1.1随机事件与样本空间

概率统计是研究随机现象数量规律的学科,理论严谨,应用广泛,发展迅速.不仅高等学校各专业都开设了本课程,而且在上世纪末，此课程特意被教育部定为本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真学好这门不易学好的重要课程.前言本学科的ABC概率(或然率或几率)——随机事件出现的可能性的量度——其起源与博弈问题有关.16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B.帕斯卡、荷兰数学家C.惠更斯基于排列组合的方法，研究了较复杂的赌博问题，解决了“合理分配赌注问题”(即得分问题).概率论是一门研究客观世界随机现象数量规律的数学分支学科.发展则在17世纪微积分学说建立以后.基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理统计学等学科.数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支学科.论；使概率论成为数学的一个分支的真正奠对客观世界中随机现象的分析产生了概率统计方法的数学理论要用到很多近代数学知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用.但是它们是两个并列的数学分支学科，并无从属关系.概率论32学时数理统计24学时随机事件及其概率随机变量的数字特征与极限定理随机变量及其分布多维随机变量及其分布假设检验样本及其分布参数估计《概率论与数理统计》的教学内容分为三个模块：（1）经典概率论部分（2）随机变量的函数及其分布（3）数理统计初步《概率论与数理统计》的教学方法：（1）经典概率论部分大多数学生在系统学习《概率论与数理统计》之前，在中学或多或少对何谓概率有所了解，因此该门课程的入门较低，但如何从实际的随机现象中把问题数学化，如何运用数学符号表示随机现象是学习该部分内容的难点。这部分内容是整个概率论的基础，要从学生常见的随机想象出发，引导学生如何用数学语言描述随机现象，而不是仅仅会猜答案，写不出任何接替步骤。具体教学方案分两步：第一步先让学生初步掌握数学中集合的概念来表述随机事件；熟悉随机事件的运算规律；第二步再学习概率的定义的发展规律，进而了解概率的公理化体系，掌握条件概率，全概率公式等内容。《概率论与数理统计》的教学方法：（2）随机变量的函数及其分布包括一维随机变量与多维随机变量，使学生认识到分布函数、分布律和概率密度函数是揭示随机现象本质规律的重要工具。对概率分布函数，连续性随机变量概率密度函数的准确理解以及会用之计算随机事件的概率是本课程的重点部分，还需掌握常见的离散型和连续型随机变量。理解什么数学期望、方差、协方差和相关系数，并能应用这些概念解决某些实际问题。《概率论与数理统计》的教学方法：（2）数理统计初步概率论一般是研究如何来揭示随机现象所隐含的本质规律，反映在课程内容上就是随机变量分布函数、分布律和概率密度函数的寻求以及研究它们的数字特征；统计是以概率论为基础，利用实验数据对分布函数，概率密度函数进行估计和检验，这部分内容，主要讲授参数的点估计和区间估计，参数的假设检验，尤其要让学生熟悉正态总体均值和方差的区间估计方法，假设检验方法，关于广义方差分析和回归分析，由于学时所限，可以一带而过，作为学生自学的内容。盛骤，谢式千，潘承毅编高等教育出版社牛丽英，陈勇主编出版社：水利水电出版社Chapter1本章重点：1.理解随机事件及其概率的概念；2.理解条件概率及事件独立性的概念；3.掌握随机事件之间的关系与运算；4.掌握概率的基本性质及概率加法定理与乘法定理以及计算概率的全概率公式与贝叶斯公式。本章难点：有关古典概率及条件概率的概念的理解及计算第一节随机事件的概念五、事件的关系与运算四、随机事件的概念三、样本空间样本点二、随机试验一、随机现象在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例自然界所观察到的现象:确定性现象随机现象一、随机现象“函数在间断点处不存在导数”等.确定性现象的特征条件完全决定结果在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.实例1“在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察正反两面出现的情况”.2.随机现象结果有可能出现正面也可能出现反面.结果有可能为:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.实例3“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.实例2“用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发,观察弹落点的情况”.结果:“弹落点会各不相同”.实例4“从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品”.其结果可能为:正品、次品.实例5“过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯”.实例6“一只灯泡的寿命”可长可短.随机现象的特征条件不能完全决定结果2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性（也称随机性).或者说，出现哪个结果“凭机会而定”.1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述.3.但在大量重复试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.说明随机现象是通过随机试验来研究的.问题什么是随机试验?如何来研究随机现象?1.可以在相同的条件下重复地进行;2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.定义在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.二、随机试验说明1.随机试验简称为试验,是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验,也包括对客观事物进行的“调查”、“观察”、或“测量”等.实例“抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况”.分析2.随机试验通常用E来表示.(1)试验可以在相同的条件下重复地进行;1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.2.“从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的件数”.