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第第第第5555章章章章量纲分析和相似原理量纲分析和相似原理量纲分析和相似原理量纲分析和相似原理§§§§5.1量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析的意义和量纲和谐原理§§§§5.2量纲分析法量纲分析法量纲分析法量纲分析法§§§§5.3相似理论基础相似理论基础相似理论基础相似理论基础1§§§§5.3相似理论基础相似理论基础相似理论基础相似理论基础§§§§5.4模型实验模型实验模型实验模型实验§§§§5.1量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析的意义和量纲和谐原理一一一一、、、、量纲的概念量纲的概念量纲的概念量纲的概念单位单位单位单位（（（（Unit））））：：：：量度各种物理量数值大小的标准量量度各种物理量数值大小的标准量量度各种物理量数值大小的标准量量度各种物理量数值大小的标准量，，，，称单位称单位称单位称单位。。。。如长度单位为如长度单位为如长度单位为如长度单位为m或或或或cm等等等等。。。。——“量量量量””””的表征的表征的表征的表征。。。。2量纲量纲量纲量纲（（（（Dimension））））：：：：撇开单位的大小撇开单位的大小撇开单位的大小撇开单位的大小，，，，表征物理量的表征物理量的表征物理量的表征物理量的性质和性质和性质和性质和类别类别类别类别。。。。如长度量纲为如长度量纲为如长度量纲为如长度量纲为[L]。。。。——“质质质质””””的表征的表征的表征的表征。。。。基本量纲基本量纲基本量纲基本量纲（（（（FundamentalDimension））））：：：：具有独具有独具有独具有独立性的立性的立性的立性的，，，，不能由其他量纲推导出来的量纲叫做不能由其他量纲推导出来的量纲叫做不能由其他量纲推导出来的量纲叫做不能由其他量纲推导出来的量纲叫做基本量纲基本量纲基本量纲基本量纲。。。。不可压缩流体运动中一般取质量不可压缩流体运动中一般取质量不可压缩流体运动中一般取质量不可压缩流体运动中一般取质量MMMM、、、、长度长度长度长度LLLL、、、、时间时间时间时间TTTT、、、、即即即即[M-L-T]为基本量纲体系为基本量纲体系为基本量纲体系为基本量纲体系。。。。量纲量纲量纲量纲§§§§5.1量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析的意义和量纲和谐原理3导出量纲导出量纲导出量纲导出量纲（（（（DerivedDimension））））::::是指由基是指由基是指由基是指由基本量纲导出的量纲本量纲导出的量纲本量纲导出的量纲本量纲导出的量纲。。。。量纲量纲量纲量纲［［［［A］］］］=L2［［［［ρ］］］］=ML-3[F]=MLT-2不可压缩流体中不可压缩流体中不可压缩流体中不可压缩流体中，，，，某一物理量某一物理量某一物理量某一物理量qqqq的量纲的量纲的量纲的量纲[[[[qqqq］］］］都可用都可用都可用都可用3333个基本量纲的指数乘积形式表示个基本量纲的指数乘积形式表示个基本量纲的指数乘积形式表示个基本量纲的指数乘积形式表示量纲公式量纲公式量纲公式量纲公式:[]qMLTαβγ=§§§§5.1量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析的意义和量纲和谐原理4几何学量纲几何学量纲几何学量纲几何学量纲：：：：αααα=0，，，，β≠β≠β≠β≠0，，，，γγγγ=0运动学量纲运动学量纲运动学量纲运动学量纲：：：：αααα=0，，，，β≠β≠β≠β≠0，，，，γ≠γ≠γ≠γ≠0动力学量纲动力学量纲动力学量纲动力学量纲：：：：α≠α≠α≠α≠0，，，，β≠β≠β≠β≠0，，，，γ≠γ≠γ≠γ≠0分分分分类类类类[]qMLTαβγ=二二二二、、、、无量纲量无量纲量无量纲量无量纲量0αβγ===当当当当则则则则［［［［q］］］］=1无量纲量无量纲量无量纲量无量纲量可由两个具有相同量纲的物理量相比得到可由两个具有相同量纲的物理量相比得到可由两个具有相同量纲的物理量相比得到可由两个具有相同量纲的物理量相比得到；；；；可由几个有量纲物理量乘除组合可由几个有量纲物理量乘除组合可由几个有量纲物理量乘除组合可由几个有量纲物理量乘除组合，，，，使组合量的量纲使组合量的量纲使组合量的量纲使组合量的量纲指数为零得到指数为零得到指数为零得到指数为零得到。。。。