向量的综合题型整理

向量的综合题型整理题型一：共线定理应用例：平面向量ba,共线的充要条件是（）A.ba,方向相同B.ba,两向量中至少有一个为零向量C.存在,RabD.存在不全为零的实数0,,2121ba例：对于非零向量ba,，“0ba”是“ba//”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件例：设ba,是两个非零向量（）A.若baba，则baB.若ba，则babaC.若baba，则存在实数，使得abD.若存在实数，使得ab，则baba例：已知两个不共线非零向量1e与2e：（1）如果21eeAB，2123eeBC，2128eeCD，求证：DCA,,三点共线；（2）如果21eeAB，2132eeBC，212ekeCD，且DCA,,三点共线，求实数k的值。题型二：向量平行（共线）、垂直充要条件的坐标表示例：已知两个向量)2,1(a，)2,3(b,当实数k取何值时，向量bak2与ba42平行？例：(2015年全国卷Ⅱ,T13)设向量a与b不平行，向量ba与ba2平行，则实数。例：设向量ba,满足52a，)1,2(b，且a与b反向，则a=。例：已知向量)12,(kOA，)5,4(OB，)10,(kOC，且CBA,,三点共线，则k（）A.23B.32C.32D.23例：(2016年全国卷Ⅱ,T3)已知向量),1(ma，)2,3(b，且bba）（，则m（）A.8B.6C.6D.8题型三：平面向量的数量积例：（1）在ABCRt中，90C，4AC，则ACAB；（2）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则点E是AB边上的动点，则CBDE的值为；DCDE的最大值为。（3）(2017全国课标卷Ⅱ，T12)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则)(PCPBPA的最小值是（）A．2B.23C．34D．1例：（2012，全国卷）如图所示，平行四边形ABCD中，BDAP，垂足为P，且3AP，则ACAP。例：(2013，全国卷)在ABC中，090A,1AB,2AC，设点QP,满足ABAP，ACAQ)1(，R,若2CPBQ,则（）A.31B.32C.34D.2例：(2014年全国卷Ⅱ,T3)设向量ba,满足10ba,6ba，则ba（）A．1B．2C．3D．5题型四：平面向量的夹角例：（1）已知向量)3,1(a，)0,2(b，则a与b的夹角是；（2）已知ba,是非零向量且满足aba)2（，bab)2(，则ba与的夹角是；（3）已知向量cba,,满足1a，2b，bac，ca，则a与b的夹角是；（4）已知ba,是非零向量且满足,baba则a与ba的夹角是；（5）(2012年全国卷Ⅱ,T13)已知向量a，b夹角为45，且||1a，|2|10ab，则||b。例：已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列4个命题：)32,0[1:1bap；],32(1:2bap；)3,0[1:3bap；],3(1:4bap；其中的真命题是（）A.41,ppB.31,ppC.32,ppD.42,pp题型五：平面向量的模长例：已知5ba，向量a与b的夹角为3，求ba，ba。例：(2013，全国卷)已知向量a与b的夹角为4，且,102,1baa则b。例：已知单位向量cba,,，且0ba，0)()(cbca，则cba的最大值为。题型六：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用1.向量中两个常用的结论：（1）平面上三点CBA,,共线对平面上任意一点P，PACBPCPBPA，1。（2）若D为ABC的边BC上的一点，当DCBD时，有ACABAD111。例：设P是三角形ABC所在平面内的一点，,2BABCBP则（）A.PBPA0B.PAPC0C.PCPB0D.PBPAPC0例：已知O是三角形ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且OCOBOA20,那么（）A.ODAOB.ODAO2C.ODAO3D.ODAO2例：在三角形ABC中，cAB，bAC,若点D满足DCBD2,则AD()A.cb3132B.bc3235C.cb3132D.cb3231例：（2015，全国卷）在三角形ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB,aCB，bCA,2,1ba,则CD()A.ba3231B.ba3132C.ba5453D.ba5354例：如图，在ABC中，点D在BC边上，且DBCD2，点E在AD边上，且AEAD3，则CE可用向量ACAB,表示为（）A.ACABCE9892B.ACABCE9892C.ACABCE9792D.ACABCE9792例：已知ED,是ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若ACyABxAP，求xy的取值范围。2.三角形各心的向量关系：已知ABC，角CBA,,所对的边长分别为cba,,:（1）三角形的外心O：外接圆的圆心，三边中垂线的交点，满足OCOBOA；（2）三角形的内心I：内切圆的圆心，三个内角平分线的交点，满足0ICcIBbIAa；证明法一：若0ICcIBbIAa，则由0ACIAcABIAbIAaICcIBbIAa得：bACcABcbabccbaACcABbAI，即I在A的角平分线上，同理I在B与C的角平分线上，故I是内心。ADBCADBCE法二：因为bACcAB,分别为ACAB,方向上的单位向量，所以向量bACcAB平分BAC，设bACcABAI，aBCcBABI，ACabABaccaABACcBAbACcABBIAIAB，从而01abacc，解得cbabc，于是bCIAIcBIAIcbabcbACcABcbabcAI，化简得：0ICcIBbIAa。（3）三角形的重心G：三边中线的交点，重心分中线比为1:2，满足0GCGBGA。（4）三角形的垂心H：三边高的交点，满足HAHCHCHBHBHA。例：在ABC中，1AB，2BC，3AC，若O为ABC的重心，则ACAO。例：O是ABC所在平面内一定点，动点P满足,0,ACACABABOAOP，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心例：已知非零向量AB与AC满足0BCACACABAB且23ACACABAB，则ABC为（）A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形例：O是ABC内一点，0OBOAOC，则为ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心例：O是平面上一定点，CBA,,是平面上不共线的三个点，动点P满足RCOSCACACCOSBABABOAOP,，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心例：已知点PNO,,在ABC所在平面内，且,OCOBOANCNBNA0，PAPCPCPBPBPA，则PNO,,依次是ABC的（）A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心例：在ABC中，若动点P满足CPABCBCA222，则P一定经过（）A、外心D.内心C.重心D.垂心题型：bababa。例：已知向量cba,,共面，且均为单位向量，0ba，求cba的取值范围。例：已知平面内三个单位向量OCOBOA,,，60,OBOA，若OBnOAmOC，求nm的最大值。例：在ABC中，3A，O为平面内的一点，且OCOBOA，M为劣弧BC上的一动点，且OCqOBpOM，则求qp的取值范围。例：已知ABC的面积为24，点ED,分别在边BC，AC上，且满足EACE3，DBCD2，连接AD，BE交于点F，求ABF的面积。题型七：平面向量在三角函数中的应用例：在ABC中，CBA,,所对边的长分别为cba,,，已知向量)sin2,1(Am，)cos1,(sinAAn，且满足nm//，acb3。（1）求A的大小；（2）求)6sin(B的值。例：已知变量)3cos,3(cosxxm，)3cos3,3(sinxxn，函数nmxf)(。（1）求)(xf解析式；（2）求)(xf的单调递增区间；（3）如果ABC的三边cba,,，满足acb2，且b边所对的角为x，试求x的范围和此时)(xf的值域。例：已知向量2,0),23sin,2(cos),23sin,23(cosxxxbxxa。（1）求证ba及ba；（2）定义bambaxf2)(，若函数)(xf的最小值为23，求实数m的值。例：在ABC中，已知BCBAACAB3。（1）求证：ABtan3tan；（2）若55cosC，求A的值。