研究生矩阵论课后习题答案(全)习题一

习题一1．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间：（1）设A是n阶实数矩阵.A的实系数多项式()fA的全体，对于矩阵的加法和数乘；（2）平面上不平行于某一向量所组成的集合，对于向量的加法和数与向量的乘法；（3）全体实数的二元数列，对于如下定义的加法⊕和数乘o运算：),,(),(),(acdbcadcba+++=⊕)2)1(,(),(2akkkbkabak−+=o（4）设R+是一切正实数集合，定义如下加法和数乘运算：,kababkaa⊕==o其中,,abRkR+∈∈；（5）二阶常系数非齐次线性微分方程的解的集合，对于通常函数的加法和数乘；（6）设{}12sinsin2sin,,02kiVxxctctcktcRtπ==+++∈≤≤L，V中元素对于通常的加法与数乘，并证明：{}sin,sin2,,sinttktL是V的一个基，试确定ic的方法.解（1）是.令{}矩阵为是实系数多项式，nnxffV×=AA)()(1.由矩阵的加法和数乘运算知,),()(),()()(AAAAAdkfhgf==+其中k为实数，)(),(),(xdxhxf是实系数多项式.1V中含有A的零多项式，为1V的零元素.)(Af有负元1)(Vf∈−A.由于矩阵加法与数乘运算满足其它各条，故1V关于矩阵加法与数乘运算构成实数域上的线性空间.（2）否.例如以那个已知向量为对角线的任意平行四边形的两个邻边向量，它们的和不属于这个集合，因此此集合对向量的加法不封闭.（3）是.封闭性显然成立.下面证明此集合满足线性空间的八个要求.任取该集合中的三个元素，设为),(),,(),,(gfdcba===γβα,以及任意实数lk,,则有①αββα+=+++=⊕),(acdbca;②γγβα⊕+++=⊕⊕),()(acdbca))()(,)((fcagacdbfca+++++++=))()(),((fcacfgdbfca+++++++=)(),(γβαα⊕⊕=+++⊕=cffdfc;③存在(0,0),使得),()00,0()0,0(),(baababa=+++=⊕,即(0,0)为零元;④存在),(2baa−−,使得)0,0())()(,(),(),(22=−+−+−=−−⊕aababaabaaba,即),(2baa−−是),(ba的负元;⑤),()2)11(11,1(),(12baababa=−+=o⑥)2)1(,()),(()(2alllblakbalklk−+==oooooα))(2)1()2)1((),((22lakkalllbklak−+−+=αoo)(),()()2)1()(,(2klbaklaklklbklkla==−+=;⑦)2)1))((()(,)((),()()(2alklkblkalkbalklk−+++++=+=+ooα)))(()2)1(()2)1((,(22lakaalllbakkkblaka+−++−++=)2)1(,()2)1(,(22alllblaakkkbka−+⊕−+=ααoooolkbalbak++=+=),(),(;⑧),()(acdbcakk+++=⊕ooβα))(2)1()(),((2cakkacdbkbak+−++++=)))(()2)1(()2)1((,(22kckackkkdakkkbkbka+−++−++=)2)1(,()2)1(,(22ckkkdkcakkkbka−+⊕−+=)()(βαookk⊕=.（4）是.对任意a，b∈R+，有+∈=⊕Rabba；又对任意Rk∈和+∈Ra，有+∈=Raakko，即R+对所定义的加法与数乘运算封闭。下面来检验R+对于这两种运算满足线性空间的八条运算律：①abbaabba⊕===⊕②)()()()()(cbabcacabcabcba⊕⊕===⊕=⊕⊕③1是零元素：aaa=⋅=⊕11④a的负元素是1−a：111==⊕−−aaaa⑤aaa==11o⑥alkaaakalklkklloooo)()()(====⑦)()()(alakaaaaaalklklklkooo⊕=⊕===++⑧)()()()()(bkakbaababkbakkkkoooo⊕====⊕所以R+对这两种运算构成实数域R上的线性空间.（5）否.设{}0)(),()(012≠=+′+′′=xfxfyayayxyV，则该集合对函数的加法和数乘均不封闭.例如对任意的221221,,VyyVyy∉+∈.故不构成线性空间.（6）是.集合V对函数的加法和数乘显然封闭.零函数是V的零元素；对任意的ktctctcxksin2sinsin21+++=L，ktctctcxksin2sinsin21−−−−=−L是其负元素.由于函数的加法与数乘运算满足线性空间要求的其它各条，故集合V关于函数的加法与数乘构成实数域上的线性空间.为证明函数组sin,sin2,,sinttktL是V的一个基，由于V中的任意函数均可由该组函数表示，故只需证明sin,sin2,,sinttktL线性无关.设12sinsin2sin0kltltlkt+++=L，分别用sinit(1,2,,)ik=L乘以上式，并从0到2π求定积分，得22212000sinsinsin2sinsinsin0kltitdtltitdtlktitdtπππ+++=∫∫∫L，由于20sinsin0(,1,2,3,)mtntdtmnmnπ==≠∫L，20sinsin(1,2,3)mtntdtmnππ===∫L，故120klll====L，即sin,sin2,,sinttktL线性无关.设ktctctcxksin2sinsin21+++=L，则2222120000sinsinsinsin2sinsinsinkixitdtctitdtctitdtcktitdtcπππππ=+++=∫∫∫∫L,故201sinicxitdtππ=∫(1,2,,)ik=L.2．求下列线性空间的维数与一个基：（1）nnR×中全体对称（反对称、上三角）矩阵构成的实数域R上的空间；（2）第1题（4）中的空间；（3）实数域R上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间，其中2321001300,,,1200iωωωωωω⎡⎤−+⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎣⎦A解（1）设ijE是第i行第j列的元素为1而其余元素全为0的n阶方阵.