§§§§5.1量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析的意义和量纲和谐原理5指数为零得到指数为零得到指数为零得到指数为零得到。。。。特点特点特点特点：：：：((((1111))))无量纲量的大小与所选单位无关无量纲量的大小与所选单位无关无量纲量的大小与所选单位无关无量纲量的大小与所选单位无关，，，，具有具有具有具有客观性客观性客观性客观性；；；；((((2222))))不受运动规模不受运动规模不受运动规模不受运动规模的影响的影响的影响的影响，，，，模型与原型常用同一无量纲数模型与原型常用同一无量纲数模型与原型常用同一无量纲数模型与原型常用同一无量纲数；；；；((((3333))))在在在在超越函数超越函数超越函数超越函数（（（（对数对数对数对数、、、、指数指数指数指数、、、、三角函数三角函数三角函数三角函数））））运算中运算中运算中运算中，，，，均应用无量纲均应用无量纲均应用无量纲均应用无量纲量量量量。。。。Revdν=三三三三、、、、量纲和谐原理量纲和谐原理量纲和谐原理量纲和谐原理（（（（TheoryofDimensionalHomogeneity））））凡是正确反映客观规律的物理方程凡是正确反映客观规律的物理方程凡是正确反映客观规律的物理方程凡是正确反映客观规律的物理方程，，，，其各项的量纲都其各项的量纲都其各项的量纲都其各项的量纲都必须是一致必须是一致必须是一致必须是一致的的的的，，，，即只有方程两边量纲相同即只有方程两边量纲相同即只有方程两边量纲相同即只有方程两边量纲相同，，，，方程才能方程才能方程才能方程才能成立成立成立成立。。。。这称为量纲和谐原理这称为量纲和谐原理这称为量纲和谐原理这称为量纲和谐原理。。。。§§§§5.1量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析的意义和量纲和谐原理6成立成立成立成立。。。。这称为量纲和谐原理这称为量纲和谐原理这称为量纲和谐原理这称为量纲和谐原理。。。。例例例例：：：：2211122212121232222()PavPavzzhggggMLTLTLMLLTLTρρ−−−−−−++=+++a、、、、一个方程在量纲上应是和谐的一个方程在量纲上应是和谐的一个方程在量纲上应是和谐的一个方程在量纲上应是和谐的，，，，所以可用来所以可用来所以可用来所以可用来检验检验检验检验物理方程或经验公式的正确性和完整性物理方程或经验公式的正确性和完整性物理方程或经验公式的正确性和完整性物理方程或经验公式的正确性和完整性。。。。量纲和谐原理的重要性量纲和谐原理的重要性量纲和谐原理的重要性量纲和谐原理的重要性：：：：§§§§5.1量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析的意义和量纲和谐原理7b、、、、根据量纲和谐原理可用来根据量纲和谐原理可用来根据量纲和谐原理可用来根据量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的确定公式中物理量的确定公式中物理量的确定公式中物理量的指数指数指数指数。。。。c、、、、可用来可用来可用来可用来建立物理方程式的结构形式建立物理方程式的结构形式建立物理方程式的结构形式建立物理方程式的结构形式。。。。为科学地组为科学地组为科学地组为科学地组织实验过程织实验过程织实验过程织实验过程、、、、整理实验成果提供整理实验成果提供整理实验成果提供整理实验成果提供理论指导理论指导理论指导理论指导。。。。