极点极线的简单应用

极点极线的简单应用内容摘要：我们平时在做几何题时，经常可以看到一些十分类似的图形。在一个圆中，由圆外一点做他的两条切线，然后连接切点弦，再引出了一系列的问题。其实这些问题都与极点极线有关，极点与极线在几何中有着广泛的性质，如果我们把他的性质研究透彻，便可以很快的解出一些较难的几何题。关键词：极点极线调和点列完全四边形不知道大家在平时做题的时候有没有将题目分类的习惯，这样可以让我们能够对一些类似的题目的做法给出一些比较方便简洁的做法。让我们以后在遇到类似的问题的时候就可以比较迅速的找到突破口，这也是一种在学习数学中必不可少的方法。以下就是我和其他几位同学总结的有关于我们在解平面几何以及平时看书所得到一些东西，拿出来和大家交流一下，希望能够对其他人提供一些帮助。我们总结的的方法就是大家比较熟知但却比较难的一种解法——极点极线。一、定义我们平时在做几何题时，经常可以看到一些十分类似的图形。在一个圆中，由圆外一点做他的两条切线，然后连接切点弦，再引出了一系列的问题。如下面的这道题：如左图（1）所示，PS、PT与⊙O相切于S、T两点，PAB为圆的任意一条割线，交ST于M，求证：P、A、M、B四点成调和点列。解：设OP交ST于L。联结AL、AO、BL、BO，则由圆幂定理可知2PAPBPLPOPS⋅=⋅=ALBO∴四点共圆从而PLAOBAOABOLB∠∠∠∠＝＝＝即LP是ALB∠的外角平分线但是PL⊥LM，故LM是ALB∠的内角平分线。AMACAPMBLBPB∴==即PAMB是调和点列。（1）由于PAB的任意性，但是上面的证法利用了特殊的一条割线，不能十分充分的证明对于任意的PAB，他与ST的交点M，PABM成调和点列。于是我们寻找另外的方法。通过正弦定理与三角形的相似来证明上题：sinsinPAPSPSAAMSMAST⋅∠=⋅∠∵，sinsinPBPSPSABMSMBST⋅∠=⋅∠由正弦定理得PAPSASAMSMAT=⋅，PBPSSBBMSMBT=⋅PSAPBS∆∼∆∵PATPBT∆∼∆ASATSBBT∴=PAPBAMBM∴=由此看出上述的接论是成立的。于是我们把P点叫做ST直线关于圆O的极点，直线ST是P点关于的极线。上题只是P点在圆外的情况，实际上P点在圆内与圆上都是存在关于他的极线的。当P点在圆上时，P点的极线即是P点的切线。当P点在圆内时，我们也可以找到他的极线：如右图，过P点作任意两条割线AB，CD，P′，P′′分别为AB、CD的调和点，则对于任意的割线，P′P′′为固定直线，则P′P′′为P点关于圆O的极线。（2）下面证明P′P′′为固定直线。解：过OP做弦EF，在直线EF找到一点Q使得QFPE四点调和过Q做⊙O的两条切线QM、QN，运用同一法易证得MNP三点共线，且易证得AQPDQP∠=∠引理1111如下图，对线段AB的内分点C和外分点D，以及直线AB外的一点P，若PC是APB∠的平分线，且C、D调和分割AB，则PC⊥PB。可过点C作EF∥PD，交射线PA于点E，交射线于点F，ECACCBCFPDADBDPD===∵ECCF∴=从而知PC⊥EF，亦知PC⊥PB（3）由引理1得到OQQP′⊥与OQQP′′⊥从而得出PQP′′′三点共线，所以P′P′′为固定直线，即P点关于圆的极线。从而看出极点与极线在几何中有着广泛的性质，如果我们把他的性质研究透彻，便可以很快的解出一些较难的几何题。二、性质由上面的证明过程中，我们总结出性质1。性质1111P点与过P点作任意割线与圆和其关于圆的极线所交形成的三点为调和点列。在研究性质1的过程中，我们发现了关于极点与极线一个十分特殊的例子，六点共线。如图（4），连线ST为Q关于圆O的极线，任意作两条割线QAB、QCD分别交ST于H、J，联结AD、CB交于I，延长CA与DB交于P，则P、T、H、I、J、S六点共线。CCCCAAAABBBBDDDDPPPPFFFFEEEE（4）证明过程如下：由引理知AHAQBHBQ=，CJCQDJDQ=故AHBHAHBHABAQBQAQBQAQBQ+===++，CJDJCJDJCDCQDQCQDQCQDQ+===++211HQAHAQAQAQBQBQAHAHAHABAB++==+=+=211JQCJCQCQCQDQDQCJCJCJCDCD++==+=+=考察ACQ∆被直线PBD所截应用梅涅劳斯定理可知1CPABQDCPAHPABQDCPAHQ=⋅⋅=⋅QNCN⋅所以PHJ共线，从而STHJP五点共线。