人教版七年级数学下第八章-二元一次方程组归类总结

最权威的信息最丰富的资源最快捷的更新最优质的服务最真诚的交流第八章二元一次方程组【基础知识疏理】1．二元一次方程含有个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的方程叫作二元一次方程。2．二元一次方程的一个解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解。温馨提示：二元一次方程的的解有无数个，但在限定条件的情况下，它的解会变成有限个或一个.如求方程x+y=2的正整数解只有一个，即.3．二元一次方程组和二元一次方程组的解（1）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的，叫作这个二元一次方程组的解。4．二元一次方程组的解法有:和.⑴代入法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。规律点拨一般来说，用代入法解二元一次方程组的步骤如下：①求表示式：从方程组中选一个系数比较简单的方程（最好是系数为1），将此方程中一个未知数，例如y用含x的代数式表示出来，如写成y=ax+b的形式；②代入消元：将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程；③解一元一次方程：求出x的值；④回代得解：将求出的x的值代入y=ax+b中，求出y的值。⑵加减法：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法。规律点拨用加减法解二元一次方程组的步骤如下：最权威的信息最丰富的资源最快捷的更新最优质的服务最真诚的交流①变换系数：即把一个方程或两个方程的两边都乘以适当的数，变换两个方程的某一个未知数的系数，使其绝对值相等；②加减消元：即把变换系数后的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④回代得解：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解。温馨提示：在解方程组之前，首先看选择哪种方法较为恰当，其次再看消去哪个未知数较为简便，采用适当的方法和步骤是非常重要的。用代入法的关键是将一个未知数用另一个未知数的代数式表示，然后代入另一个方程消去这个未知数；当上述变换和代入计算量不大时，选用代入法。如果两个方程中某一个未知数的系数成倍数关系或化为绝对值相同的系数，各自乘以的数不大，若符号相同就用减法；若符号相异就用加法。特别注意用减法时，减去一个数等于加上这个数的相反数。【考点例析】一、考查方程组解的定义例1.已知方程组2,4byaxbyax的解为1,2yx，则ba32的值为（）.A.6B.4C.－4D.－6分析：根据方程组解的定义，1,2yx满足方程组中的每一个方程，将其代入后分别得到关于a和b为未知数的二元一次方程组，解这个方程组即可得a，b的值，进而求出ba32的值.解：方程组2,4byaxbyax的解为1,2yx，∴.22,42baba解这个方程组得.1,23ba∴2a-3b=232-3(-1)=6.故应选：A.在解方程组②①24155byxyax时，由于粗心，小李看错了方程组中的a而得到的解为13yx，小王看错了方程组中的b而得到解为45yx，试问：（1）小李把a错看成了什么？小王把b看成了什么？方程组中的工a，b的正确值分别是多少/（2）请你求出原方程组的解.分析：小李的解13yx是由于看错了a而得到的，由此可以知道此解一定满足24byx，则b值可求，同样也能得到a的错误值；而小王看错了b，而得到解为45yx，由解意义也能得到a的正确值与b的错误值，从而使问题得解.解：（1）依题意，得：将13yx分别代入方程组①、②可求得a的错误值为320，b的正确值为10；同理，将45yx也分别代入方程组①、②可求得a的正确值为－1，而b的错误值为211.（2）由上题求出的值，可以知道原方程组应为：2104155yxyx，解这个方程组，得：52914yx.二、构造二元一次方程组解题例3.已知代数式1312axy与23babxy是同类项，那么a、b的值分别是（）B.21abC21abD.21ab分析：本题可根据同类项的定义，构造关于a和b的二元一次方程组，从而求出a、b的值.解：由同类项的定义，得.23,1baba解这个方程组得.1,2ba故应选：A.三、考查方程组的解法例4.解方程组：233511xyxy（１）（２）　　　　　　　　　　　分析：观察方程组未知数的系数的特点，本题可由⑴5+⑵消元y求解，也可以由⑴得y=3-2x代入⑵消去y求解.解：⑴5+⑵，得13x=26.x=2.把x=2代入⑴，得y=-1.∴原方程组的解为.1,2yx说明：另一种解法请同学们试一试.四、开放性问题例5.（1）请你编织一个有2,1yx这个解且未知数系数不是1的二元一次方程.（2）如下图，在33的方格内，填写了一些代数式和数．①在图1中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出x，y的值；②把满足①的其它6个数填入图2中的方格内．234y23（图1）（图2）32xy3最权威的信息最丰富的资源最快捷的更新最优质的服务最真诚的交流分析：这是一组考查学生开放性思维能力的优秀试题，答案均不为一.