高三高考平面向量题型总结-经典

....平面向量一、平面向量的基本概念：1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________.2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________.3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________.4.单位向量：__________________________.5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________.注意：理解好共线（平行）向量。6.相等向量：_______________________.例：下列说法正确的是_____①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②,,cbba则ca；③,//,//cbbaca//④若CDAB，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；⑤所有的单位向量都相等；二、向量的线性运算：（一）向量的加法：1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________.（1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连”例1.已知AB=8，AC=5，则BC的取值范围__________例2.化简下列向量（1）PMQPMNNQ（2）)()()(MBPMABCQBCBP（2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则；ba是以a，b为邻边的平行四边形的一条对角线，如图：例1.（09山东）设P是三角形ABC所在平面内一点，BPBABC2，则A.0PBPAB.0PCPAC.0PBPCD.0PCPBPA例2.（13四川）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AOADAB，则.______（3）多边形法则2.向量的加法运算律：交换律与结合律（二）向量的减法：减法是加法的逆运算，A.PBPAOBOABA（终点向量减始点向量）....在平行四边形中，已知以a、b为邻边的平行四边形中，baba,分别为平行四边形的两条对角线，当baba时，此时平行四边形是矩形。例1.已知8,6ba，且baba，则baba=______例2.设点M是BC的中点，点A在线段BC外，BC=16，ACABACAB，则____AM向量的加减运算：例1.（08辽宁）已知、OA、B是平面内的三个点，直线AB上有一点C，满足CB→+2AC→=0，则OC→=______A.2OA→-OB→B.—OA→+2OB→C.32OA→—31OB→D.—31OA→+32OB→例2.(15课标全国I）设D是三角形ABC所在平面内一点，CDBC3，则______A.ACABAD3431B.ACABAD3431C.ACABAD3134D.ACABAD3134例3.（12全国）在ABC中，AB边上的高为CD,CB→=a,CA→=b,ab=0,2,1ba,则AD→=______例4.（10全国）在ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB，若CB→=a,CA→=b,2,1ba，则CD→=________例5.在ABC中，设D为边BC的中点,E为边AD的中点,若BE→=mAB→+nAC→，则m+n=___例6.（15北京理）在ABC中，点NM,满足NCBNMCAM,2，若ACyABxMN，则_________yx例7.（13江苏）设D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，若BCBEABAD32,21，若DE→=1AB→+2AC→(1,2为实数)，则1+2=_________例8.（12东北四市一摸）在ABC中，设P为边BC的中点，内角CBA,,的对边cba,,，若cAC→+aPA→+bPB→=0，则ABC的形状为________....(三）实数与向量的积：1.定义：实数与非零向量a的乘积a是一个向量，它的长度是__________.它的方向是_________________________________________________________.当0时，_______2.数乘向量的几何意义是把向量同方向或反方向扩大或缩小。3.运算律：设a、b是任意向量，,是实数，则实数与向量的积适合以下运算：4.向量共线的判断：（平行向量的基本定理）①如果ba，则ba//；若ba//，0b，则存在唯一的实数，使得ba.②若a、b是两个不共线的非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数,，使________.③若22122111,eebeea，21,ee不共线，ba//，则在有意义的前提下，2121例1.（15课标全国II）设向量若a、b是两个不平行的向量，向量ba与ba2平行，则____例2.（09湖南）对于非零向量,,ab“0ab”是“//ab”的___A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件例3.（12四川）设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使||||abab成立的充分条件是A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|5.单位向量给定一个向量a，与a同方向且长度为1的向量叫做a的单位向量，即_______________重要结论：已知ABC，O为定点，P为平面内任意一点.