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1第十一章三角形课题：三角形的边【学习目标】1．认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形．了解三角形的分类．2．掌握判断三条线段可否构成一个三角形的方法．3．通过度量三角形的边长，理解三角形三边间的不等关系．【学习重点】理解三角形三边关系．【学习难点】三角形三边的运用．一、情景导入生成问题情景导入：如图，从教室到食堂有两条路可走，你会走哪条？为什么？二、自学互研生成能力知识模块一三角形及相关概念(一)自主学习阅读教材P2思考之前部分，完成下面的内容：归纳：1.三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．2．边：如图，线段AB、BC、CA是三角形的边．3．顶点：点A、B、C是三角形的顶点．4．内角：相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．5．三角形的读法：如图，顶点是A、B、C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”．(二)合作探究范例：如图，用符号表示以点B为顶点的三角形：△BDF、△BDA、△BEA、△BCA．知识模块二三角形的分类(一)自主学习阅读教材P2思考至P3探究之前部分，完成下面的内容：归纳：1.三角形按边的关系可以如下分类：三角形不等边三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形22．在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰之间的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．(二)合作探究1．下列说法正确的是(B)A．所有的等腰三角形都是锐角三角形B．等边三角形属于等腰三角形C．不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形D．一个三角形有两个锐角，则一定是锐角三角形2．(2015·白银中考)△ABC的三边长分别为a、b、c，且(a＋b－c)(a－c)＝0，那么△ABC为(C)A．不等边三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．锐角三角形知识模块三探究三角形的三边关系探究：画出一个△ABC，假设有一只小虫要从B点出发，沿三角形的边爬到C，它有几种路线可以选择？各条路线的长一样吗？教师提出问题，学生先画图然后进行讨论，并思考问题，然后教师指定学生回答问题．1．小虫从B出发沿三角形的边爬到C有如下几条路线．a．从B→Cb．从B→A→C2．从B→C路线短．然后教师进一步提出问题：这条路径为什么是最短的？学生举手回答：“两点之间，线段最短．”然后师生共同归纳得出：AC＋BCABAB＋ACBCAB＋BCAC即：三角形的两边之和大于第三边．教师出示教材P3例题．分析：(1)“用一条长18cm的绳围成一个等腰三角形”这句话有什么含义．(2)有一边长为4cm，是什么意思，哪一边的长度是4cm?师生共同完成分析以后，教师给出规范的解答过程．课题：三角形的高、中线与角平分线【学习目标】1．掌握三角形的高、中线、重心与角平分线．2．准确画出三角形的高、中线与角平分线．【学习重点】三角形的高、中线与角平分线的特征．【学习难点】三角形的高、中线与角平分线的应用．一、情景导入生成问题旧知回顾：3问题1：图中共有多少个三角形？请将它们全部用符号表示出来．答：图中共有5个三角形．分别是：△ABC、△ABD、△ACD、△ADE、△CDE.问题2：利用长为2cm、3cm、4cm、5cm的四条线段可以组成几个三角形？为什么？答：可以组成3个三角形．从四条线段中任选三条组成三角形，共有四种选法：①2，3，4，②3，4，5，③2，3，5，④2，4，5，其中，满足“三角形两边之和大于第三边”的只有第①、②、④这三组．二、自学互研生成能力知识模块一三角形的高(一)自主学习阅读教材P4标题11.1.2下第1段话，完成下面的内容：1．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D是垂足，AD是△ABC的一条高．2．准备一个锐角三角形的纸片．你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗？这三条高分别位于三角形的什么位置？三角形的边上？内部？外部？(二)合作探究如果用直角三角形和钝角三角形纸片，你能通过折或画的方法找到它的高吗？它们又分别位于三角形的什么位置？归纳：锐角三角形的高都在三角形的内部；钝角三角形的高中有两条在三角形的外部；直角三角形的高有两条恰好是三角形的两条直角边．练习：已知直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，AC＝10，则AC边上的高为4.8．知识模块二三角形的中线(一)自主学习阅读教材P4标题11.1.2下第2段话～P5第1段话，完成下面的内容：归纳：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．(二)合作探究例：如图所示，AD是△ABC中BC边上的中线，已知△ABC的面积为20cm2，则△ACD的面积是10cm2．变例：你能将△ABC分为面积相等的两个三角形吗？解：根据三角形的面积公式，两个三角形高相等的话只需要底边相等即可，所以连接三角形一边4的中线，就能将三角形分成面积相等的两部分．知识模块三三角形的角平分线(一)自主学习阅读教材P5练习前的最后一段话，完成下面的内容：问题：准备一个三角形纸片ABC，按图所示的方法折叠，展开后，折痕BD把∠ABC分成∠1和∠2两部分．观察∠1和∠2有什么关系？线段BD又属于△ABC的什么线呢？归纳：三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．(二)合作探究如图所示，△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AF平分∠BAC，且∠BAF＝40°，AE＝5cm，AF＝4cm，AD＝3cm，BE＝3cm.求：(1)∠BAC的度数．(2)BC的长及△ABC的面积．解：(1)∵AF平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAF，又∵∠BAF＝40°，∴∠BAC＝2×40°＝80°.(2)∵AE是BC边上的中线，∴BC＝2BE，又∵BE＝3cm，∴BC＝2×3＝6cm，又∵AD⊥BC，且AD＝3cm，∴△ABC的面积为12BC·AD＝12×6×3＝9cm2.