高等数学-格林公式

1第三节格林公式及其应用小结思考题作业格林(Green)公式平面上曲线积分与路径无关的条件二元函数的全微分求积格林Green.G.(1793—1841)英国数学家、物理学家2DD1.区域连通性的分类设D为平面区域,复连通区域单连通区域一、格林公式否则称为则称D为平面复连通区域.成的部分都属于D,如果D内任一闭曲线所围单连通区域,格林公式及其应用3格林定理(定理1)设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,LDyQxPyxyPxQdddd)()1(),(),(yxQyxP及函数在D上具有一阶连续偏导数,则有2.格林公式公式(1)称其中L是D的取正向的边界曲线.格林公式.格林公式及其应用4DLl当观察者沿边界行走时,(1)P、Q在闭区域D上一阶偏导数的连续性;(2)曲线L是封闭的,并且取正向.注规定边界曲线L的正向区域D总在他的左边.格林公式及其应用xyODL5}),()(),{(21bxaxyxyxD}),()(),{(21dycyxyyxD(1)先对简单区域证明:证明LDyQxPyxyPxQdddd)(若区域D既是型X又是型Y即平行于坐标轴的直线和L至多交于两点.格林公式及其应用xyOabdcD)(1xy)(2xyABCE)(2yx)(1yx6D)(2yx)(1yxDyxxQdddcyyyQd)),((2CBEyyxQd),(同理可证LDxyxPyxyPd),(dddcyddcyyyQd)),((1LDyQxPyxyPxQdddd)(yyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyyxQd),()()(21xxQyyd)()(21CBECAEyyxQd),(LDyQxPyxyPxQdddd)(LyyxQd),(格林公式及其应用xyOdcABCE7DL(2)再对一般区域证明:1L1D2D3DDyxyPxQdd)(积分区域的可加性若区域D由按段光(如图)将D分成三个既是型X又是型Y的区域,1DyxyPxQdd)(2L3L321DDD,2D.3D格林公式及其应用滑的闭曲线围成.8LyQxPdd),(32,1来说为正方向对DLLLDyxyPxQdd)(321dd)(DDDyxyPxQyxyPxQdd)(yxyPxQdd)(yQxPddyQxPddLDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式及其应用yxyPxQdd)(1D2D3DyQxPdd1L2L3LDL1L2L3L1D2D3D91L2L3L(3)对复连通区域证明:由(2)知DyxyPxQdd)(3L)0,0(CEECABBA若区域不止由一条闭曲线添加直线段,AB.CE则D的边界曲线由,AB,2L,BA,AFC,CE,3LECCGA及构成.格林公式及其应用LyQxPdd),(32,1来说为正方向对DLLL所围成.AB2LBAAFCCE)dd(yQxPECCGA{})dd(yQxP2L(3L1L)对复连通区域D,格林公式且边界的方向对区的曲线积分,右端应包括沿区域D的全部边界域D来说都是正向.GFDCEAB10格林公式的实质之间的联系.沟通了沿闭曲线的积分与二重积分LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式及其应用11Lxyyxdd(1)计算平面面积3.简单应用LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式LxyyxAdd21yx得Dyxdd2闭区域D的面积格林公式及其应用dLAyx（）dLxyA或，12Oxy例求椭圆解由公式得tttabAd)sin(cos212202abD20,sin,costtbytax所围成的面积.格林公式及其应用LxyyxAdd21132.1(2)简化曲线积分例LyyyyxexyxeI,d)2(d3计算其中L为圆周xyx222解,yePyxexyQy23,yeyPyeyxQ33yyPxQ由格林公式有LDyQxPyxyPxQdddd)(I对称性的正向.Oxy格林公式及其应用yxyDdd3014对平面闭曲线上的对坐标曲线积分,yPxQ当比较简单时,常常考虑通过格林公式化为二重积分来计算.格林公式及其应用15例计算,d)cos(d)sin(ymyexmyyexAOx.22axyx分析但由myeQxcosxQyP可知yPxQ非常简单.)0,(aA)0,0(Om,cosyexmyexcos,sinmyyePx其中AO是从点⌒的上半圆周到点此积分路径⌒AO不是闭曲线!格林公式及其应用Oxy)0,(aA16Oxy为应用格林公式再补充一段曲线,因在补充的曲线上还要算曲线积分,补充的曲线要简单,使之构成闭曲线.所以因而这里补加直线段直线段.通常是补充与坐标轴平行的L不闭合+边L＊,使L+L＊闭合,再用格林公式.