①PA→+PB→+PC→=0_______________________________________________.②若OP→=31OA→+OB→+OC→，则P为ABC__________________________③若OP→=OA→+（AB→+AC→），),0(，则P点的轨迹__________________.④若OP→=OA→+_________,),0(,则P点的轨迹通过ABC的内心⑤若__________________________,则P点的轨迹是ABC的外心⑥若__________________________,则P点的轨迹是ABC的垂心例1.（10湖北）在ABC中，点M满足MA→+MB→+MC→=0，若存在实数m，使得AB→+AC→=mAM→，则m=________.....例2.在ABC中，重心为G，若0sin3sin3sin2GCCGBBGAA，则_____cosB例3.在ABC中，重心为G，若033GCGBbGAa，则_____A三、平面向量的基本定理(一）平面向量基本定理内容：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,，使__________________,其中1e、2e是一组基底，记作_______._____________叫做向量a关于基底的分解式。平面向量基本定理是向量正交分解的依据，是向量坐标运算的基础。注意：只要是不共线的两个向量都可以作为基底，因为零向量与任一向量都平行，所以零向量一定不能作为基底；基底不唯一；任一向量可以由一组基底来表示，但表示方法是唯一的。例1.（14福建）在下列向量组中，可以把向量)2,3(a表示出来的是______A.)2,1(),0,0(21eeB.)2,5(),2,1(21eeC.)10,6(),5,3(21eeD.)3,2(),3,2(21ee例2.（09安徽）在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，BC的中点，若AFAEAC，则_____（二）平面向量基本定理与向量共线条件的综合应用设BA,是直线l上两点，O是直线外一点，对于直线上任意一点P，存在Rt，使___________________________成立.反之，满足上式的点P在直线l上.特别地，当P为BA,的中点时，则_________________________.例1.已知、OA、B是平面内的三个点，线段BA的延长线上有一点C，满足3AC→+CB→=0则OC→=____A.3OA→-2OB→B.—2OA→+3OB→C.23OA→—21OB→D.—21OA→+23OB→例2.数列na是等差数列，其前n项和为nS，若平面上的三个不共线的向量OA→、OB→、OC→满足OB→=1aOA→+2006aOC→，且CBA,,三点共线，则_____2006S例3.已知向量ji,不共线，且AB→=jmi，AD→jin，若DBA,,三点共线，则实数nm,应满足的条件_____A.1nmB.1nmC.1mnD.1mn例4.（07江西）如图，在ABC中，设O为边BC的中点，过点O的直线交直线AB、AC于不同两点NM,.....若AB→=mAM→，AC→=nAN→，则m+n=___mn的最大值为_______例5.在ABC中，设M为边BC的任意点，N为AM中点，AN→=AB→+AC→，则+=_____.例6.在ABC中，设M为边BC的中点，N为AM中点，AN→=AB→+AC→，则+=_____.例7.如图，在ABC中，设D为边BC的中点，G为AD中点，过G任作一条直线MN分别交AB、AC于NM,两点，若AM→=xAB→，AN→=yAC→，试问yx11是否为定值？四、平面向量的正交分解与向量的直角坐标运算：（一）向量的正交分解与向量的直角坐标1.向量的垂直：如果两个向量的基线互相垂直，那么这两个向量互相垂直；2.向量的正交分解：如果基底的两个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解。3.在平面直角坐标系下，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内任一向量a，有且只有一对实数x,y，使得21eyexa.有序数对),(yx叫做a的坐标，记作),(yxa注意：（1）每一个向量都可以用一对有序实数对来表示，向量有代数法和几何法两种表示。（2）符号),(yx有了双重的意义，既可以表示固定的点，又可以表示向量；平面向量的坐标只与始点和终点坐标有关，只有点始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等。（二）向量的坐标运算1.若),(),,(2211yxbyxa，则_______________ba.2.若),(),,(2211yxByxA，则AB→=_______________|AB→|=__________________3.若Ryxa),,(，则____________a4.若),(),,(2211yxbyxa，ba//,则有________________.5.三角形ABC的重心坐标公式为____________________________NMOCBAABMDGNCA....五、平面向量的数量积：1.平面向量数量积的定义①向量ba,的夹角已知两个非零向量ba,，过点O作bOBaOA,，则(AOB________),叫作向量ba,的夹角.当________________时，a与b垂直，记作_________.当________________时，a与b平行或共线.注意：理解什么是两向量的夹角？以及两向量夹角的范围。②向量ba,的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则把_____________叫做向量ba,的数量积（内积），记作__________________.③规定a0=0④向量数量积的几