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激光原理及应用第三版1思考练习题11．试计算连续功率均为1W的两光源，分别发射＝0.5000mm，=3000MHz的光，每秒从上能级跃迁到下能级的粒子数各为多少？答：粒子数分别为：2．热平衡时，原子能级E2的数密度为n2，下能级E1的数密度为n1，设，求：(1)当原子跃迁时相应频率为＝3000MHz，T＝300K时n2/n1为若干。(2)若原子跃迁时发光波长＝1m，n2/n1＝0.1时，则温度T为多高？答：（1）则有：（2）3．已知氢原子第一激发态(E2)与基态(E1)之间能量差为1.64×l0－18J，设火焰(T＝2700K)中含有1020个氢原子。设原子按玻尔兹曼分布，且4g1＝g2。求：(1)能级E2上的原子数n2为多少？(2)设火焰中每秒发射的光子数为l08n2，求光的功率为多少瓦？答：（1）且可求出（2）功率＝4．(1)普通光源发射＝0.6000mm波长时，如受激辐射与自发辐射光功率体密度之比，求此时单色能量密度为若干？(2)在He—Ne激光器中若，为0.6328mm，设＝1，求为若干？答：（1）激光原理及应用第三版2（2）5．在红宝石Q调制激光器中，有可能将全部Cr3＋(铬离子)激发到激光上能级并产生巨脉冲。设红宝石直径0.8cm，长8cm，铬离子浓度为2×1018cm－3，巨脉冲宽度为10ns。求：(1)输出0.6943mm激光的最大能量和脉冲平均功率；(2)如上能级的寿命＝10－2s，问自发辐射功率为多少瓦？答：（1）最大能量脉冲平均功率＝（2）6．试证单色能量密度公式，用波长来表示应为证明：7.试证明，黑体辐射能量密度为极大值的频率由关系给出，并求出辐射能量密度为极大值的波长与的关系。答：（1）由可得：令，则上式可简化为：激光原理及应用第三版3解上面的方程可得：即：（2）辐射能量密度为极大值的波长与的关系仍为8．由归一化条化证明(1－65a)式中的比例常数证明：，由归一化条件且是极大的正数可得：9．试证明：自发辐射的平均寿命，为自发辐射系数。证明：自发辐射时在上能级上的粒子数按（1-26）式变化：自发辐射的平均寿命可定义为式中为时刻跃迁的原子已在上能级上停留时间间隔产生的总时间，因此上述广义积分为所有原子在激发态能级停留总时间，再按照激发态能级上原子总数平均，就得到自发辐射的平均寿命。将（1-26）式代入积分即可得出激光原理及应用第三版410．光的多普勒效应中，若光源相对接收器的速度为，证明接收器接收到的频率，在一级近似下为：证明：即证11．静止氖原子的3S2®2P4谱线的中心波长为0.6328mm，设氖原子分别以±0.1c,±0.5c的速度向着接收器运动，问接收到的频率各为多少？答：同理可求：；；12．设氖原子静止时发出0.6328mm红光的中心频率为4.74×1014Hz，室温下氖原子的平均速率设为560m/s。求此时接收器接收频率与中心频率相差若干？答：13．(1)一质地均匀的材料对光的吸收为0.01mm-1、光通过10cm长的该材料后，出射光强为入射光强的百分之几?(2)—光束通过长度为1m的均匀激活的工作物质，如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。答；（1）（2）激光原理及应用第三版5思考练习题21.利用下列数据，估算红宝石的光增益系数n2－n1＝5´1018cm-3，1/f(n)＝2×1011s-1，＝3´10-3s，λ＝0.6943mm，＝l.5，g1＝g2。答：2.He-Ne激光器中，Ne原子数密度n0＝n1+n2＝l012cm-3，1/f(n)＝15×109s-1，λ＝0.6328mm，＝10-17s，g3＝3，g2＝5，,又知E2、E1能级数密度之比为4，求此介质的增益系数G值。答：3.(a)要制作一个腔长L＝60cm的对称稳定腔，反射镜的曲率半径取值范围如何？(b)稳定腔的一块反射镜的曲率半径R1＝4L，求另一面镜的曲率半径取值范围。