格林公式及其应用由格林公式DyxmddymyexmyyexOAAOxd)cos(d)sin(281am解.OAaxy0,0OA的方程为ax0d0故0所以,I.812am0812amAOOAOA000myPxQymyexmyyexOAxd)cos(d)sin()0,(aA170(3)简化二重积分则yPxQ解令,0P2yxeQ例为顶点的三角形闭区域.Dyyxe,dd2计算是其中D)1,0(),1,1(),0,0(BAO以LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式Dyyxedd2BOABOAyyxed2OAyyxed2AByyxed2BOyyxed22ye格林公式及其应用)1(211e10d2xxex000Oxy11ABD18则曲线积分为取正向的圆周设,922yxLLyxxxyxy).(d)4(d)22(218解,22yxyP设xxQ42由格林公式42xxQ,22xyPLyxxxyxyd)4(d)22(2Dyxxxdd)2242(Dyxdd218格林公式及其应用练习19解记L所围成的闭区域为D,其中L为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.例Lyxxyyx,dd22计算令,22yxyP22yxxQ时，则当022yx有xQyP22222)(yxxy格林公式及其应用20LLyxxyyx22dd即L为不包围原点的任一闭曲线.即L为包围原点在内的任一闭曲线.由格林公式时，当D)0,0()1(时，当D)0,0()2(应用由格林公式,得LDyQxPyxyPxQdddd)(0yPxQ作位于D内圆周222:ryxl,1所围成和由记lLD格林公式及其应用DLxyOD1DrlxyO21Lyxxyyx22dd2022222dsincosrrrLyxxyyx22dd2注意格林公式的条件yxyPxQdd∴00lyxxyyx22ddsincosryrx1DyPxQlyxxyyx22dd222:ryxl格林公式及其应用其中l的方向取逆时针方向L1DrlxyO22Oxy0sindyeyD格林公式及其应用2003年研究生考题(数学一)(10分)已知平面区域},0,0),({yxyxDL为D的正向边界.试证:;dddd)1(sinsinsinsinLxyLxyxyeyxexyeyxe.2dd)2(2sinsinLxyxyeyxe证左边=L0sindyey,)d(0sinsinxeexx右边=0sindxex,)d(0sinsinxeexx法一0sindxexxxxx(1)2sinsinxxeeLxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin23.2dd)2(2sinsinLxyxyeyxe0sinsin)d(xeexx格林公式及其应用2003年研究生考题(数学一)(10分)已知平面区域},0,0),({yxyxDL为D的正向边界.试证:;dddd)1(sinsinsinsinLxyLxyxyeyxexyeyxe证(2)由于,2sinsinxxee故由(1)得Lxyxyeyxeddsinsin.2224格林公式及其应用2003年研究生考题(数学一)(10分)已知平面区域},0,0),({yxyxDL为D的正向边界.试证:;dddd)1(sinsinsinsinLxyLxyxyeyxexyeyxe.2dd)2(2sinsinLxyxyeyxe证法二(1)根据格林公式,得左边=右边=,d)(sinsinxDyee,d)(sinsinxDyee都化成二次积分易知d)(sinsinxDyeed)(sinsinxDyeeLxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsinOxyDLLDyQxPyxyPxQdddd)(25.2dd)2(2sinsinLxyxyeyxe格林公式及其应用2003年研究生考题(数学一)(10分)已知平面区域},0,0),({yxyxDL为D的正向边界.试证:;dddd)1(sinsinsinsinLxyLxyxyeyxexyeyxe证法二由(1)知Lxyxyeyxeddsinsind)(sinsinxDyeed)(sinsinxDxeed2D.22Lxyxyeyxeddsinsind)(sinsinxDyeed)(sinsinxDyeeLxyxyeyxeddsinsin++26G1ddLyQxP2ddLyQxPB如果在区域G内有二、平面上曲线积分与路径无关的条件AL1L21.平面上曲线积分与路径无关的定义否则与路径有关.格林公式及其应用则称曲线积分LyQxPdd在G内与路径无关xyO12dd0LLPxQy或（沿任意闭曲线积分为0）,27定理2设开区域G是一个单连通域,xQyP在G内恒成立.函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则曲线积分LyQxPdd在G内与路径无关(或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零)的充要条件是2.平面上曲线积分与路径无关的条件格林公式及其应用两条件缺一不可28三、二元函数的全微分求积考虑表达式如果存在一个函数yyxQxyxPd),(d),(),,(yxu使得),(dyxu则称yyxQxyxPd),(d),(并将的一个称为yyxQxyxPyxuud),(d),(),(yyxQxyxPd),(d),(全微分式,为一原函数.格林公式及其应用29由例,ddd2xxyyxxy.ddd2yyxxyyx可知:,dd2xxyyx2ddyyxxy都是分别是上面的,xy,xyyxyxxyxydd