第九周周一数学の5-定积分在几何物理上的应用-广义积分#

Oyxxxxxxxabx设yf(x)0(x[a，b])．A(x)f(t)dtxaA(x)f(t)dt是以[a,x]为底的曲边梯形的面积．xaA=f(x)dx是以[a,b]为底的曲边梯形的面积．ba§5.4定积分在几何问题中的应用举例一、定积分的元素法曲边梯形面积A(x)的微分为dA(x)f(x)dx，点x处，高为f(x)、宽为dx的矩形的面积为：f(x)dx．Oyxx+dxabDAf(x)dx，且DAf(x)dxo(dx)．f(x)dx称为曲边梯形的面积元素．x以dx为宽的曲边梯形面积为：DA．dttfdxxx)(以[a，b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式，以[a，b]为积分区间的定积分：A(x)f(t)dtxaAf(x)dxba一般情况下，为求某一量U(不一定就是面积，即使是面积也不一定是曲边梯形的面积)，先将此量看成是某区间[a，b]上的函数U(x)，再求这一量在[a，b]上的元素dU(x)，设dU(x)u(x)dx，然后以u(x)dx为被积表达式，以[a，b]为积分区间求定积分即得用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法)．Uu(x)dx．ba注：量U的特点：1：与区间[a,b]有关；2：具有可加性。微元法的步骤：1：取积分变量并决定其变化区间[a,b]；2：在区间[a,b]上找一小区间[x,x+△x],得微元△U≈f(x)dx=dU，且△U－dU=o(dx)3:在区间[a,b]上相加(在[a,b]上做定积分)得().bbaaUdUfxdx主要思想：以直代曲；以不变代变。二、平面图形的面积Oyxaby=f上(x)y=f下(x)xx+dx求由曲线y=f上(x)、y=f下(x)及直线x=a、x=b所围成的图形的面积．面积元素为：所求图形的面积为：[f上(x)f下(x)]dx．A=[f上(x)f下(x)]dx．ba1.直角坐标的情形讨论：下图形的面积元素是什么？面积公式是什么？aby=f上(x)y=f下(x)OyxA1Oyxaby=f上(x)y=f下(x)A2Oxycdx=f左(y)x=f右(y)A3A1=A2=[f上(x)f下(x)]dx．ba3()()dcAfyfydy右左Oyxab求由曲线y=f上(x)、y=f下(x)及直线x=a、x=b所围成的图形的面积，也可以按如下方法求面积：所求的图形的面积可以看成是两个曲边梯形面积的差y=f上(x)y=f下(x)y=f下(x)A=f上(x)dxbaf下(x)]dx．ba例1计算由两条抛物线：y2x、yx2所围成的图形的面积．解在区间[0,1]上过x点且垂直于x轴的直线左侧的面积记为A(x)，于是面积元素为得所求的图形面积以[0,1]为积分区间求定积分011xyxx+dx直线平移dx后所产生的面积的改变量近似为A(x)y2xyx2DA(x2)dx，x以(x2)dx为被积表达式，xdA=(x2)dx，xA10(xx2)dx[32x3/231x310]31．A10(xx2)dx[32x3/231x310]31．例2计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积．解02468x42-2y2=2xy=x4(8,4)(2,-2)例2计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积．解求两曲线的交点得：(2，2)，(8，4)．将图形向y轴投影得区间[2，4]．A(y)为区间[2，4]上过y点且垂直于y轴的直线下侧的面积．直线平移dy后所产生的面积的改变量近似为于是面积元素为所求的图形面积为DA(y4y2)dy，21dA=(y4y2)dy，21A42(y421y2)dy[21y24y61y342]18．A42(y421y2)dy[21y24y61y342]18．02468x42-2y2=2xy=x4(8,4)(2,-2)解设椭圆在第一象限的面积为A1，则椭圆的面积为A4A1．第一象限的部分椭圆在x轴上的投影区间为[0，a]．因为面积元素为ydx，于是A4A1ab．椭圆的参数方程为:ybsint，xacost，yxO12222byaxabydx所以a0A1ydx，A1a0ydx02bsintd(acost)ab02sin2tdtA1a0ydx02bsintd(acost)ab02sin2tdtA1a0ydx02bsintd(acost)ab02sin2tdt21ab20(1cos2t)dt21ab·241ab．21ab20(1cos2t)dt21ab·241ab．例3求椭圆12222byax所围成的图形面积．2.极坐标的情形•曲边扇形及曲边扇形的面积元素：由曲线r()及射线，围成的图形称为曲边扇形．•曲边扇形的面积为xOr()+d•曲边扇形的面积元素：dA[()]2d．2121A[()]2d．例4计算阿基米德螺线ra(a0)上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积．解Ox2arad2021A[a]2da2[3a23．3120]34dA=21[a]2dA2021[a(1cos)]2d例5计算心形线ra(1cos)(a0)所围成的图形的面积．解Oxra(1cos)2addA=21[a(1cos)]2da2[232sin41sin20]23a2．a20(212cos21cos2)d三、体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．常见的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球体．