搜索
南昌航空大学焊接研究所陈益平第二章自动控制的数学基础§2.1概述数学模型：描述控制系统内部各物理量(或变量)之间关系的数学表达式。反映系统输入、输出和内部状态之间的逻辑结构和数学关系。表达形式：微分方程(差分方程)、传递函数、状态方程。控制算法：实现某种控制规律的一套算式。一、数学模型的分类静态模型：描述系统运动过程各物理量(或变量)不随时间变化的代数方程。即变量对时间的各阶导数均为0。动态模型：描述系统运动过程各物理量(或变量)随时间变化的微分方程。即系统的各物理是时间t的函数。二、数学模型的建立1、思路1)、分析生产过程，确定系统模型的范围2)、明确建立模型的目的----要解决的问题3)、确定过程变量2、步骤1)、由系统或元件的工作原理，确定输入量和输出量及中间变量。2)、根据支配的输出量和输入量内在联系的物理、化学定律或统计规律，列出系统或元件的原始方程式。3)、消去原始方程式中的中间变量，求得描述输入量和输出量之间的函数方程式。3、方法1)、工艺理论分析：通过对象的物理、化学等规律及内在机理的分析及计算，确定各变量之间的函数关系----基础2)、利用正常操作数据作统计分析3)、有计划的做因子试验----试验设计法4)、混合法5)、生产经验、经验数据和经验公式§2—2傅里叶变换和拉普拉斯变换一、傅里叶变换1、傅里叶级数：周期函数的傅里叶级数(简称傅氏级数)是由正弦和余弦函数组成的三角级数。周期为T的任一周期函数f(t)，若满足下列狄里赫莱条件：1)在一个周期内只有有限个不连续点；2)在一个周期内只有有限个极大和极小值；3)积分∫|f(t)|dt存在，则f(t)可展开为如下傅里叶级数f(t)=a0/2+∑(ancosωt+bnsinωt)式中系数an和bn由下式给出：an=2/T∫f(t)cosωtdtbn=2/T∫f(t)sinωtdtω=2π/T称为角频率周期函数f(t)的傅氏级数还可以写成复数(指数)形式f(t)=∑anejωt式中系数an和bn由下式给出：an=1/T∫f(t)ane-jωtdt2、傅里叶积分和傅里叶变换对于非周期函数----傅里叶积分F(ω)、f(t)两个积分式称为傅里叶变换对，F(ω)称为f(t)的傅氏变换记为：F(ω)=F[f(t)]f(t)称为F(ω)的傅氏反变换记为：f(t)=F-1[F(ω)]二、拉普拉斯变换1、拉普拉斯变换设f(t)是实变数t的函数，当t0时，f(t)=0，则拉氏变换定义为：L[f(t)]=∫0∞f(t)e-stdt=F(s)F(s)称为f(t)的拉氏变换，也称为象函数记为：F(s)=L[f(t)]f(t)称为F(s)的拉氏反变换，也称为原函数记为：f(t)=L-1[F(s)]2、拉氏变换的基本性质1)线性性质2)微分性质3)积分性质4)初值定理5)终值定理6)位移定理7)卷积定理§2—3传递函数传递函数：系统在复数域的数学模型定义：在零初始条件下，系统(或元件)输出量与输入量的拉氏变换之比。传递函数：G(s)输出量输入量xbxbxbxbyayayayatmtmmtmttntnntnt)(')(1)1()(1)()(0)(')(1)1()(1)()(0++++=++++−−−−LLLLyt)(xt)(传递函数：零初始条件的含义：①输入量是在t=0以后才作用于系统，因此，系统输入量及其各阶导数在t=0时的值均为0。②输入作用前系统是相对静止的，因此，系统输出量及其各阶导数在t=0时的值均为0。传递函数的性质：①传递函数只与系统或元件本身的内部结构参数有关。②传递函数是变量S的有理真分式，即m≤n，而且所有系数都为实数。③一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应。aSaSaSabSbSbSbXYGnnnnmmmmsss+−−−−+++++++==11101110)()()(LLLL图为一电阻、电感、电容中联网络，其中u为输入电压，求以电容两端电压uc为输出的微分方程。根据基尔霍夫定律:在零初始条件下,进行拉氏变换:传递函数:()∫∫==++)()(1)()(1)(tVdttiCtVdttiCLtRiOIdttdi)()(1)()(1)()(sVosICSsVsICSsLSIsRII==++()()112++=RCSLCSsVsVoI§2—4方框图及其变换一、方框图控制方框图是表示自动控制系统中信号传递的图形。G(s)R(s)C(s)C(s)=R(s)·G(s)方框图单元线性定常控制系统的方框图组成：方框、信号线、比较点、分支点1、方框：表示进行信号变换G(s)X(s)Y(s)x(t)y(t)2、信号线：表示信号传递的方向3、比较点（加、减点）：代表两个或两个以上的信号进行加、减比较X(s)x(t)X(s)x(t)X(s)x(t)x(t)X(s)●○X(s)x(t)X(s)±Z(s)x(t)±z(t)z(t)Z(s)±4、分支点（引出点）：表示把一个信号分两路或多路取出例：前述R-L-C无源网络的方框图按上两式，画出单元方框图)()()(][)()(sCSVosIsILSRsVosVI=+=−○VI(s)Vo(s)－1/(R+LS)I(s)1/CSI(s)Vo(s)○VI(s)Vo(s)－1/(R+LS)I(s)1/CSVo(s)●VI(s)1/(LCS2+RCS+1)Vo(s)整体：11)()()(2++==RCSLCSsVsVosGI1、串联变换Y(s)二、方框图的变换Z(s)G2(s)Y(s)G1(s)·G2(s)G1(s)X(s)Z(s)X(s)G2(s)Y(s)G1(s)±G2(s)G1(s)Y1(s)X(s)Y2(s)○±Y(s)Y(s)X(s)H(s)Y(s)G(s)1±G(s)·H(s)G1(s)E(s)X(s)○±Z(s)2、并联变换3、反馈连接变换§2—5采样系统的数学表达式一、采样系统用计算机为控制装置核心的控制系统叫做计算机控制系统。特点：采样控制系统e(t)Y(t)X(t)A/D对象保持器D/A计算机C(t)C﹡(t)e﹡(t)计算机控制系统原理框图二、信号的采样采样过程：连续信号经采样器后变换成离散信号的过程用来实现采样过程的装置称为采样器或采样开关。采样器可以用一个按一定时间闭合和断开的开关来表示，该段时间称为采样周期T，每次闭合时间为e；通常采样持续时间远小于采样周期T。三、信号的保持保持过程：离散信号经保持器后变换成连续信号的过程保持器是一种采用时域外椎原理的装置。通常把采用恒值外椎规律的保持器称为零阶保持器，把采用线性外推规律的保持器称为一阶保持器。