另一方面，联结PI，分别交QB、QD于H′、J′，由完全四边形的调和性可知，QAHB′为调和点列，QCJD′为调和点列，于是H与H′重合，J与J′重合，故HJP三点共线，所以得到S、T、H、J、I、P六点共线。为了研究极点与极线的其他性质，我们找到了一些特殊情况，试图在特殊情况中得出极点极线的某些普通的性质。我们试着在⊙O上取两点A、B，作他们的极线即圆的切线，而我们发现两条切线的交点P关于圆的极线恰好是AB的连线，如右图。由此我们猜想：两点连线的的极点为此二点极线的交点。于是我们尝试证明一般情况。如右图（5），作圆O，任取PQ两点，联结PQ，并作出他们的极线，交于H，证明H为PQ的极点，即证明OH⊥PQ。由上面的性质得到ABQ、PCD三点共线。易得到PO⊥AB，OQ⊥CD。于是得到，H为PQO∆的垂心，所以H为PQ关于圆O的极点，证毕。（5）（6）于是我们得到了性质3333：两点连线的的极点为此二点极线的交点。我们从上述的性质3，于是又有了进步更加大胆的猜想，是否两直线交点的极线为此二直线极点的连线？于是我们又尝试运用特殊例子，证明他的正确性，再加以严格的证明。于是我们又举了一个与上面相同的特殊情况。如图（6），PA、PB为两条直线，而A、B分别为他们的极点，而他们的交点P的极线，恰好是AB的连线。于是我们尝试着去证明一般情况。如右图（7），AB、CD为任意的两条直线，分别交圆O于A、B与C、D，P、Q分别为AB、CD关于圆的极点，AB与CD交于E，求证：E关于圆的极线为PQ。解：我们由P、Q作两条割线过E，于是由题意可知P、J、E、K四点调和与Q、L、E、M四点调和，于是过OE做弦NR在直线EF找到一点F′使得FEOS′四点调和过F′做⊙O的两条切线FR′、FN′，运用统一法易证得NER三点共线且易证得AFECFE∠=∠，于是由引理1得EFPF′′⊥，EFQF′′⊥。所以PFQ′共线，F′与F重合，于是PQ为E关于圆O的极线。证毕。由此，我们得到了性质4444：两直线交点的极线为此两直线极点的连线。三、运用我们研究了那么多极点与极线的性质，然后于是我们发现运极点与极线的性质，我们可以极快的解决一些较难的几何问题。如此题：如图（8），D是ABC∆的BC边上的一点，使得CADCBA∠=∠，⊙O经过B、D分别交AB、AD于E、F，BF交DE于G，M为AG的中点，求证CM⊥AO。联结EF，延长与BC交于P，联结OP，延长与AC延长线交于L，联结AP联结GP延长分别交AB、AD于I、K，延长AG与BC交于H。1、DFPABDDAC∠=∠=∠∵PF∴∥CA由完全四边形的调和性可知AFKD四点调和，于是得到2AFKDAKFD⋅=⋅可得12AFKDFDAK⋅=，AFPCFDPD=∵12PCKDPDAK∴⋅=考察ADC∆被直线KPL所截1ACPCKDLCPDAK⋅⋅=得到12ACLC=CAL∴为的中点CM∴∥PG2、下面可运用极点极线PG⊥AO。由A、E、I、B四点调和，A、F、K、D四点调和，由性质2得到PI的连线为A点关于⊙O的极线，于是得到PG⊥AO，PG∵∥AOCMAO∴⊥证毕。如此一道复杂的几何题却利用极点极线的思想，轻松的做完了，可见极点极线在几何题中的运用十分广泛。再例如今年全国数学联赛的二试的几何题，如下图（9），锐角三角形ABC的外心O，K是边BC上的一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上的一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与BC交于点M，求证：若OK垂直MN，则A，B，C，D四点共圆。（8）其提供的解答，用了十分复杂且麻烦的方法证明了当A，B，C，D四点共圆时，OK⊥MN。再利用同一法证明了结论。但是若是知道极点与极线的性质，我们可以极快的证出垂直来。（9）（10）证明过程如下：解：如图（10）过N作圆O的两条切线PN与QN。连接ON交PQ于L。则根据极点极线的推理可知M，P，E，K，L，F，Q7点共线MK，垂直于ON。同理可知NK垂直于MO所以点K是三角形MON的垂心。所以OK垂直于MN。证毕。再利用同一法，就可很快证出结论。四、总结与体会其实极点极线所涉及的内容还是非常的丰富，而且极点极线的妙用远不止如此，我们只是对其做了一个初步的探究。所以我们在日常做题当中还要总结经验才能够将这些方法使用得更好。我们所学的是有限的，而数学是无止境的，需要我们一步一步的探索。