课题：三角形的稳定性【学习目标】1．让学生知道三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．2．让学生理解三角形的稳定性和四边形的不稳定性．【学习重点】了解三角形的稳定性在生产、生活中的实际应用．【学习难点】准确使用三角形的稳定性于生产、生活之中．一、情景导入生成问题换灯片展示屋顶钢架图及窗框未安装好之前图．思考：为什么要这样做呢？二、自学互研生成能力知识模块三角形的稳定性(一)自主学习阅读教材P6“探究”～P7，完成下面的内容：51．如教材P6图11.1－7(1)将三根木条用钉子钉成一个三边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？答：不改变，这说明三角形具有稳定性．2．如教材P6图11.1－7(2)，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？答：改变，这说明四边形没有稳定性．3．如教材P6图11.1－7(3)，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？你从这个例子知道怎样防止四边形的不稳定性？答：不改变．我们可以通过将四边形变成三角形来防止四边形的不稳定性．归纳：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性．(二)合作探究1．下列图形中，不具有稳定性的是(B)2．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是(A)A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短3．工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常像图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的稳定性．4．如图所示，小东家有一个由六根钢管连接而成的钢架ABCDEF，为了使这一钢架稳固，他计划在钢架的内部用三根钢管连接使它不变形，请你帮小东画图解决这个问题．(用三种不同的方法)5．如图，说说哪些应用了三角形的稳定性，哪些应用了四边形的不稳定性．解：应用了三角形稳定性的有：钢架桥、起重机、屋顶钢架；应用了四边形不稳定性的有：活动6滑门．课题：三角形的内角【学习目标】1．探索并掌握三角形内角和定理．2．学会运用三角形内角和定理．3．了解直角三角形两个锐角的关系．4．掌握直角三角形的判定．【学习重点】1．三角形内角和定理．2．直角三角形两个锐角的关系及直角三角形的判定．【学习难点】三角形内角和定理的推导过程．一、情景导入生成问题1．回答：三角形的内角和可能是多少度？2．在直角△ABC中，∠C＝90°，则∠A与∠B的关系是∠A＋∠B＝90°．3．三角形的三个内角之比为1∶3∶5，那么这个三角形的最大内角为100°．4．三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°建立方程来解决．本节课我们一起学习有关三角形内角和的有关知识．二、自学互研生成能力知识模块一三角形内角和定理(一)自主学习阅读教材P11～P12“三角形内角和定理……”之前部分，看图，完成下面的内容：71．在任意一个三角形中，将其三个内角剪下来，进行拼接，即∠B＝∠B′，∠C′＝∠C，∠A＋∠B′＋∠C′构成一个平角，即可以猜想三角形的三个内角之和为180°.2．由上述拼接过程，我们可以发现∠B与∠B′，∠C与∠C′都分别是平行线中的内错角，由此我们可以利用平行线的性质和平角的定义证明“三角形的内角和等于180°”．归纳：三角形的内角和等于180°．(二)合作探究已知：△ABC(如图)．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证明：如图，过点A作直线l，使l∥BC.∵l∥BC，∴∠2＝∠4(两直线平行，内错角相等)．同理∠3＝∠5.∵∠1，∠4，∠5组成平角，∴∠1＋∠4＋∠5＝180°(平角定义)．∴∠1＋∠2＋∠3＝180°(等量代换)．你还能想出其他解法吗？也可以在三角形的一边上任取一点，然后过这一点分别作另外两边的平行线，这样也可证出定理．证明：如图，在BC上任取一点D，过点D分别作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F.∴∠BDF＝∠C(两直线平行，同位角相等)．∴∠EDC＝∠B(两直线平行，同位角相等)．∴∠EDF＝∠A(平行四边形的对角相等)．∵∠BDF＋∠EDF＋∠EDC＝180°(1平角＝180°)，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°(等量代换)．知识模块二三角形内角和定理的应用(一)自主学习阅读教材P13练习之前部分，回答下列问题：1．如图，从A处观测C处的仰角∠CAD＝30°，从B处观测C处的仰角∠CBD＝45°.从C处观测A，B两处的视角∠ACB是多少度？解：∠ACB是15°.8第1题图第2题图2．如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A＝150°，∠B＝∠D＝40°.求∠C的度数．解：∠C是130°.(二)合作探究1．教材P12例2是否还有其他方法解决该问题？答：过C点作AD，BE两条直线的平行线即可求解．2．如图是李师傅设计的一块模板，设计要求BA与CD的延长线相交成20°，DA与CB的延长线相交成40°，现测得∠B＝75°，∠C＝85°，∠D＝55°，能否判定模板是否合格，为什么？解：合格．∵180°－∠B－∠C＝180°－75°－85°＝20°，180°－∠D－∠C＝180°－55°－85°＝40°，∴满足BA与CD的延长线相交成20°，DA与CB的延长线相交成40°.知识模块三直角三角形两个锐角的关系(一)自主学习阅读教材P13，完成下面的内容：1．直角三角形的两个锐角有什么关系？2．直角三角形如何表示？(二)合作探究如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？解：在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED.∵∠AEC＝∠BED，∴∠CAE＝∠DBE.知识模块四直角三角形的判定(一)自主学习阅读教材P14，完成下面的内容：1．在一个三角形中，若有两个角互余，则这两个角之和为90°，由三角形内角和定理，第三个角的度数为：180°－90°＝90°，所以该三角形为直角