随机过程习题答案

随机过程习题解答（一）第一讲作业：1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。解：由定义，有：4、考察两个谐波随机信号和，其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。解：（a）（b）第二讲作业：P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度：P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布：P35/4.解：(1)其中由题意可知，的联合概率密度为：利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。（2）典型样本函数是一条正弦曲线。（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有：P36/7．证明：(1)(2)由协方差函数的定义，有：P37/10.解：（1）当i=j时；否则令，则有第三讲作业：P111/7．解：（1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。（2）由题意，我们有一步转移矩阵：P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：（2），因此：P112/9．解：（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：；计算有：，递推得到，因此有：P112/11．解：矩阵的特征多项式为：由此可得特征值为：，及特征向量：，则有：因此有：（1）令矩阵P112/12．解：设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。记每天天晴为0，下雨为1，则此链的状态可以由三位二进制数表示。如三天晴为000，为状态0；第一天晴，第二天晴，第三天雨为001，为状态1；第一天晴，第二天雨，第三天晴为010，为状态2；第一天晴，后两天阴为011，为状态3，等等。根据题目条件，得到一步转移矩阵如下：第四讲作业：P113/13．解：画出状态转移图，有：P113/14.解：画出状态转移图，有：P113/16．解：画出状态转移图，有：（1）由于三个状态都是相通的，所以三个状态都是常返态。（3）状态3、4无法和其他状态相通，组成一个闭集，且，所以状态3、4为常返态；另外状态0、2相通组成一个闭集，且，故状态0、2是常返态；因为，故，所以状态1为非常返态。（4）0、1相通作成一闭集，且，故0、1为常返态；又，因此，故2为常返态；，故3、4为非常返态。第六讲作业：P115/17．解：（1）一步转移矩阵为：（2）当时，由计算可得，因此可由以下方程组计算极限分布：解得极限分布即可。P115/18．解：由第七题的结果，计算可得：，因此可计算极限分布如下：解以上方程，得极限分布：P115/19．解：见课上讲稿。P116/21．解：记，则有：（1）因为：(A)当时，有：由（A）可得：当且时，有：由（A）可得：当且时，有：由（A）可得：另外：下列等式是明显的因此我们有：即{是一齐次马氏链。一步转移矩阵为：（2）画出转移矩阵图，可得：由：及，并且取，由递归可得：（3）由于：因此，零状态是正常返的，由相通性，故所有状态都是正常返的，即此马氏链是不可约的。（4）由马氏链的无后效性，可知此时的T就是零状态到零状态的首达时间。因此我们有：随机过程习题解答（二）P228/1。证明：由于ts，有ntNPknstNPksNPntNPntNksNPntNksNP)(})({)()()(,)()(/)(其中)()!())((!)(})({)(stknskeknsteksknstNPksNPtnentntNP!)()(所以knkknknkktnstknskksksknknkntsttsenteknsteksntNksNP1)!(!!)(!)()!())((!)()(/)()(证毕。P229/3.解：（1）因为}0),({ttN是一Poission过程，由母函数的定义，有：)()(})({})({})({})({})({})({})({})({})({})({})({)()()(000000000)(sssjtNPsltNPslktNPsltNPslktNPsltNPslktNPsltNPslktNPltNPsktNPstNtNjjlllklkllllklklkkllklkkklkkttN（2）有上面（1）的结果，可得：tsstssstsststNttNtNtNtNttNttNttN1)()()()()()()(ˆ)()(0)()()()(0)()(0)(limlimlim（3）当t充分小时，由于：2100)()()()(1})({)(kkkktNststtsttsstNPs因此，当1s时，有：)1()()(1)(20)(0limlimssttttstttskkttNt由（2）的结果，我们有：)()1()()()(sststNtNP229/4.解：（1）由上面3题的结果（3），我们有：tstNNtNtNessssts)1()()0()()()(1)()()1()(（2）由于)()(stN是随机过程)(tN的母函数，且tstNes)1()()(，将函数tse)1(关于)1(ss展开成级数形式，我们可得：0)1()(!)()(kktktstNsektes由母函数与分布函数的唯一性定理，可得：2,1,0,!)(})({kektktNPtkP230/8.解：由特征函数的定义，我们有：nYuintnYYYuintntXuintXuitXeEenteEentntNeEntNPeEun12100)(0)()(!)(!)()(})({)(令)(11ueEYYui，则有：1)(exp!))(()(110)(utenutuYntnYtX（*）若),2,1(nYn的概率分布为：212211}1{,}1{nnYPYP则uiuiYuiYeeeEunn212211)(（**）将（**）代入（*），我们有：teteteetuuiuiuiuitX)(exp1)(exp)(212121221121)(P230/7.解：先求}0),({0ttN的特征函数：teteteeteetemeteneteemteenteEeEeEeEuuiuituituimtmuintnuimuimtmnuintntNuitNuitNtNuitNuitN)(expexpexp!)(!)(!)(!)()(2121)(210)(201)(0201)()()())()(()()(212121212100由上面8题的结果，根据特征函数与分布函数的唯一性定理，可知}0),({0ttN是复合Poission过程。P231/10.解：由于ntXtXtXPntXtXtXjtXktXPntXtXtXjtXktXP)()()()()()(,)(,)()()()()(,)(3213212132121因为)(tXi的母函数为：tssitN)1(exp)()(，由独立性，可知)()()(321tXtXtX的母函数为：31321)()(1exp)()(itXtXtsss，所以)()()()(321tXtXtXtX是参数为321的泊松过程，即tnentntXtXtXP321!)()()(321321因此我们有：njknjktntkjntjtkjknjknentekjntejtektntXtXtXjtXktXP)()!(!!!!)!(!!)()()()(,)(32132132111132121321321P231/12.解：（1）由)(}1)({1})({}1)(,1)({}0)(,)({)(totPktXPtPktXPtXktXPtXktXPkttXPrr令0t，有)()()(1tPPtPPdttdPkrkrk解得tPkrrektPktXP!)()(（2）由（1）知，)(tX服从参数为rP的泊松分布。P232/15.解：（1）以)(t表示t时刻系统中不正常工作的信道数，则}0),({tt是一马氏过程，其状态空间为：}2,1,0{S，Q矩阵为：220)(022Q（2）令：)()()()()()()()()()(222120121110020100tptptptptptptptptptP则前进方程为：33)0()()(IPQtPtdtPd（3）令：})({)(jtPtpj)0,0,1()0(,))(),(),(()(210ptptptptp写出福克－普朗克方程：)0,0,1()0()()(pQtptdtpd即有：0)0(,0)0(,1)0()(2)()()(2)()()(2)()()(2)(2102122101100ppptptptdtpdtptptptdtpdtptptdtpd做Laplace变换，令：2,1,0,))(()(ntpLsnn则有：)(2)()()(2)()()(2)()()(21)(2122101100sssssssssssss由上解得：)()(2)]()][(2[2)3()(220sCsBsAssssss其中：22222)(2,)(,)(CBA因此求))(()(010sLtp即可。（4）tttBABAeeetTPtTPtTtTP2}{}{},{P233/16.解：（1）令)(