（1）题是已知方程的解来构造二元一次方程；（2）题是由图表来构造二元一次方程组，进而求出x、y的值.解：（1）2x+3y=8(符合要求的其他答案也可以).（2）①由已知条件可得：234345xyyy，．解得11xy，．（本题列方程组具有开放性，只要列、解方程组正确都可以）．②五、二元一次方程的正整数解例6.（’09荆州）星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完．(1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？(2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？分析：本题主要利用二元一次方程的正整数解来设计购买方案问题，对于二元一次方程的正整数解通常根据实际问题求出各个量的范围，然后再利用整除问题求解；或利用奇偶性问题求解也很方便.解：(1)设买可乐、奶茶分别为x、y杯，根据题意得2x＋3y＝20(且x、y均为自然数)∴x＝2032y≥0解得y≤203∴y＝0，1，2，3，4，5，6．代入2x＋3y＝20并检验得10,0;xy7,2;xy4,4;xy1,6.xy所以有四种购买方式，每种方式可乐和奶茶的杯数分别为：(亦可直接列举法求得)10，0；7，2；4，4；1，6．(2)根据题意：每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，即y≥2且x＋y≥8由(1)可知，有二种购买方式．六、考查二元一次方程组的应用233251014在社会主义新农村建设中，某村积极响应党的号召，大力发动农户扩大烟叶和蔬菜的种植面积，取得了较好的经济效益．今年该村烟叶和蔬菜的种植面积比去年增加了800亩，其中烟叶种植面积增加了20%，蔬菜种植面积增加了30%，从而使该村的烟叶和蔬菜种植面积共达到了4200亩．问该村去年种植烟叶和蔬菜的面积各是多少亩？分析：本题是有关增收节支问题，根据两个相等关系：①去年种植烟叶面积亩数+去年种植蔬菜面积亩数=4200-800；②今年种植烟叶增加的面积亩数+今年种植蔬菜增加的面积亩数=800，来列二元一次方程组求解.解：设该村去年种植烟叶和蔬菜面积各为x亩，y亩，依题意，得：.800%30%20,8004200yxyx解这个方程组，得.1200,2200yx答：该村去年种植烟叶和蔬菜的面积各是2200亩，1200亩．【点对点练习】1．已知方程组42axbyaxby，的解为21xy，，则23ab的值为_____________．2.（’09江西省）方程组233xyxy，的解是（）A．12xy，．B．21xy，．C．11xy，．D．23xy，．3．（’09山东省）若关于x，y的二元一次方程组kyx,kyx95的解也是二元一次方程632yx的解，则k的值为()（A）43（B）43（C）34（D）344.方程5xy的非负整数解有（）C（A）4组．（B）5组．（C）6组．（D）7组．（’09江苏）一辆汽车从A地驶往B地，前13路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h．请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组．．．．．．．解决的问题，并写出解答过程．8.某人从绥化驱车赶往哈尔滨共用2小时，绥化至哈尔滨全程为120km，全程分为公路和市区道路两部分，在公路上行驶的平均速度为80km/h，在市区道路上行驶的平均速度为40km/h．根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组一部分如下：甲：1208040xyxy乙：8040xy　　　　　＝（1）请你在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组．（2）求这个人在公路上驱车行驶的时间．最权威的信息最丰富的资源最快捷的更新最优质的服务最真诚的交流参考答案：【基础知识疏理】1.两，1;2.x=1，y=1;3.公共解;4.代入法,加减法.【点对点练习】1．6；2.B3．B4．C5.C6．解：（1）设所求一次函数的解析式为y＝kx＋b，则500028500,800036000.kbkb解得k＝52，b＝16000。∴所求的函数关系式为y＝52x＋16000。（2）∵48000＝52x＋16000．∴x＝12800．答：能印该读物12800册．7.本题答案不惟一，下列解法供参考．解法一问题：普通公路和高速公路各为多少千米？解：设普通公路长为xkm，高度公路长为ykm．根据题意，得22.2.60100xyxy，解得60120xy，．答：普通公路长为60km，高速公路长为120km．解法二问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时？解：设汽车在普通公路上行驶了xh，高速公路上行驶了yh．根据题意，得2.2602100.xyxy，解得11.2.xy，答：汽车在普通公路上行驶了1h，高速公路上行驶了1.2h．解：⑴12028040xyxy；80401202xyx+y＝⑵由乙同学所列方程组可知，x小时为车在公路上行使的时间。解得，x=1答：这个人在公路上驱车行驶的时间为1小时.