxP）（时,为了减少乘除法次数,通常采用什么算法?将算式加工成什么形式?6)递推公式,2,1,110210nyyynn如果取*0041.12yy(三位有效数字)作近似计算，问计算到10y时误差为初始误差的多少倍？这个计算过程数值稳定吗？二.插值问题:1)设函数)(xf在五个互异节点54321,,,,xxxxx上对应的函数值为54321,,,,fffff，根据定理，必存在唯一的次数（A）的插值多项式)(xP，满足插值条件(B).对此，为了构造Lagrange插值多项式)(xL,由5个节点作(C)个、次数均为(D)次的插值基函数第2页(共8页))(xli=_（E），从而得Lagrange插值多项式)(xL=（F）,而插值余项)()()(xLxfxR=（G）。2)试用三种方法求过三个离散点：A（0，1）、B（1，2）、C（2，3）的插值多项式。3）求函数xexf)(在[0,1]上的近似一次插值多项式。4)由函数值表:x:123xe:0.367879441,0.135335283,0.049787068求1.2e的近似值.5)利用插值方法推导xijijxninijj][0,0三.拟合问题:1)对离散实验数据做最小二乘拟合的两个主要步骤是(A)和(B).2)对同一个量的多个近似值,常取其算术平均作为该量的近似值,这种做法的意义是什么?3)设有实验数据如下：x1.361.731.952.28f14.09416.84418.47520.963按最小二乘法求其拟合曲线。4)已知某试验过程中函数f依赖于x的试验数据如下：ix：1234if：0.81.51.82.0试按最小二乘法拟合出一个形如2bxaxS的经验公式。5)设有实验数据如下：x1234f4101826按最小二乘法拟合出一个形如2bxaS的经验公式。四.数值求积:1)写出数值求积公式的一般形式,指出其特点,并说明它对计算机的计算有什么意义?第3页(共8页)2)简述数值求积公式的”代数精度”的概念3)插值型求积公式0()()nbkkakfxdxAfx中,每个系数可用公式kA=(A)计算,它们之和nkkA0=(B),其代数精度(C).又Newton-Cotes公式的一般形式为(D),其主要特点是(E),其Cotes系数之和nknkC0)(=(F),其代数精度(G);4)考察数值求积公式11101)1()0()1()(fAfAfAdxxf,直接指出:它是什么类型的公式?为使其精度尽可能高,101,,AAA应取什么确值?它是不是Gauss型公式?5)求dxxI10311的近似值,试写出使用11个等分点函数值的求积公式(要求只列出数值公式,不需要求出具体结果)。6)利用复化Simpson公式求积分dxxI21的近似值（只需列出算式）。7)利用现成函数表，分别用复化梯形公式nT和复化Simpson公式nS计算积分dI602sin42sin402369981001.13629924473.13639831825.13649705386.13659548386.13669364917.1五.解线性代数方程组的直接法:1）Gauss消去过程中引入选主元技巧的目的是下列中的哪一项或哪几项？A．提高计算速度；B．提高计算精度；C．简化计算公式；D．提高计算公式的数值稳定性；E．节省存储空间。第4页(共8页)2）采用“列主元Gauss消去法”解下列方程组：565331743532321xxxa)用”列主元Gauss消去过程”将方程组约化成上三角方程组;b)用”回代过程”依次列式计算出方程组的解。3)设方程组6745150710623321xxx现采用“列主元Gauss消去法”求解，试回答：a）所用列主元Gauss消去法包括哪两个过程？b）要用几步消元？c）每一步消元计算之前需做哪些工作（用简短、准确的文字叙述）?d）现经第１步消元结果,上述方程组已被约化为251061321251017560710xxx请你继续做消元计算,直至约化成上三角方程组。e）对所得上三角方程组依次列式计算出方程组的解。六.解线性代数方程组的迭代法:1)解线性代数方程组fxBx的基本型迭代公式,1,0,)()1(kfxBxkk其中B称为什么?)0(x又称为什么?如果迭代序列）（kx有极限*x（即迭代公式收敛），则极限*x是什么？2）设解线性代数方程组bAx（其中nnRA非奇异，0b）的迭代公式为,1,0,)()()()1(kbAxxxkkk则其迭代矩阵是什么?