①令,,iiijijjiijij=⎧=⎨+≠⎩EFEE，则ijF是对称矩阵，易证11122,,,,nFFFL2,,nFL,nnFL线性无关，且对任意n阶对称矩阵()ijnna×=A，其中ijjiaa=，有11nnijijija===∑∑AF，故11122,,,,nFFFL2,,nFL,nnFL是nnR×中全体对称矩阵所构成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是(1)2nn+.②令()ijijjiij=−GEE，则ijG是反对称矩阵，易证111232,,,,,,nnGGGGLL1,,nn−GL线性无关，且对任意的n阶反对称矩阵()ijnna×=A，有111nnijijijia−==+=∑∑AG，故111232,,,,,,nnGGGGLL1,,nn−GL是nnR×中全体反对称矩阵所构成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是(1)2nn−.③对任意n阶上三角矩阵()ijnna×=A，其中0()ijaij=，有1nnijijijia===∑∑AE，又111222,,,,,,,nnnnEEEEELLL均为上三角矩阵且线性无关，故它们是nnR×中全体上三角矩阵所构成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是(1)2nn+.（2）数1是该空间的零元素，于是非零元素2是线性无关的，且对于任一正实数a，有2log22log2aaa==o，即R+中任意元素均可由2线性表示，所以2是该空间的一组基，该空间的维数是1.事实上任意不等于1的正实数均可作为该空间的基.（3）因为2313,,12iωωωω−+===，故21,3,31(1,2,3),32nnmnmmnmωωω=⎧⎪==+=⎨⎪=+⎩L于是210000,00ωω⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A32,3,,31(1,2,3),32nnmnmmnm=⎧⎪===+=⎨⎪=+⎩EAEAAAL则任意()fA可以表示成2,,EAA的线性组合.又2,,EAA是线性无关的.实际上,设2123kkk++=EAAO,即123123123000kkkkkkkkkωωωω++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，因为关于123,,kkk的该方程组的系数行列式11113(1)01ωωωωωω=−≠，故方程组只有零解，即1230kkk===，于是2,,EAA线性无关，故2,,EAA是该空间的一组基，该空间的维数为3.3．设[]Px表示实数系数多项式全体构成的线性空间，问下列向量集合是否构成[]Px的子空间：（1）{}()(1)0pxp=；（2）{}()()pxpx的常数项为零；（3）{}()()()pxpxpx=−;（4）{}()()()pxpxpx=−−.解这四个向量集合都是[]Px的子空间.由于这些集合均包含零多项式，故非空，下面证明这些集合对多项式的加法和数乘是封闭的.(1)设{}1()(1)0Vpxp==，对任意的121(),(),pxpxVkR∈∈，由于12(1)(1)0pp==，故121(1)(1)0,(1)0ppkp+==，即12111()(),()pxpxVkpxV+∈∈，因此1V是[]Px的子空间.（2）设{}2()()Vpxpx=的常数项为零，对任意的122(),(),pxpxVkR∈∈，由于12(),()pxpx的常数项均为零，故12()()pxpx+和1()kpx的常数项也均为零，即12212()(),()pxpxVkpxV+∈∈，因此2V是[]Px的子空间.(3)设{}3()()()Vpxpxpx==−，对任意的123(),(),pxpxVkR∈∈，令121()()(),()()fxpxpxgxkpx=+=，由于1122()(),()()pxpxpxpx=−=−，故1212()()()()()(),fxpxpxpxpxfx=+=−+−=−11()()()()gxkpxkpxgx==−=−即33(),()fxVgxV∈∈，因此3V是[]Px的子空间.(4)设{}4()()()Vpxpxpx==−−，对任意的124(),(),pxpxVkR∈∈，令121()()(),()()fxpxpxgxkpx=+=，由于1122()(),()()pxpxpxpx=−−=−−，故1212()()()()()(),fxpxpxpxpxfx=+=−−−−=−−11()()()()gxkpxkpxgx==−−=−−即44(),()fxVgxV∈∈，因此4V是[]Px的子空间.4．证明下列向量集合组成线性子空间，并求基和维数：（1）第偶数个坐标为零的所有n维向量；（2）形如(,,,,)TababL的所有n维向量，其中,ab为任意数.解（1）该集合可表示为1122(,,,),0,1,2,,2niknVxxxxPxk⎧⎫⎡⎤=∈==⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭LL，显然该集合非空.又对任意的121121(,,,),(,,,)nnxxxVyyyVαβ=∈=∈LL，lP∈，由于,αβ的第偶数个坐标为零，故αβ+和lα的第偶数个坐标也均为零，即1,Vαβ+∈1lVα∈，因此1V是nP的线性子空间.当2nk=(1,2,)k=L时，1V中向量的一般形式为12(,0,,0,,,0)kxxxL，1V的维数是k，向量组12(1,0,0,0,,0,0),(0,0,1,0,,0,0),,(0,0,0,0,,1,0)keee===LLLLL是1V的一组基.当21nk=+(1,2,)k=L时，1V中向量的一般形式为121(,0,,0,,,0,)kkxxxx+L，1V的维数是1k+，向量组12(1,0,0,0,,0,0,0),(0,0,1,0,,0,0,0),ee==LLL，(0,0,0,0,,1,0,0),ke=L1(0,0,0,0,,0,0,1)ke+=L是1V的一组基.（2）该集合可表示为{}2(,,,,),TVabababP=∈L，显然该集合非空.又对任