直线一级倒立摆MATLAB仿真报告

-1-1便携式倒立摆实验简介倒立摆装置被公认为是自动控制理论中的典型试验设备，是控制理论教学和科研中不可多得的典型物理模型。本实验基于便携式直线一级倒立摆试验系统研究其稳摆控制原理。1.1主要实验设备及仪器便携式直线一级倒立摆实验箱一套控制计算机一台便携式直线一级倒立摆实验软件一套1.2便携式倒立摆系统结构及工作原理便携式直线一级倒立摆试验系统总体结构如图1所示：图1便携式一级倒立摆试验系统总体结构图主体结构包括摆杆、小车、便携支架、导轨、直流伺服电机等。主体、驱动器、电源和数据采集卡都置于实验箱内，实验箱通过一条USB数据线与上位机进行数据交换，另有一条线接220v交流电源。便携式直线一级倒立摆的工作原理如图2所示：图2便携式一级倒立摆工作原理图数据采集卡采集到旋转编码器数据和电机尾部编码器数据，旋转编码器与摆杆同轴，电机与小车通过皮带连接，所以通过计算就可以得到摆杆的角位移以及小车位移，角位移差分得角速度，位移差分可得速度，然后根据自动控制中的各种理论转化的算法计算出控制量。控制量由计算机通过USB数据线下发给伺服驱动器，由驱动器实现对电机控制，电机尾部编码器连接到驱动器形成闭环，从而可以实现摆杆直立不倒以及自摆起。-2-2便携式倒立摆控制原理方框图便携式倒立摆是具有反馈功能的闭环系统，其控制目标是实现在静态和动态下的稳摆。当输入量为理想摆角，即∅𝑔=0时，偏差为0，控制器不工作；当输入量不为理想摆角时，偏差存在，控制器做出决策，驱动电机，使小车摆杆系统发生相应位移，输出的摆角通过角位移传感器作用于输出量，达到减小偏差的目的。根据控制原理绘制出控制方框图如图3所示：图3便携式一级倒立摆控制原理方框图3建立小车-摆杆数学模型便携式倒立摆系统主要由小车、摆杆等组成，它们之间自由连接。小车可以在导轨上自由移动，摆杆可以在铅垂的平面内自由地摆动。在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将便携式倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的刚体系统，在惯性坐标内应用经典力学理论建立系统的动力学方程，采用力学分析方法建立小车-摆杆的数学模型。将其置于平面坐标系后其结构图如图4所示，规定逆时针方向的转角和力矩均为正。图4便携式倒立摆结构图模型参数符号如下：𝑀:小车质量；𝑚:摆杆质量；𝐼:摆杆转动惯量；𝑙:摆杆质心到转轴的距离；𝐿:摆杆长度；𝐹:外加在小车上的力；𝑁:摆杆给小车的力；𝑃:小车给摆杆的支持力；∅:转角；𝑥:小车位置；𝑏:小车与导轨间的摩擦系数。3.1确定系统输入输出量及中间变量：输入量：𝐹:加在小车上的力输出量：∅:转角中间变量：𝑥:小车位置-3-3.2受力分析，列写运动方程：小车水平方向所受合力：..FbxNMx（1）摆杆水平方向所受合力：22(sin)dNmxldt（2）由（2）得：2.....cossinNmxmlml（3）将（3）代入（1）得到系统第一个运动方程：2......()cossinMmxbxmlmlF(4)摆杆垂直方向的合力：22(cos)dPmgmldt（5）由（5）得：2...sincosPmgmlml（6）摆杆对质心的力矩平衡方程：..sincosIPlNl（7）从(3)、(6)、(7)中消去P和N，得到系统第二个运动方程：....2()sincosImlmglmlx（8）综上所述，系统的两个运动方程为（4）式和（8）式：{2......