§§§§5.2量纲分析法量纲分析法量纲分析法量纲分析法一一一一、、、、瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法（（（（Rayleigh））））瑞利法是量纲和谐原理的直接应用瑞利法是量纲和谐原理的直接应用瑞利法是量纲和谐原理的直接应用瑞利法是量纲和谐原理的直接应用。。。。具体分析具体分析具体分析具体分析步骤步骤步骤步骤如下如下如下如下：：：：1、、、、确定与所研究的物理现象有关的确定与所研究的物理现象有关的确定与所研究的物理现象有关的确定与所研究的物理现象有关的n个物理量个物理量个物理量个物理量；；；；282、、、、写出各物理量之间的指数乘积的形式写出各物理量之间的指数乘积的形式写出各物理量之间的指数乘积的形式写出各物理量之间的指数乘积的形式，，，，如如如如：：：：121abpinqKqqq−=3、、、、根据量纲和谐原理根据量纲和谐原理根据量纲和谐原理根据量纲和谐原理，，，，即等式两端的量纲应该相同即等式两端的量纲应该相同即等式两端的量纲应该相同即等式两端的量纲应该相同，，，，确定物确定物确定物确定物理量的指数理量的指数理量的指数理量的指数a，，，，b，，，，……p，，，，代入指数方程式即得各物理量之间代入指数方程式即得各物理量之间代入指数方程式即得各物理量之间代入指数方程式即得各物理量之间的关系式的关系式的关系式的关系式。。。。[][][][]121abpinqqqq−=应用范围应用范围应用范围应用范围：：：：一般情况下一般情况下一般情况下一般情况下，，，，要求相关物理量个数要求相关物理量个数要求相关物理量个数要求相关物理量个数n不超不超不超不超过过过过4个个个个，，，，待求量纲指数不超过待求量纲指数不超过待求量纲指数不超过待求量纲指数不超过3个个个个。。。。【【【【例例例例4444----1111】】】】求水泵输出功率的表达式求水泵输出功率的表达式求水泵输出功率的表达式求水泵输出功率的表达式(1)确定关系式确定关系式确定关系式确定关系式找出同水泵输出功率找出同水泵输出功率找出同水泵输出功率找出同水泵输出功率N相关的物理量相关的物理量相关的物理量相关的物理量，，，，包括单位包括单位包括单位包括单位§§§§5.2量纲分析法量纲分析法量纲分析法量纲分析法9(1)确定关系式确定关系式确定关系式确定关系式找出同水泵输出功率找出同水泵输出功率找出同水泵输出功率找出同水泵输出功率N相关的物理量相关的物理量相关的物理量相关的物理量，，，，包括单位包括单位包括单位包括单位体积水的重量体积水的重量体积水的重量体积水的重量γ=ρg、流量流量流量流量Q、扬程扬程扬程扬程H，即即即即(,,,)0fNQHγ=(2)写出指数乘积关系式写出指数乘积关系式写出指数乘积关系式写出指数乘积关系式abcNKQHγ=(3)写出量纲式写出量纲式写出量纲式写出量纲式[][][][]abcNQHγ=(4)以基本量纲以基本量纲以基本量纲以基本量纲（（（（M、、、、L、、、、T））））表示各物理量量纲表示各物理量量纲表示各物理量量纲表示各物理量量纲232231()()()abcMLTMLTLTL−−−−=§§§§5.2量纲分析法量纲分析法量纲分析法量纲分析法:1Ma=10(5)根据量纲和谐原理求量纲指数根据量纲和谐原理求量纲指数根据量纲和谐原理求量纲指数根据量纲和谐原理求量纲指数:1:223:32MaLabcTab==−++−=−−得得得得1,1,1abc===(6)整理方程式整理方程式整理方程式整理方程式NKQHγ=二二二二、、、、布金汉布金汉布金汉布金汉（（（（Buckingham））））定理定理定理定理（（（（ππππ定理定理定理定理））））若某一物理过程包含若某一物理过程包含若某一物理过程包含若某一物理过程包含nnnn个物理量个物理量个物理量个物理量，，，，即即即即123(,,)0nfqqqq=其中有其中有其中有其中有mmmm个基本量个基本量个基本量个基本量（（（（量纲独立量纲独立量纲独立量纲独立，，，，不能相互导出的物理量不能相互导出的物理量不能相