第八讲--吸引子与混沌

非线性力学导论8.1吸引子这一讲从介绍吸引子入手，引出混沌的定义。由于混沌的现象太复杂，迄今为止没有统一的定义，所以我们从介绍混沌的一些特征入手，举出两个经典的混沌例子，最后给出诸多的混沌定义中的一个(离散系统，8.7.2节)8.1吸引子定义8.1若某一点附近的相体积随时间的变化而缩小，称为吸引子。考虑平行微六面体，其体积为。其位移函数为。经时刻后，，：：从而dddxyz,,uvwtOABCOABC图8.1(,,)xuyvzwOA(dd,d,d)uvxxuxyvxxxwzwxx(1,,)duvwOAxxxx8.1吸引子类似地此时平行六面体的体积为(,1,)d(,,1)duvwOByyyyuvwOCzzzzOABC11ddd1uvwxxxuvwVVxyzyyyuvwzzz8.1吸引子其相对体积增加为，从而按定义，对耗散系统来说所以吸引子只对耗散系统成立。()VuvwosVxyz222sxyzdduvwxyztxyzxyzd0dt（8.1）8.1吸引子耗散系统有四种吸引子(具体说明见8.2.1节)：A.不动点式的定常吸引子：一维系统中稳定的不动点，二维系统的稳定结点和焦点；B.周期吸引子；C.准周期吸引子；D.混沌吸引子。下面举三个力学耗散系统的例子。8.1吸引子（1）有阻尼的单摆运动则（2）VanderPol方程02sind20dt22022(1)cxyxyxya8.1吸引子则（3）强迫耗散的Duffing方程这里通过引入新变量化为自治系统。220d2(1)d0cccxaxtaxa223002cosxyyyxxAzzzd20dt8.2连续系统8.2.1连续系统的吸引子设系统为（8.2）在某平衡点附近可展为，(,,)(,,)(,,)xFxyzyGxyzzHxyz(,,)xyzFxFyFzGxGyGzHxHyHzxxyyzz8.2连续系统则可得三个特征值与特征方向：。所以（8.3）该平衡点为吸引子。现进一步将其分类如下：A.定常吸引子：，所有方向都是收缩的。B.周期吸引子：，意味着在方向上作周期运动，而其他方向是收缩的。(,),1,2,3iiin123dRe()Re()Re()0dFGHtxyzRe()0,1,2,3ii123Re()0,Re()0,Re()01n8.2连续系统C.准周期吸引子：，即只在方向上收缩，而其他方向上作周期运动。D.混沌吸引子：(或；或）。它是整体稳定（且是一有界映射），而局部不稳定（伸长与折叠）。123Re()Re()0,Re()03n123Re()0,Re()0,Re()02Re()0,3Re()0123Re()0,Re()0,Re()0d0dt1Re()0,8.2连续系统8.2.2连续系统的Lyapunov指数我们还可以用Lyapunov指数来描述吸引子的一个重要特征：刻划两个临近轨道之间发散或收缩的速率。(1)一维比较两个临近轨道和，则相对变化率为d()dxFxt()xt()()xtxtd()()()dxFxxFxFxxt8.2连续系统定义8.2连续系统的Lyapunov指数定义为（8.4）由定义8.2可知∶A.当时，。这意味着从总体上来说，当时，两个01d()d()ln()d(0)txFxxtxtFxtx01()1()limlnlimRe(())d(0)tttxtxFxttxtt()()(0)xtxtex()0x8.2连续系统临近轨道之间距离趋向零；而当时，两个临近轨道之间距离会越来越大。B.Lyapunov指数与轨道本身有关，不同轨道具有不同的Lyapunov指数。当为平衡点时，则C.Lyapunov指数是刻划两个积分曲线之间（同步）发散或收缩的速率，而不是轨道本身发散或收缩的速率。()0x*xx***01()limRe(())dRe()Re(())txxtxFxtFFxt8.2连续系统(2)二维这是在单向Lyapunov指数(定义8.2)基础上导出的（为简单起见，假定限制在实数域内）。从而（8.5）1dd1ddxFxtxyGyty10201limd1limdttttFttxGtty8.2连续系统这里定义的二维问题Lyapunov指数，是指沿和方向的两个单向Lyapunov指数。我们还可以定义另一种二维Lyapunov指数-面积Lyapunov指数：面积变化为而xyAxy,FFFFxxyxxxyxyJJGGyyGGyxyxyxy8.2连续系统所以面积变化率为FGAxyxyxyxy120011d1limdlimddttttAFGtttAttxy（8.6）和两个单向Lyapunov指数不同，面积Lyapunov指数为负(收缩）,不能保证面积元在每个方向都是收缩的。8.3离散系统8.3.1一维定义8.3记由复合函数微分公式可得则定义（8.7）为离散系统的Lyapunov指数。