答：（a）；（b）4.稳定谐振腔的两块反射镜，其曲率半径分别为R1＝40cm，R2＝100cm，求腔长L的取值范围。答：5.试证非均匀增宽型介质中心频率处的小讯号增益系数的表达式(2-28)。激光原理及应用第三版6证明：即证。6.推导均匀增宽型介质，在光强I，频率为n的光波作用下，增益系数的表达式(2-19)。证明：而：依据上面两式可得：；即证。7.设均匀增宽型介质的小讯号增益曲线的宽度为，求证，I＝IS时的稳定工作时讯号增益曲线的线宽为，并说明其物理意义。证明：（1）当时，增益系数的最大值为：；当增益系数的最大值为增益系数的最大值的一半时，即激光原理及应用第三版7时，对应有两个频率为：（2）物理意义：当光强时，介质只在范围内对光波有增益作用，在此范围外增益可忽略不计，而光波也只在这个线宽范围内对介质有增益饱和作用。8.研究激光介质增益时，常用到“受激发射截面”(cm2)概念，它与增益系数(cm－1)的关系是，为反转粒子数密度，试证明：具有上能级寿命为，线型函数为的介质的受激发射截面为。证明：9.饱和光强是激光介质的一个重要参数。证明均匀增宽介质在中心频率处的饱和光强，并计算均匀增宽介质染料若丹明6G在＝0.5950mm处的饱和光强。(已知t＝5.5×l0—9s，＝4.66×1013Hz，＝1.36)答：(1)(2)激光原理及应用第三版810.实验测得He-Ne激光器以波长＝0.6328m工作时的小讯号增益系数为G0＝3´10－4/d(cm-1)，d为腔内毛细管内径(cm)。以非均匀增宽计算腔内光强I＝50W／cm2的增益系数G(设饱和光强Is＝30W／cm2时，d＝1mm)，并问这时为保持振荡稳定，两反射镜的反射率(设r1＝r2，腔长0.1m)最小为多少(除透射损耗外，腔内其它损耗的损耗率＝9´10－4cm-1)?又设光斑面积A＝0.11mm2，透射系数＝0.008，镜面一端输出，求这时输出功率为多少毫瓦。答：（1）（2）（3）11.求He-Ne激光的阈值反转粒子数密度。已知＝6328Å，1/f(n)＝109Hz，＝1，设总损耗率为，相当于每一反射镜的等效反射率R＝l－L＝98.33％，＝10—7s，腔长L＝0.1m。答：12.红宝石激光器是一个三能级系统，设Cr3＋的n0＝1019／cm3，t21=3´10-3s，今以波长λ＝0.5100mm的光泵激励。试估算单位体积的阈值抽运功率。答：13.YAG激光器为四能级系统。已知＝1.8×1016cm－3，t32＝2.3´10-4s。如以波长0.75mm的光泵激励。求单位体积的阈值功率并与上题比较红宝石的阈值功率是它的几倍。激光原理及应用第三版9答：(1)(2)倍数＝65/2.1=31激光原理及应用第三版10思考练习题31．腔长为0.5m的氩离子激光器，发射中心频率＝5.85´l014Hz，荧光线宽＝6´l08Hz，问它可能存在几个纵模?相应的q值为多少？(设=1)答：，，则可能存在的纵模数有2+1=3个，它们对应的q值分别为：，q＋1=1950001，q－1＝19499992．He—Ne激光器的中心频率＝4.74×1014Hz，荧光线宽＝1.5´l09Hz。今腔长L＝lm，问可能输出的纵模数为若干？为获得单纵模输出，腔长最长为多少？(设=1)答：，即可能输出的纵模数为10+1=11个，要想获得单纵模输出，则：故腔长最长不得大于。3．（1）试求出方形镜对称共焦腔镜面上模的节线位置的表达式(腔长L、光波波长l、方形镜边长a)（2）这些节线是否等间距？答：（1）（2）这些节距是等间距的4．连续工作的CO2激光器输出功率为50W，聚焦后的基模有效截面直径＝50mm，计算(1)每平方厘米平均功率(50W为有效截面内的功率)(2)试与氩弧焊设备(104W／cm2)及氧乙炔焰(103W／cm2)比较，分别为它们的多少倍？答：（1）每平方厘米的平均功率为：激光原理及应用第三版11（2）；是氩弧焊的倍。；是氧乙炔焰的倍。5．(a)计算腔长为1m的共焦腔基横模的远场发散角，设λ＝632.8nm，10km处的光斑面积多大。