最新(北师大版)数学必修二优秀精品公开课课件：2.1.2.1直线方程的点斜式

1.2直线的方程第1课时直线方程的点斜式问题引航1.直线的点斜式方程是什么？2.直线的斜截式方程是什么？两种形式的方程能表示所有的直线吗？3.直线的截距指的是什么？1.直线的点斜式与斜截式方程点斜式斜截式已知条件点P0(x0，y0)和斜率k斜率k，直线与y轴的交点为(0，b)方程形式___________________图示适用条件斜率存在y-y0=k(x-x0)y=kx+b2.直线的截距(1)条件：直线的斜截式方程_______.(2)结论：__叫做直线y=kx+b在y轴上的截距.y=kx+bb1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的任何直线.()(2)直线l的斜率为k，与x轴交点的横坐标为b，则直线方程可表示为y=kx+b.()(3)经过点P(x0，y0)的直线有无数条，这无数条直线都可写出点斜式方程.()【解析】(1)正确.不垂直于x轴的任何直线都有斜率，所以都能用点斜式或斜截式表示.(2)错误.在斜截式中b为直线在y轴上的截距.(3)错误.过点P(x0，y0)的直线有无数多条，当倾斜角为90°时没有点斜式方程.答案：(1)√(2)×(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)直线l的点斜式方程是y+2=3(x+1)，则直线l的斜率是________.(2)直线y=2x-3的斜率是________，在y轴上的截距是________.(3)经过点P0(x0，y0)且平行于x轴(即垂直于y轴)的直线方程是________；平行于y轴(即垂直于x轴)的直线方程是________.【解析】(1)直线l过点(-1，-2)，斜率为3.答案：3(2)斜率是2；在y轴上的截距是-3.答案：2-3(3)平行于x轴的直线斜率为0，由直线的点斜式方程得y=y0；平行于y轴的直线斜率不存在，所以直线方程为x=x0.答案：y=y0x=x0【要点探究】知识点1直线的点斜式方程与斜截式方程1.点斜式与斜截式的联系及区别(1)联系：①直线的点斜式方程和斜截式方程是直线方程的两种不同形式，都可以看成直线上任意一点(x，y)的横坐标x和纵坐标y之间的关系等式，即都表示直线.②直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况.它们都不能表示斜率不存在的直线.(2)区别：①直线的点斜式方程是用直线的斜率k和直线上一点的坐标(x0，y0)来表示的，同一条直线的点斜式方程有无数个.②直线的斜截式方程是用直线的斜率k和该直线在y轴上的截距b来表示的，同一条直线的斜截式方程是唯一的.2.点斜式与斜截式的选择条件(1)点斜式的选择条件：①已知斜率(或直线的倾斜角)；②已知直线上一点可设点斜式方程.(2)斜截式的选择条件：①已知在y轴上的截距；②已知斜率可设斜截式方程.【知识拓展】直线方程与一次函数的关系当直线用斜截式方程表示时，其方程就是函数解析式，斜截式方程与一次函数的表达式相同，但有区别：一次函数y=kx+b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程，斜截式方程中k=0时，不表示一次函数.【微思考】(1)方程y-y0=k(x-x0)与方程=k表示的直线是否相同？提示：不相同.前者表示整条直线，而后者表示少了点(x0，y0)的直线.(2)直线y=kx+2有什么特点？提示：直线y=kx+2过定点(0，2)，随着k的变化，直线绕点(0，2)作旋转运动.00yyxx【即时练】1.已知一直线经过点A(1，2)，则(1)倾斜角为45°的直线方程为________.(2)与x轴垂直的直线方程为________.(3)与x轴平行的直线方程为________.2.直线l的斜率为1，与y轴的交点是P(0，2)，则直线l的方程为______________.【解析】1.(1)因为直线的倾斜角为45°，所以其斜率k=tan45°=1，则直线的点斜式方程为y-2=x-1，即x-y+1=0.答案：x-y+1=0(2)因为直线与x轴垂直，所以其斜率不存在，故直线方程为x=1.答案：x=1(3)因为直线与x轴平行，所以其斜率为0，所以直线的点斜式方程为y-2=0(x-1)，即y=2.答案：y=22.由直线的斜截式方程得y=x+2.答案：y=x+2知识点2直线在y轴上的截距截距与距离的关系直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为0.当截距非负时，它等于直线与y轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数.【知识拓展】直线的纵横截距直线y=kx+b中的b叫直线在y轴上的截距，也可称为直线的纵截距，即当x=0时y=b.同样的，当y=0时，x的值为直线在x轴上的截距，可称之为直线的横截距.【微思考】(1)任何一条直线在y轴上都有截距吗？提示：不是，当直线垂直于x轴时，直线在y轴上的截距不存在.(2)直线y=2x+b有什么特点？提示：直线y=2x+b的方向不变，随着b的变化，直线作平行移动表示一组平行线.【即时练】1.直线x-y+1=0在y轴上的截距为________.【解析】直线的斜截式方程为y=x+1，所以在y轴上的截距为1.答案：12.斜率为2，在y轴上的截距为3的直线经过________象限.【解析】直线的斜截式方程为y=2x+3，所以直线过一、二、三象限.答案：一、二、三【题型示范】类型一求直线的点斜式方程【典例1】(1)经过点(3，1)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程为______________.(2)斜率为，与x轴交点的横坐标为-7的直线的点斜式方程为______________.(3)经过点A(2，3)，B(2，6)的直线方程为________.32【解题探究】1.题(1)中要确定点斜式方程还需要什么条件？2.题(2)中与x轴交点的横坐标为-7的实质是什么？3.题(3)中已知直线上的两点能确定直线的斜率吗？【探究提示】1.确定点斜式方程需要两个条件：一点与斜率，本题已知一点，还需要根据倾斜角求斜率.2.实质是直线与x轴交于点(-7，0).3.