()cossinMmxbxmlmlF....2()sincosImlmglmlx3.3系统非线性方程的线性化：因为倒立摆摆杆旋转角度不会太大，即θ≪1（1为弧度），可以做近似处理，即在稳定点附近线性化。系统平衡工作点(𝐹0,∅0)为(0,0)，可得：2sin,cos1,0.倒立摆系统的线性化模型为：{.....()MmxbxmlF....2()Imlmglmlx3.4零初始条件下的拉氏变换：-4-{22()()()()()MmsXsbsXsmlssFs222()()()()ImlssmglsmlXss3.5代入参数求解传递函数：已知的系统物理参数：小车的质量𝑀：0.618kg摆杆的长度𝐿：0.350m摆杆的质量𝑚：0.0737kg摆杆质心到转轴距离𝑙：0.1225m将数据代入数学模型中求得摆杆角度对小车位移的传递函数：∅(s)𝑋(𝑠)=6.122𝑠2𝑠−604校正前系统性能MATLAB仿真分析4.1稳定性分析：在MATLAB中输入如下代码，可绘制出校正前系统开环Nyquist图如图5：num=[6.122];den=[10-60];nyquist(num,den)图5校正前系统开环Nyquist图由图分析知，系统开环右极点数𝑃=1，𝑁=0。根据𝑍=𝑃+𝑁的公式知𝑍=1，系统不稳定。4.2阶跃响应分析：在MATLAB中输入如下代码，可绘制出校正前系统阶跃响应曲线图如图6：s=tf('s')G=6.122/(s^2-60);GB=G/(1+G);step(GB)-5-图6校正前系统阶跃响应曲线图由图分析知，系统的阶跃响应值不随时间的增加而衰减，呈现不断发散的趋势，故系统不稳定。4.3频率特性分析：在MATLAB中输入如下代码，可绘制出校正前系统Bode图如图7：num=[6.122];den=[10-60];bode(num,den);图7校正前系统Bode图由图分析知，相频特性图中相位裕度为0，故系统不稳定，需串联频率控制器加以校正。-6-5设计近似PID校正装置设计控制器，使得校正后系统满足稳态位置误差系数𝐾𝑝=10，相位裕度γ(𝜔𝑐)=50°。设串联超前校正装置的传递函数为：αG𝑐(𝑠)=𝑇𝑠+1𝑇𝛼𝑠+1系统开环增益为K，则校正后系统的开环传递函数为：𝐾αG𝑐(𝑠)𝐺(𝑠)=𝐾𝑇𝑠+1𝑇𝛼𝑠+16.122𝑠2−605.1计算开环增益：因为10pK，即0lim()10ksGs：𝐾αG𝑐(𝑠)𝐺(𝑠)=𝐾𝑇𝑠+1𝑇𝛼𝑠+16.122𝑠2−60=10计算得98K于是有：𝐾𝐺(𝑠)=6.122×98𝑠2−60在MATLAB中输入如下代码，可绘制出KG(s)的Bode图如图8：num=[6.122*98];den=[10-60];bode(num,den)图8添加增益后的便携式倒立摆的Bode图-7-可以看出，系统的相位裕量仍为0°，根据相位裕度要求，确定校正装置所要提供的最大相位超前角𝜑m：'01[()()]mccww对本系统：500[180(180)]50m根据𝜑m确定α：𝛼=1+sin𝜑𝑚1−sin𝜑𝑚≈7.555.2计算校正后的增益交界频率：为了最大限度的发挥串联超前校正装置的相位超前能力，应使校正装置的最大超前相角出现在校正后系统的增益交界频率𝜔𝑐处，即𝜔𝑚=𝜔𝑐，因此，在校正后的增益交界频率处，有：𝐿𝑐(𝜔𝑚)+𝐿(𝜔𝑐)=0即：20lg√𝛼+𝐿(𝜔𝑐)=0得：𝜔c=39.5𝑟𝑎𝑑/𝑠5.3计算参数确定传递函数：𝜔𝑚=𝜔𝑐=√𝛼𝑇=39.5𝑟𝑎𝑑/𝑠得：𝑇=0.0696s则校正后系统的开环传递函数为：𝐾αG𝑐(𝑠)𝐺(𝑠)=98×0.0696𝑠+10.0092𝑠+16.122𝑠2−605.4MATLAB仿真分析：在MATLAB中输入如下代码，可绘制出校正后系统的Nyquist及Bode图如图9图10：s=tf('s')G=599.956*(0.0696*s+1)/((0.0092*s+1)*(s^2-60));nyquist(G)bode(G)-8-图9校正后系统的Nyquist图图10校正后系统的Bode图由图分析知，Nyquist曲线逆时针包围(−1,0)一圈，即𝑁=−1。