第四章--弹塑性有限元法基本理论与模拟方法

塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法课程教学内容：第一章绪论第二章塑性成形分析的理论基础第三章有限元法基本概念第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法第五章刚塑性有限元法基本理论与模拟方法第六章几种通用有限元分析软件介绍（ANSYS、MARC、ABAQUS）第七章几种典型材料成形过程计算机模拟分析实例塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法4.1非线性问题及分类•在分析线性弹性问题时，假定：–应力应变线性关系–结构位移很小（变形远小于物体的几何尺寸）–加载时边界条件的性质不变如果不满足上述条件之一，就称为非线性问题•非线性结构的基本特征：变化的结构刚度()KqqPKqP塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法非线性问题可以分为三类：•材料非线性：体系的非线性由材料的应力应变关系的非线性引起。–如金属变形弹塑性行为、橡胶的超弹性行为等•几何非线性：结构的位移使体系的受力状态发生了显著的变化。–如板壳的大挠度问题——平衡方程必须建立于变形后的状态•接触非线性：接触状态的变化所引起。–如金属成形、跌落试验、多零件装配体等塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法碰到障碍物的悬臂梁（端部碰到障碍物时，梁端部的边界条件发生了突然变化，阻止了进一步的竖向挠度。）板料的冲压成形接触非线性例子塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法•随着有限元算法理论、计算机硬件和软件技术的进步及实际工业的需求，CAE技术的应用逐步由线性模拟为主向非线性模拟为主快速发展。–1969年，第一个商业非线性有限元程序——Marc诞生。–目前几乎所有的商业有限元软件都具备较强的非线性问题的分析求解能力。•非线性求解技术的先进性与稳健性已经成为衡量一个结构分析程序优劣的标准。塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法非线性问题的有限元求解方法•非线性方程(组)的求解方法–直接迭代法–Newton-Raphson迭代法–修正的Newton-Raphson迭代法•非线性问题通常采用增量法求解（追踪加载过程中应力和变形的演变历史。）–每个增量步采用Newton-Raphson迭代法()KqqP非线性问题有限元控制方程：塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法非线性方程的迭代求解方法直接迭代法Newton-Raphson迭代修正的N-R迭代()0fx1()()kkxgxxgx1()()kkkkfxxxfx10()()kkkfxxxfx塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法非线性方程组的迭代求解方法11221212(,,,)0(,,,)0(,,,)0nnnnfxxxfxxxfxxxFx0()=1122()0()0,(),0()nnxfxfxfxxxFx0x塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法直接迭代法N-R迭代修正的N-R迭代1()()kkxgxxgx11()()kkkkxxFxFx110()()kkkxxFxFx111122221212()knnknnnnfffxxxfffxxxfffxxxxxFx塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法非线性问题的增量法求解过程(1)将总的外力载荷分为一系列载荷段(2)在每一载荷段中进行迭代，直至收敛(3)所有载荷段循环，并将结果进行累加塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法(1)将总的外力载荷分为一系列载荷段()KqqP塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法(2)在每一载荷段中进行迭代，直至收敛()KqqP()1()kTKq()(1)()kkkiiPPP()1kP()()()1kkkiiiqqqN-R迭代:()()()()kkkTiiiKqqP()1kq(1)kq()kq(1)()kKqqP塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法(3)所有载荷段循环，并将结果进行累加塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法4.2材料非线性问题及分类•概念：由于材料的应力应变非线性关系引起的非线性。•分类：–不依赖时间的弹、塑性问题•非线性弹性——橡胶•弹塑性——冲压成形–依赖于时间的粘（弹、塑）性问题•蠕变——载荷不变，变形随时间继续变化•松弛——变形不变，应力随时间衰减塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法非线性弹性材料行为橡胶应力应变关系曲线塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法•弹塑性材料进入塑性的特征：载荷卸去后存在不可恢复的永久变形。•应力应变之间不是单值对应关系，与加载历史有关。塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法单轴应力状态下弹塑性材料行为•单轴（一维）应力状态下材料的应力应变行为可以从拉伸试验中获得。塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法LF0snomnom0s00nomnomFALL0(1)lnl(1n)nomnomnomFALL0sp(1)ln(1)penomnomnomE塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法0s()sspp单调加载硬化塑性0sp理想弹塑性塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法02s1r1r1s1s1s0s()sp各向同性硬化:运动硬化:混合硬化:11sr1102rss11sr1102rss反向加载运动硬化各向同性硬化混合硬化塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法在简单拉伸的情况下，当材料发生塑性变形后卸载，此后再重新加载，则应力和应变的变化仍服从弹性关系，直至应力到达卸载前曾经达到的最高应力点时，材料才再次屈服（后继屈服）。这个最高应力点的应力就是材料在经历了塑性变形后的新的屈服应力。由于材料的强化特性，它比初始屈服应力大。塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法为了与初始屈服应力相区别，我们称之为后继屈服应力。与初始屈服应力不同，它不是一个材料常数，而是依赖于塑性变形的大小和历史。后继屈服应力是在简单拉伸下，材料在经历一定塑性变形后再次加载时，变形是按弹性还是塑性规律变化的界限。塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法和简单应力状态相似，材料在复杂应力状态下同样存在初始屈服和后继屈服的问题。材料在复杂应力状态下，在经历初始屈服和发生塑性变形后，此时卸载，将再次进入弹性状态（称为后继弹性状态）。塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法把复杂应力状态下，确定材料后继弹性状态的界限的准则就称为后继屈服条件，又称为加载条件。问题:当材料处于后继弹性状态而继续加载时，应力（或变形）发展到什么程度材料再一次开始屈服呢？塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法一般应力状态下弹塑性材料行为•屈服准则（初始屈服条件）•硬化法则（后继屈服函数、加载函数、加载曲面）•流动法则•加载、卸载准则塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法屈服准则（初始屈服条件）•在单向受力情况下，当应力达到材料的屈服强度时材料开始产生塑性变形。•对于一般复杂的应力状态，应力状态由六个应力分量决定时，显然不能根据某个单独应力分量的数值作为判断材料是否进入塑性变形的标准。为此，引入以应力分量为坐标的应力空间，根据代表不同应力路径的实验结果，可以定出从弹性阶段进入塑性阶段的各个界限，即屈服应力点。在应力空间中，这些屈服应力点形成一个区分弹性和塑性的分界面——屈服面。描述这个屈服面的数学表达式就是我们所要寻求的一般应力状态下的屈服准则。0()0ijF塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法常用的各向同性Von-Mises屈服准则：02011()023ijijijsF各向同性屈服准则：各个方向屈服应力相同各向异性屈服准则：不同方向屈服应力有差异塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法031)()()(61)(202132322210sijF三维主应力空间12o123oπ平面上的屈服轨迹σ3=0平面上的屈服轨迹塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法硬化法则•塑性硬化法则规定了材料进入塑性变形后的后继屈服函数（又称加载函数或加载曲面）–各向同性硬化–运动硬化–混合硬化塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法2(,)011()23ijpijijsFkfkfk0200,01213ijijijijijijsFfkfk运动硬化：该模型假设材料随塑性变形发展时，屈服面的大小和形状不变，仅是整体在应力空间作平动。各向同性硬化：材料进入塑性变形以后，屈服面在各方向均匀地向外扩张，其形状、中心及其在应力空间的方位均保持不变。材料的强化只与总的塑性变形功有关而与加载路径无关。应力有反复变化时，等向强化模型与实验结果不相符合。塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法混合硬化：其实质就是将随动强化模型和等向强化模型结合起来，即认为后继屈服面的形状、大小和位置一起随塑性变形的发展而变化。该模型能够更好的反映材料的Bauschinger效应。各向同性硬化运动硬化()0ijijFfk1212塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法流动法则pijijFdd塑性应变增量和应力分量的关系：塑性应变沿后继屈服面F=0的法线方向pijijFddd——是一正的待定系数，其具体数值和材料硬化准则有关0F12塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法加载、卸载准则对于硬化材料（当材料处于某一塑性状态）：塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法4.3几何非线性问题及分类•概念：由于大位移、大转动而引起的非线性。•分类：–大位移、大转动、小应变问题——板壳的大挠度和后屈曲–大位移、大转动、大应变问题——薄板成形、弹性材料的受力塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法比较：线弹性—几何非线性•线弹性：小变形假设——假定物体发生的位移远小于物体本身的几何尺寸，应变远小于1。建立平衡方程时不考虑物体位置和形状的变化。•几何非线性：物体发生有限变形——大位移、大转动的情况。建立平衡方程时必须考虑物体位置和形状的变化。塑性成形过程计算机数值模拟第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法4.4弹塑性矩阵应力与应变的关系有各种不同的近似表达式和简化式。根据普兰特尔—罗伊斯（Prandtl-Reuss）假设和密赛斯屈服准则，当外作用力较小时，变形体内的等效应力小于屈服极限时为弹性状态。当外力增大到某一值，等效应力达到屈服应力，材料进入塑性状态，这时变形包括弹性变形和塑性变形两部分，即：式中下脚e、p分别表示弹、塑性状态。