高三数学立体几何历年高考题(2011年-2017年)

1高三数学立体几何高考题1.（2012年7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6（B）9（C）12（D）182.（2012年8）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为（A）6π（B）43π（C）46π（D）63π3.(2013年11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π4.(2013年15)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为______．5.(2014年8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱6.(2014年10)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.81π4B．16πC．9πD.27π47.(2015年6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛8.(2015年11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620，则r()（A）1（B）2（C）4（D）89（2016年7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π10（2016年11）平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，11//CBD平面,ABCDm平面，11ABBAn平面，则m，n所成角的正弦值为（A）32（B）22（C）33（D）1311．(2017年6)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是12．（2017年16）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径。若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________。213(2011年).如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，60DAB，2ABAD，PD底面ABCD．（I）证明：PABD；（II）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．14.(2012课标全国Ⅰ)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA1，D是棱AA1的中点(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。15.(2013课标全国Ⅰ)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．316(2014课标全国Ⅰ)如图1­1所示，三棱柱ABC­A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.(1)证明：AC1⊥A1B；(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1-AB-C的大小．17.(2015年新课标1)如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BEABCD平面，(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若120ABC，,AEEC三棱锥EACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积.418(2016年新课标1)如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.（I）证明：G是AB的中点；（II）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．PABDCGE19(2017年新课标1)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90BAPCDP（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC,90APD,且四棱锥P-ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积.5高三数学立体几何高考题答案1.答案：B2.答案：B3.解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．V半圆柱＝12π×22×4＝8π，V长方体＝4×2×2＝16.所以所求体积为16＋8π.故选A.4.解析：如图，设球O的半径为R，则AH＝23R，OH＝3R.又∵π·EH2＝π，∴EH＝1.∵在Rt△OEH中，R2＝22+13R，∴R2＝98.∴S球＝4πR2＝9π2.5.答案：B6．A[解析]如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以AE＝12AC＝2.设球心为O，球的半径为R，则OE＝4－R，OA＝R.又因为△AOE为直角三角形，所以OA2＝OE2＋AE2，即R2＝(4－R)2＋2，解得R＝94，所以该球的表面积S＝4πR2＝4π942＝81π4.7.答案：B8.答案：B9.试题分析：由三视图知：该几何体是78个球，设球的半径为R，则37428VR833，解得R2，所以它的表面积是22734221784，故选A．10试题分析：如图 m,n所成角的正弦值为3211.答案：A12答案：36π13解：（Ⅰ）因为60,2DABABAD，由余弦定理得3BDAD从而BD2+AD2=AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD.故PABD（Ⅱ）如图，作DEPB，垂足为E。已知PD底面ABCD，则PDBC。由（Ⅰ）知BDAD，又BC//AD，所以BCBD。故BC平面PBD，BCDE。则DE平面PBC。由题设知，PD=1，则BD=3，PB=2，根据BE·PB=PD·BD，得DE=23，即棱锥D—PBC的高为.231415．1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝3.又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋21OA，故OA1⊥OC.因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.6PABDCGE16．解：方法一：(1)证明：因为A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，故平面AA1C1C⊥平面ABC.又BC⊥AC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，所以BC⊥平面AA1C1C.连接A1C，因为侧面AA1C1C为菱形，故AC1⊥A1C.由三垂线定理得AC1⊥A1B.(2)BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1.作A1E⊥CC1，E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1.又直线AA1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E＝3.因为A1C为∠ACC1的平分线，故A1D＝A1E＝3.作DF⊥AB，F为垂足，连接A1F.由三垂线定理得A1F⊥AB，故∠A1FD为二面角A1­AB­C的平面角．由AD＝AA21－A1D2＝1，得D为AC中点，所以DF＝55，tan∠A1FD＝A1DDF＝15，所以cos∠A1FD＝14.所以二面角A1­AB­C的大小为arccos14.17、解：（I）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.……5分（II）设AB=x，在菱形ABCD中，又∠ABC=o120，可得AG=GC=32x，GB=GD=2x.因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可的EG=32x.由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形，可得BE=22x.由已知得，三棱锥E-ACD的体积EACDV=13×12AC·GD·BE=366243x.故x=2……9分从而可得AE=EC=ED=6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.……12分18试题分析：（1）ABCPD底面PDABEPABD内的投影为在PABDE平面ABDEDPDDEPDGAB平面PGAB为正三棱柱ABCPPBPA的中点为中，在ABGPAB（II）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又//EFPB,所以EFPAEFPC，,因此EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影.连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心.由（I）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故2.3CDCG由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以//DEPC，因此21,.33PEPGDEPC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA，可得2,22.DEPE在等腰直角三角形EFP中，可得2.EFPF所以四面体PDEF的体积114222.323V19.【解析】（1）由已知90BAPCDP∠∠，得ABAP,CDPD.由于ABCD∥，故ABPD，从而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.（2）在平面PAD内作PEAD，垂足为E.由（1）知，AB平面PAD，故ABPE，可得PE平面ABCD.设ABx，则由已知可得2ADx，22PEx.故四棱锥PABCD的体积31133PABCDVABADPEx.由题设得31833x，故2x.从而2PAPD，22ADBC，22PBPC.可得四棱锥PABCD的侧面积为21111sin606232222PAPDPAABPDDCBC.