函数的极值与导数

1.3.2函数的极值与导数目标引领：1、利用上节课导数的单调性作铺垫,借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值.2、感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习体会极值是函数的局部性质，增强数形结合的思维意识。aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf复习回顾：1.函数的单调性与导数的关系：一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在这个区间内f/（x）0,那么函数y=f(x)为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f/（x）0,那么函数y=f(x)为这个区间内的减函数.2.求函数单调性的一般步骤①求函数的定义域;②求函数的导数f/（x）;③解不等式f/（x）0得f(x)的单调递增区间;解不等式f/（x）0得f(x)的单调递减区间.3、已知函数f(x)=2x3-6x2+7，求f(x)的单调区间,并画出其图象;复习回顾：观察画出的图象，回答下面问题：问题1：在点x=0附近的图象有什么特点？问题2：函数在x=0处的函数值和附近函数值之间有什么关系？问题3：在点x=0附近的导数符号有何变化规律？问题4：函数在x=0处的导数是多少？x=0x0x0单调递增f’(x)0单调递减f’(x)0f’(0)＝0xf’(x)+0-f(x)极大值点f(0)极大值单调递增单调递减分析讨论：函数在x=0附近的变化规律：你能尝试给出极大值的定义吗？f(x)【函数极大值的定义】设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义若x0满足1.f/(x)=0.2.在x0的两侧的导数异号,满足“左正右负”,oax0bxy0)(0xf0)(xf0)(xf你能尝试给出函数在x=2处的结论吗？x2x2x=2x2x2x=2f’(x)+0-f(x)单调递增f(2)单调递减极小值点极小值你能尝试给出极大值的定义吗？【函数极小值的定义】设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义若x0满足1.f/(x)=0.2.在x0的两侧的导数异号,满足“左负右正”,oaX0bxy0)(0xf0)(xf0)(xf极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.思考3、观察图1.3.10，回答以下问题：问题1：找出图中的极值点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？问题2：极大值一定大于极小值吗？问题3：函数在其定义域内的极大值和极小值具有唯一性吗？问题4：区间的端点能成为极值点吗？问题5：极值是相对于函数的定义域而言的吗？(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;【关于极值概念的几点说明】(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。例1.（1）下图是函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？（2）如果把函数图象改为导函数的图象，哪些是极大值点,哪些是极小值点?xyOf(x)x3f(x)=3x2当f(x)=0时，x=0，而x=0不是该函数的极值点.f(x0)=0x0是可导函数f(x)的极值点x0左右侧导数异号x0是函数f(x)的极值点f(x0)=0注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件思考4：导数为0的点一定是极值点吗？能举例说明吗？导数为0是可导函数在此处取极值点的什么条件？例、求函数的极值．4431)(3xxxf例题讲解解：)2)(2(42xxxy当x变化时，的变化情况如下表：yy,+0—0+极大值y2(-2,2)-2xy)2,(),2(32834极小值令，解得2,221xx0y当时，y有极大值，并且2x328极大值y当时，y有极小值，并且2x34极小值y（1）求导数f/(x)；（2）解方程f/(x)=0（3）通过列表检查f/(x)在方程f/(x)=0的根的左右两侧的符号，进而确定函数的极值点与极值.【求函数极值的步骤】1yxxxX-1-1(-1,0)（0，1）1X1+0--0+'()fx()fx所以，当x=-1是，函数的极大值是-2，当x=1时，函数的极小值是21,0xxx解：f(x)=所以导函数的正负是交替出现的吗？不是22211'()1xfxxx，'()01fxx时，x当变化时，f'(x),f(x)变化如下表极大值极小值求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况若f’(x０)左正右负，则f(x０)为极大值；若f’(x０)左负右正，则f(x０)为极小值+-x0-+x0求导—求极点—列表—求极值注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。练习1.判断下面4个命题，其中是真命题序号为。①可导函数必有极值；②可导函数在极值点的导数一定等于零；③函数的极小值一定小于极大值（设极小值、极大值都存在）；④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。②3xy如