此迭代公式对任意的初始向量)0(x收敛的充分必要条第5页(共8页)件是什么？又此迭代公式对任意的初始向量)0(x收敛的一个充分条件是什么？3)设线性方程组53411221xx，试构造解此方程组的Jacobi迭代公式和GS迭代公式；试问所作的两种迭代公式是否收敛,为什么?试用初值Tx)0,0()0(计算GS迭代公式的前三个值.4)设方程组84195121xx试构造解此方程组的收敛的Jacobi迭代公式和收敛的Guass-Seidel迭代公式,并说明两者收敛的根据;求出这两种迭代的迭代矩阵.5)设线性方程组3,,15.05.025.05.01,RbxaaAbAx请按便于计算的收敛充分条件,求使J法和GS法均收敛的a的取值范围.七．一元方程求根:1)写出求方程013)(3xxxf在[1，2]中的近似根的一个收敛的不动点迭代公式，并证明其收敛性。2)已知方程)1(2lnxxx的有根区间[3，4].试写出求该方程在[3,4]中的根的一个不动点迭代公式;证明所给出的迭代公式是收敛的。试设计其计算机算法.3)用Newton迭代法求方程013)(3xxxf在20x附近的根,试写其Newton迭代公式;并说明其收敛情况。4)试写出求2的Newton迭代公式，并说明其收敛情况。八.常微分方程初值问题:1）常微分方程定解问题分为初值问题和(A)问题.初值问题是指由（B）和（C）两部分联立起来构成的问题。研究常微分方程初值问题时，通常针对基第6页(共8页)本形式（D）进行研究。设函数)(xy是某初值问题的解析解，则该初值问题在nx处的解为(E)而数值解(通常记)为（F）,它们的关系是(G).若记)(1nxy是初值问题在点1nx处的解，1ny是由某数值方法得出的1nx处的数值解，则该数值方法在1nx处的局部截断误差是指（H）.2）设初值问题1)0(6.00,2yxyyxy试用Euler方法取2.0h，求解上述初值问题的数值解。3)设初值问题2)1(21,38yxyy试用梯形方法求其解在两点4.1,2.1x处的值)4.1(,)2.1(yy的近似值。4）设初值问题1)0(10,122yxxyy试用改进的Euler方法，并取1.0h，设计一个求解上述初值问题数值解的求解方案（或称计算机算法描述;不必求出解的具体数值）。5)设初值问题1)0(10),1/(3yxxyy试用4阶经典R-K方法，并取1.0h，设计一个求解上述初值问题数值解的求解方案（或称计算机算法描述;不必求出解的具体数值）。九、下列各小题任选其中已学过的小题作练习：1）设Tx)3,2,0(,求，1x，2x,x；设4321A，求1A，A，2A,)(A。2)用较简捷的方法分别求下列的插值多项式)(xH和)(xp,并写出其余项公式:a)1)1(,0)0()0(,1)1(HHHHb)2)2(,0)1()1(,1)0(pppp3)用插值方法求在0x处与xcos相切,在2x处与xcos相交的二次多项式)(2xp,并推导插值余项的估计式为第7页(共8页)|2|61)(cos22xxxpx4)试用最小二乘法原理求下列超定方程组的近似解:7262353114221212121xxxxxxxx5)要计算函数dtexyxt02)(在x=0.2,0.4,0.6三处的近似值，试用解初值问题的数值方法,设计其计算方案（要求采用二阶精度的计算公式）.6)用追赶法解三对角方程组：022112111131124321xxxx7)对方程组21,13.021,bAbAx拟用迭代法,1,0,)()()()1(kbAxxxkkk求解,试确定的取值范围,使得上述迭代公式收敛.8)对迭代函数2()(5)xxx，试求使迭代公式,1,0),(1kxxkk，局部收敛于5x的的取值范围。9)试给出求0,1CC的Newton迭代公式,使得迭代公式没有开方和除法运算.10)由迭代公式,1,0,211kxxxkkk，产生的序列kx对任何初值10x均二阶收敛于什么？解释其原理。11)写出求方程0122xx的Newton迭代公式，并指出其收敛阶(数)。（可以有两种答案）第8页(共8页)12）若用Euler公式（yn+1=yn+hf(xn,yn)）解初值问题证明其数值解为2(1)nnyh，并证明它收敛于准确解()2nxnyxe讨论该数值方法的绝对稳定条件。13）设0)(kkxq是区间1,0上带权x而最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0xq，试求1()qx。(0)2yyy