同理可知下列试验都为随机试验(2)试验的所有可能结果:正面，反面;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.故为随机试验.3.记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.4.考察某地区10月份的平均气温.5.从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.我们规定不含任何元素的空集为不可能事件，用表示。三、样本空间样本点定义1.1对于随机试验E，它的每一个可能结果称为样本点，由一个样本点组成的单点集称为基本事件。所有样本点构成的集合称为E的样本空间或必然事件，用或S表示或者，还可以用基本事件表示，设Ai=“掷出i点”,则Ω(或S)={A1，A2，…，A6}实例1如：掷一枚骰子一次的试验E.Ai是基本事件，i=1,2,3,4,5,6,1{1,2,3,4,5,6}.S实例2从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的情况.}.,,,,,,,{3DDDDNDDDNNDDDNNNDNNNDNNNS则.,次品正品记DN实例3从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.}.0{6ttS.t的寿命为灯其中泡2.同一试验,若试验目的不同,则对应的样本空间也不同.例如对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次”.若观察正面H、反面T出现的情况,则样本空间为若观察出现正面的次数,则样本空间为.}3,2,1,0{S}.,,,,,,,{TTTTHTTTHHTTTHHHTHHHTHHHS1.试验不同,对应的样本空间也不同.说明说明3.建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型.因此,一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.例如只包含两个样本点的样本空间它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型,也可以作为产品检验中合格与不合格的模型,又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.},{THS在具体问题的研究中,描述随机现象的第一步就是建立样本空间.小结(1)概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科.(2)随机现象是通过随机试验来研究的.1)可以在相同的条件下重复地进行;2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.随机试验(3)随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为S.答案}.18,,5,4,3{.1S}.,12,11,10{.2S写出下列随机试验的样本空间.1.同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和.2.生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数.课堂练习通俗地讲随机事件是指随机试验中可能发生也可能不发生的事件．(1)基本概念它们分别可以对应了样本空间S={1,2,3,4,5,6}的子集｛1,2,3,4｝和｛2,4,6｝．根据这个说法不难发现随机事件和样本空间的子集有一一对应关系！实例抛掷一枚骰子,观察出现的点数.“点数不大于4”,“点数为偶数”等都为随机事件.反过来，Ｓ的每个子集都对应了该试验的一个随机事件．四、随机事件的概念随机事件的定义当且仅当子集Ａ中某个样本点出现时，称事件Ａ发生．随机试验E的样本空间S的子集称为E的随机事件,简称事件.实例上述试验中“点数不大于6”就是必然事件.必然事件随机试验中必然发生的事件．不可能事件随机试验中不可能发生的事件.实例上述试验中“点数大于6”就是不可能事件.实例“出现1点”,“出现2点”,…,“出现6点”.基本事件由一个样本点组成的单点集特别地：(2)几点说明例如抛掷一枚骰子,观察出现的点数.可设A=“点数不大于4”,B=“点数为奇数”等等.1)随机事件可简称为事件,并以大写英文字母A,B,C,来表示事件2)随机试验、样本空间与随机事件的关系每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件.样本空间Ｓ作为自身最大的子集包含所有的样本点（基本事件），表示必然事件．空集不含任何样本点表示不可能事件．写出掷骰子试验的样本点,样本空间,基本事件,事件A—出现偶数,事件B—出现奇数i;6,1,ii},,,,,{654321解：用表示掷骰子出现的点数为基本事件;6,,2,1,},{iiAii};,,{642A}.,,{531B例1.1注意:描述随机事件A,B,C,……的方法设A=“至少出现一次正面”或者A={(H,H),(H,T),(T,H)}例如:将一枚硬币抛掷两次试验,怎样表示至少出现一次正面这一事件?或者设X表示出现正面的次数,则表示至少出现一次正面这一事件}1{X（1）同时掷三颗骰子，记录其出现的点数之和，A=“点数之和为偶数”；（2）相继掷硬币两次，A=“第一次出现正面”，B=“两次出现同一面”；（3）在“1,2,3,4”这4个数中可重复的任取2个数字，A=“一个数是另一个数的2倍”；（4）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度，A=“三段为边可构成三角形”；练习：写出下列随机试验的样本空间及相应的事件：（1）S={3,4,5,…,17,18}A={4,6,8,…,16,18}；（2）S={HT,TH,HH,TT},A={HT,HH},B={HH,TT}；（3）S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}，A={(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)}；（4）S={(x,y,z)|x0,y0,x+y+z=1}，A={(x,y,z)|(x,y,z)S,x+yz,x+zy,y+zx}3.随机事件的分类：事件基本事件复合事件（相对于观察目的不可再分解的事件）（两个或一些基本事件并在一起，就构成一个复合事件）如在掷骰子试验E2中，观察掷出的点数.事件Ai=“掷出i点”i=1,2,3,4,5,6事件B=“掷出奇数点”课堂练习：要求会写出随机试验的样本空间，掌握描述随机事件的方法五事件的关系与运算——A包含于BBA事件A发