函数的单调性与导数--公开课

1.3.1函数的单调性与导数（第1课时）高二数学一、新课导入------复旧知新1.函数的单调性是怎样定义的？2.怎样用定义判断函数的单调性？一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数;当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数;如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性。区间D叫做函数的单调区间。（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论下图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=-9.8t+6.5的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?hOabt(1)Ovt(2)ab二、讲授新课------导入新课①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,v(t)=h'(t)0.②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,v(t)=h'(t)0.O(1)abhtOvtab(2)通过观察图像，我们可以发现：观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.二、讲授新课-----问题探究yxy=xoyxo（2）（1）y=x2xyo（3）y=x3（4）xyoxy1二、讲授新课-----问题探究yxoy=f(x)一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a,b)内,如果f'(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减；(x0，f(x0))(x1，f(x1))特别地，如果在某个区间内恒有f'(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间内是常数函数.例1.已知导函数f'(x)的下列信息:当1x4时,f'(x)0；当x4,或x1时,f'(x)0；当x=4,或x=1时,f'(x)=0。试画出函数f(x)的图象的大致形状.解:当1x4时,f'(x)0,可知f(x)在此区间内单调递增;当x4,或x1时,f'(x)0,可知f(x)在此区间内单调递减;当x=4,或x=1时,f'(x)=0.(这两点比较特殊，我们称他们为“临界点”)综上,函数f(x)图象的大致形状如右图所示.xyO14二、讲授新课-----牛刀小试二、讲授新课-----牛刀小试xyo12xyo12xyo12xyo12xyo'()yfx2练习.设导函数y=f'(x)的图象如图，则其原函数可能为()(A)(B)(C)(D)Cy=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)二、讲授新课-----典例精讲例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:(1)f(x)=x3+3x(2)f(x)=x2-2lnx例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:二、讲授新课-----典例精讲解：(1)f(x)=x3+3x(2)f(x)=x2-2lnx（1）f'(x)=x3+3x=3(x2+1)0所以函数f(x)=x3+3x在R上单调递增。所以函数f(x)=x3+3x的单调增区间为R。二、讲授新课-----典例精讲例3.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:(1)f(x)=x2-2x-3,(2)f(x)=x2－2lnx解：22'2222(1)2(1)(1)()2xxxxfxxxxxx(2)函数f(x)=x2－2lnx定义域为,0当f'(x)0,即x1时，函数f(x)=x2－2lnx单调递增；当f'(x)0,即0x1时，函数f(x)=x2－2lnx单调递减；所以函数f(x)=x2－2lnx的单调增区间为，单调减区间为（0，1）),1(三、问题总结利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x);(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)0和f'(x)0;(4)根据(3)的结果确认f(x)的单调区间。四、巩固练习f'(x)=3x-x3=3-3x2=-3(x2-1)=-3(x-1)(x+1)当f'(x)0,即-1x1时，函数f(x)=3x-x3单调递增；当f'(x)0,即x1或x-1时，函数f(x)=3x-x3单调递减；所以函数f(x)=3x-x3的单调增区间为（-1，1），单调减区间为和(1,),1判断函数f(x)=3x-x3的单调性,并求出单调区间:解：五、课堂小结在某个区间(a,b)内,如果f'(x)0,那么函数在这个区间内单调递增；如果f'(x)0,那么函数在这个区间内单调递减；2.利用导函数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x);(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)0和f'(x)0;(4)根据(3)的结果确认f(x)的单调区间。1.函数的单调性与导函数的正负的关系：六、布置作业作业：课本P26页：练习第1题练习册：课时作业（7）谢谢指导