能，本题两点横坐标相等，其斜率不存在；当两点横坐标不相等时，可根据斜率公式求斜率，然后利用点斜式求直线方程.【自主解答】(1)设直线的倾斜角为α，因为α＝60°，k＝tanα＝tan60°＝，所以所求直线的点斜式方程为y-1＝，即.答案：(2)由直线与x轴交点的横坐标为-7，得直线过点(-7，0)．又斜率为，所以所求直线的点斜式方程为：答案：33(x3)3xy13303xy1330323y0x73x2y730.2＝，即3x2y730(3)因为点A，B的横坐标相等，所以直线垂直x轴，即直线的斜率不存在，所以直线方程为x=2.答案：x=2【方法技巧】1.求直线的点斜式方程的方法步骤2.求直线l的点斜式方程时的注意点(1)前提条件：只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程.(2)倾斜角为0°，即k=0时，这时直线l与x轴平行或重合，l的方程是y-y0=0.(3)倾斜角为90°时，直线无斜率，这时直线l与y轴平行或重合，l的方程是x-x0=0.【变式训练】求经过点(-3，-2)，倾斜角是30°的直线方程．【解析】k＝tan30°＝，故所求直线的方程为y＋2＝(x＋3)，即【误区警示】本题求斜率时易出现错误.33333x3y3360.【补偿训练】(1)求经过点(-，2)，倾斜角是60°的直线方程.(2)求经过点(10，3)且平行于x轴的直线方程.【解析】(1)k＝tan60°＝，故所求直线的点斜式方程为y-2＝，即(2)由直线与x轴平行，得直线的斜率k＝0.故所求直线的方程为y＝3.233(x2)＋3xy620．类型二直线的斜截式方程【典例2】(1)在y轴上的截距为5，且与x轴平行的直线方程为________.(2)直线l与直线l1：y=2x+6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，求直线l的方程.【解题探究】1.题(1)中直线的斜率存在吗？2.利用直线的斜截式求直线方程时，需要确定的条件是什么？【探究提示】1.存在，其斜率为0.2.直线的斜率与在y轴上的截距.【自主解答】(1)因为直线与x轴平行，所以直线的斜率为0，所以所求的直线方程为y=5.答案：y=5(2)由题意知，直线l在y轴上的截距为6，斜率为-2，故直线l的方程为y=-2x+6，即2x+y-6=0.【延伸探究】题(2)条件不变，求直线l与坐标轴围成的三角形的面积.【解析】由题(2)可知直线l的方程为y=-2x+6.如图，可求得三角形的面积为×3×6=9.12【方法技巧】1.直线的斜截式方程的求解策略(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示.(2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件.(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理如果已知截距b，只需引入参数k.2.对于直线的斜截式方程y=kx+b，根据k，b的不同情况，直线所过的象限kb直线特征k0b0仅过第一、二、三象限b=0仅过第一、三象限及原点b0仅过第一、三、四象限k0b0仅过第一、二、四象限b=0仅过第二、四象限及原点b0仅过第二、三、四象限k=0b0仅过第一、二象限b=0不过任何象限，为x轴b0仅过第三、四象限【变式训练】方程y=ax+表示的直线可能是()【解题指南】易知a≠0，可分a0与a0两种情况讨论.1a【解析】选B.直线y＝ax＋的斜率是a，在y轴上的截距是.当a0时，斜率a0，在y轴上的截距是0，则直线y＝ax＋过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a0时，斜率a0，在y轴上的截距是0，则直线y＝ax＋过第二、三、四象限，仅有选项B符合．1a1a1a1a1a1a【补偿训练】写出斜率为-2，且在y轴上的截距为t的直线的方程；求t为何值时，直线过点(4，-3)？并作出该直线.【解析】由直线方程的斜截式，可得方程为y=-2x+t.将点(4，-3)代入方程y=-2x+t，得-3=-2×4+t，解得t=5，故当t=5时，直线通过点(4，-3).直线y=-2x+5如图所示.【拓展类型】点斜式与斜截式的应用【备选例题】(1)不论m取何值，直线mx-y+m+3=0恒过定点________.(2)已知直线l经过点P(-2，3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程.【解析】(1)分离参数法：将方程mx-y+m+3=0转化为点斜式的形式y-3=m(x+1)可知，不论m取何实数，直线总过定点(-1，3).赋值法：因为无论m取何实数，直线总过定点(设为P)，所以当m=0，m=1时，直线-y+3=0与x-y+4=0也都过P.由解得定点P的坐标为(-1，3).答案：(-1，3)y30xy40－＋＝，－＋＝(2)显然，直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设其斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y-3＝k(x＋2)，令x＝0，得y＝2k＋3，令y＝0，得x＝，于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为即32k132k3(2)42k＋＝，32k3(2)8.k＋＋＝若则整理得4k2＋4k＋9＝0，无解．若则整理得4k2＋20k＋9＝0，解之，得k＝-或k＝-.所以直线l的方程为x＋2y-4＝0或9x＋2y＋12＝0.32k3(2)8k＋＋＝，32k3(2)8k＋＋＝，1292【方法技巧】直线点斜式和斜截式方程的应用(1)无论用直线的点斜式还是斜截式求直线的方程，都需要引入两个参数，前者需要引入斜率k和点P(x0，y0)，而后者需要引入斜率k和y轴上的截距b.(2)在求直线的方程时，往往采用“待定系数法”，即先设出参数，然后利用条件得到相应的方程.在应用中，体会方程的思想.(3)数形结合是数学的基本思想之一，在解决有关直线的问题时，结合图形利用平面几何的知识，往往能直观得到直线的特征(倾斜角、斜率、在y轴上的截距等)，这样