在稳定的不动点处，；对于稳定的周期的解：，也有。210210(),()(),xFxxFxFx0110000d()dddddddnnnxxxFxFFFxxxxxxx1000d()11()limlnlimlndnnknnkxFxxnxnx*x0m()mnnxFx08.3离散系统8.3.2二维，设的特征值为，则可定义1011010nnnnnnxxxJJJyyy,kkkxxyyFFxyJGGxy10nJJJ12,11221limln1limlnnnnn为两个Lyapunov指数，注意这里对应的不是方向，而是特征方向（渐近）。,xy8.3离散系统从而对守恒系统：对耗散系统：，可以和连续系统同样讨论。121211limlnlimlndetnnJnn12120det1,11J120（8.8）8.4混沌的特征通常人们所说的混沌是指在确定性非线性系统中形式上混乱的非周期运动,它往往呈现出下列特征：(1)初值敏感性初始条件的微小差别最终导致根本不同的现象。(2)伸长与折叠伸长是局部不稳定引起点间距离扩大；折叠是整体稳定所形成的点之间距离的限制,如在1.1节中介绍的Logistic映射和8.6节中的Henon吸引子均具有这一特点。8.4混沌的特征(3)具有丰富的层次和自相似结构如Logistic映射形成的混沌中，混沌所在的区域有很丰富的内涵，它绝不能等同于随机运动。混沌区域内有稳定周期解的窗口，而窗口内还有混沌,……;这种结构无穷多次重复着，并具有各态历程和层次分明的特性。同时伸长与折叠使混沌运动具有大小不同的各种尺度，构成自相似结构(见第9讲)。(4)非线性耗散系统中存在混沌吸引子在耗散系统中有混沌和混沌吸引子；在保守系统中只有混沌，但没有混沌吸引子(KAM定理)。通常吸引子的所有Lyapunov指数为负，而混沌吸引子的体积Lyapunov指数为负、但某个Lyapunov指数为正，反映局部不稳定和全局稳定的特点。混沌吸引子只能用分数维表征，即所有的轨道均趋向容量维（面积或体积）为零的集合。8.5Lorenz吸引子（连续系统）大气动力学的基本方程可简化为：（8.9）首先，体积变化率为从而(8.9)是三维耗散系统。xbxyzyyzzyzxy,,0bd10dVxyzFbtxyz8.5Lorenz吸引子（连续系统）现求(8.9)的平衡点。由方程解得：一个平衡点；：共三个平衡点。2,,1010,,yzbxzyyxbxxybxzy10zyx10;1,1xyzxyzb8.5Lorenz吸引子（连续系统）8.5.1当其特征值为从而稳定不稳定的鞍点0zyx100001bJ2112,32,1141sbs1231:0,0,0,sss1231:0,0,0,sss（8.10）这样按前面定义∶为叉式分支点，即当通过1时，出现两个新的平衡点。0,1xyz8.5Lorenz吸引子（连续系统）8.5.2当时其它两个平衡点由于用代替，不变，则原方程不变，所以的稳定性是一致的，其对应的Jacobi矩阵为1:1,1,1,Pbb:1,1,1Pbb,yz,yzx,PP211111bbbJb8.5Lorenz吸引子（连续系统）其特征多项式均为（说明稳定性一致）化为标准形(附录2)式中：321210sbsbsb30spsq2133123271,132111bsspbbqbbbb其判别式为（8.10）由满足的方程可知，由于所有系数为正，所以其实根必定为负。42723qpDs8.5Lorenz吸引子（连续系统）以下的数值例子均取则当时，，从而特征方程有三个实根，均为负数，即均为稳定的。8310,b11.34560D,PP8.5Lorenz吸引子（连续系统）8.5.3当此时，由特征方程解在复数域中连续依赖系数(这里为)可知，当稍许超过时，。而当更大时，特性会变化。此外，据特征根定义1102,30,rissssis10rs12orbss222orribssss2221oribsss8.5Lorenz吸引子（连续系统）A.…从鞍点出发，趋向同侧或(异宿轨道)。(图8.2)1213.9656PP图8.28.5Lorenz吸引子（连续系统）B.从鞍点出发，同宿分岔。(图8.3).2图8.38.5Lorenz吸引子（连续系统）C.…从鞍点O出发到另一侧焦点,有不稳定的极限环出现(超临界Hopf分岔)。(图8.4).2324.06图8.48.5Lorenz吸引子（连续系统）D.…仍稳定，但为混沌吸引子，即轨道一会进极限环，一会又出来，但总趋势接近。(图8.5).图8.53424.7368,PP8.5Lorenz吸引子（连续系统）E.开始变成不稳定，即，由此可求出，此时，原不稳定极限环收缩到焦点，出现亚临界的Hopf分岔。(图8.6).图8.6,PP,PP40rs736