(b)有一普通探照灯，设发散角为2°，则1km远处的光斑面积多大？答：（1）基横模的远场发散角（2）10km处的光斑尺寸10km处的光斑面积（3）1km处的光斑尺寸1km处的光斑面积6．激光的远场发散角(半角)还受到衍射效应的限制。它不能小于激光通过输出孔时的衍射极限角(半角)＝1.22λ/d。在实际应用中远场发散角常用爱里斑衍射极限角来近似。试计算腔长为30cm的氦氖激光器，所发波长λ＝6328Å的远场发散角和以放电管直径d＝2mm为输出孔的衍射极限角。答：（1）远场发散角（2）衍射极限角7．一共焦腔(对称)L＝0.40m，λ＝0.6328mm，束腰半径，求离腰56cm处的光束有效截面半径。答：8．试讨论非共焦腔谐振频率的简并性、纵模间隔及横模间隔，并与共焦腔进行比较。答：非共焦腔的谐振频率表达式为：激光原理及应用第三版121）简并性：对于纵模来说非共焦腔的谐振频率一般不具有简并性，除非时才出现纵模的简并；如果纵模序数一定，不同的横模可以存在一定的简并，只要m＋n不变，谐振频率就相同。2）纵模间隔：，与共焦腔是一致的；3）横模间隔：，不仅与腔长有关，还与介质的折射率、镜面的曲率半径有关，这与共焦腔是不同的。9．考虑一用于氩离子激光器的稳定球面腔，波长λ＝0.5145mm，腔长L＝1m，腔镜曲率半径R1=1.5m，R2=4m。试计算光腰尺寸和位置，两镜面上的光斑尺寸，并画出等效共焦腔的位置。答：（1）束腰半径（2）束腰位置m；（3）两镜面上的光斑尺寸分别为：（4）10．欲设计一对称光学谐振腔，波长λ＝10.6mm，两反射镜间距L＝2m，如选择凹面镜曲率半径R=L，试求镜面上光斑尺寸。若保持L不变，选择，并使镜面上的光斑尺寸＝0.3cm，问此时镜的曲率半径和腔中心光斑尺寸多大？答：（1）镜面光斑尺寸（此时可把它看作对称共焦腔）：（2）此时不能当作对称共焦腔，但是仍然是对称光学谐振腔，只是，根激光原理及应用第三版13据（3-50）式可得镜面光斑尺寸为（舍去一个与L近似相等的解）：（3）11．试从（3－81）式出发，证明非均匀增宽激光器最佳输出功率若用最佳透射率表示有：。证明：由（3-82）有：整理上式可得：，式中t即为最佳透射率tm则最佳输出功率12．考虑如图（3－18）所示的He-Ne激光器，设谐振腔的腔镜为圆形镜。试求TEM00和TEM10模之间的频率差。假定TEM00q模的单程衍射损耗δ000.1%，试问：维持该激光器振荡的最小增益系数为多大？激光原理及应用第三版14图（3－18）习题三第12题答：1）因为，因此该谐振腔为稳定腔；圆形镜一般稳定球面腔的谐振频率为：（此公式有误），应为：(课本P63，3-54式)所以TEM00与TEM10之间的频率差为：2）考虑激光器的内部损耗完全由单程衍射损耗造成，由（2-36）式有：激光原理及应用第三版15思考练习题41．腔长30cm的氦氖激光器荧光线宽为1500MHz，可能出现三个纵模。用三反射镜法选取单纵模，问短耦合腔腔长()应为若干。答：；2．He-Ne激光器辐射632.8nm光波，其方形镜对称共焦腔，腔长L＝0.2m。腔内同时存在，，横模。若在腔内接近镜面处加小孔光阑选取横模，试问：(1)如只使模振荡，光阑孔径应多大？(2)如同时使，模振荡而抑制振荡，光阑孔径应多大？答：(1)TEM00模在镜面处的光斑半径为所以光阑孔径应该为0.2mm(2)TEM11模在镜面处的光斑半径为所以光阑孔径为0.35mm3．一高斯光束束腰半径＝0.2mm，＝0.6328m，今用一焦距f为3cm的短焦距透镜聚焦，已知腰粗离透镜的距离为60cm，在几何光学近似下求聚焦后光束腰粗。答：4．已知波长＝0.6328m的两高斯光束的束腰半径，分别为0.2mm，50m，试问此二光束的远场发散角分别为多少？后者是前者的几倍？答：；5．用如图（4－33）所示的倒置望远镜系统改善由对称共焦腔输出的光束方向性。已知二透镜的焦距分别为f1＝2.5cm，f2＝20cm，＝0.28m