1.旋转体的体积旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体．Oxbayyf(x)aOxbyyf(x)设过区间[a，b]内点x且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V(x)，旋转体的体积为dV[f(x)]2dx，于是体积元素为DV[f(x)]2dx，当平面右平移dx后，体积的增量近似为V(x)dxf(x)V[f(x)]2dx．bax例1连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线xh及x轴围成一个直角三角形．将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体．计算这圆锥体的体积．体积元素为解过原点O及点P(h，r)的直线方程为．xhrydV()2dxxhrhrxyOxhry所求圆锥体的体积为V()2dxxhrh0[x3hr2．h0]22hr3131及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体．旋转体(旋转椭球体)的体积．体积元素为于是所求旋转椭球体的体积为abxyOdVy2dx，例2计算由椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的12222byax解这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆22xaabyVy2dxaa(a2x2)dxaa22ab[a2xx322ab31aa]ab2．34ab22xaaby课堂练习：求y=sinx在x=π/2处的切线及x=π所围图像绕x轴旋转而成的旋转体的体积。2221sin2xdx221cos222xdx2222442xy1oV解：2.平行截面面积为已知的立体的体积设立体在x轴的投影区间为[a，b]，xyObadx则体积元素为A(x)dx，立体的体积为面与立体相截，已知截面面积为A(x)，VA(x)dx．baA(x)过点x且垂直于x轴的平x例4一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角．计算这平面截圆柱所得立体的体积．解取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴，底面上过圆中心且垂直于x轴的直线为y轴．那么底圆的方程为x2y2R2．于是所求的立体体积为yxORRx2y2R2截面积为A(x)(R2x2)tana，21V(R2x2)tanadx21RRtana[R2xx3RR]2131R3tana．3222xRtana22xR四、平面曲线的弧长定理光滑曲线弧是可求长的．设A，B是曲线弧的两个端点．在弧AB上任取分点)AM0，M1，M2，···，Mi1，Mi，···，Mn1，MnB，并依次连接相邻的分点得一内接折线．当分点的数目无限增加极限存在，且每个小段Mi1Mi都缩向一点时，是可求长的．则称此极限为曲线弧AB的弧长，M0MnABM1M2Mn1如果此折线的长|Mi1Mi|的ni1)并称此曲线弧AB1.直角坐标的情形设曲线弧由直角坐标方程yf(x)(axb)给出，其中f(x)在区间[a，b]上具有一阶连续导数．曲线yf(x)上相应于x点的弧长增量近似为，弧长元素(即弧微分)为已知曲线的弧长为DsMxdxdyMx+dxDsM0x0xyOyf(x)22)()(dydxdxy21，ds，dxy21s．badxy21讨论：(2)设曲线弧由极坐标方程r=r()()给出，其中r()在[，]上具有连续导数，问弧长元素ds和弧长s各是什么？(1)设曲线弧由参数方程(t)、(t)在[，]上具有连续导数，问弧长元素ds和弧长s各是什么？(t)给出，其中)(),(tytx设曲线弧由直角坐标方程yf(x)(axb)给出，其中f(x)在区间[a，b]上具有一阶连续导数，则ds，dxy21s．badxy21解因此，所求弧长为yx1/2，从而弧长元素例1计算曲线上相应于x从a到b的一段弧的长度．2/332xydsdxy21dxx22/1)(1，dxx1sdxxba1bax2/3)1(32，])1()1[(322/32/3ab解从而弧长元素为ds因此，所求弧长为s长度．xyO-bbccxcych例2计算悬链线上介于xb与xb之间一段弧的cxcychycxsh，dxcx2sh1．dxcxchbbdxcxchbdxcx0ch2bcxc0]ch[2．cbcsh2课堂练习ln38yxx求曲线对应于的一段弧长？解：1,yx28311sdxx2831xdxx2221,1,1txtxtdxdtt令322211ttsdttt23322211131ln1ln.12122ttdttt2.参数曲线的情形设曲线弧由参数方程其中(t)、(t)在[，]上具有连续导数．如图dx(t)dt，所以弧长元素为所求弧长为(t))(),(tytxdxdy因为)()(tt，(t)dtds)()(122tt，dttt)()(22s．tdtt)()(22dxydyMNPO解所求弧长为8a．a2a2axyO弧长元素为x()a(1cos)，y()asin．例3计算摆线的一拱(02)的长度．)cos1(),sin(ayaxdsdyx)()(22daa2222sin)cos1(．da2sin2s202sin2da20]2cos2[2a3.极坐标的情形设曲线弧由极坐标方程给出，其中r()在[，]上具有连续导数．由直角坐标与极坐标的关系可得r=r()()于是得弧长元素为从而所求弧长为,sin)(,cos)(ryrxds，drr)()(22s．drr)()(22解ds于是所求弧长为例4求阿基米德螺