系统开环右极点数𝑃=1。根据𝑍=𝑃+𝑁的公式知𝑍=0，系统稳定；同样，在Bode图中，增益交界频率𝜔𝑐=0处对应的相位裕度为最大值，约为50°，达到校正要求。5.5校正前后系统控制性能对比：在MATLAB中输入如下代码，可绘制出校正前后系统的阶跃响应曲线图如图11：s=tf('s')G=599.956*(0.0696*s+1)/((0.0092*s+1)*(s^2-60));GB=G/(1+G);subplot(2,1,1);step(GB)Gq=6.122/(s^2-60);-100-50050Magnitude(dB)10-1100101102103104-180-150-120Phase(deg)BodeDiagramFrequency(rad/s)-9-GqB=Gq/(1+Gq);subplot(2,1,2);step(GqB)grid;图11校正前后系统的阶跃响应曲线图上图为校正后系统的阶跃响应曲线图，下图为校正前系统的阶跃响应曲线图。由图分析知，校正前系统的阶跃响应值不随时间的增加而衰减，呈现不断发散的趋势，系统不稳定。校正后系统的阶跃响应值随时间的增加而趋近于1，系统稳定。故校正装置达到校正要求。5.6倒立摆实时控制实验结果：将校正后系统的传递函数参数值输入计算机中的便携式直线一级倒立摆实验软件，把小车移至导轨中央，启动实验，待小车开始运动时，缓缓将倒立摆竖起，观察到倒立摆稳摆，故证明校正装置有效。实验结果图如图12：图12串联超前校正实验结果图-10-6便携式倒立摆PID控制实验便携式倒立摆PID控制实验采用PID校正装置实现，其开环传递函数如下：216.122()[1]60kpdiGsKTsTss6.1PID控制器参数整定：首先确定临界增益𝐾𝑢和临界振荡周期𝑇𝑢，只加入P控制器，令𝐾p=9得：29*6.122()60kGss在MATLAB中输入如下代码，可绘制出增益后系统的阶跃响应曲线图如图13：s=tf('s')G=9*6.122/(s^2-60);GB=G/(1+G);step(GB,10)图13𝐾p=9时系统的阶跃响应曲线图由图分析知，系统的阶跃响应不随时间的增加而衰减，呈现不断发散的趋势，系统不稳定。故加大P控制量，令𝐾p=100得系统的阶跃响应曲线图如图14：图14𝐾p=100时系统的阶跃响应曲线图00.511.522.533.5400.511.522.5StepResponseTime(sec)Amplitude-11-由图分析知，系统的阶跃响应缓慢收敛，为使阶跃响应曲线呈现振荡趋势，需减小Kp，故令𝐾p=90得系统的阶跃响应曲线图如图15：图15𝐾p=90时系统的阶跃响应曲线图由图分析知，临界增益𝐾𝑢=90，振荡周期𝑇𝑢=0.4。根据经验公式计算𝐾𝑝、𝑇𝑖和𝑇𝑑：{𝐾𝑝=0.6𝐾𝑢=0.6×90=54𝑇𝑖=0.5𝑇𝑢=0.2𝑇𝑑=0.125𝑇𝑢=0.05𝐺𝑘(𝑠)=54×(1+0.05𝑠+10.2𝑠)×6.122𝑠2−60在MATLAB中输入如下代码，可绘制出PID校正后系统阶跃响应曲线图如图16：s=tf('s')G=54*(1+0.0375*s+1/0.15/s)*6.122/(s^2-60);GB=G/(1+G);step(GB,4)图16𝐾p=90时PID校正后系统的阶跃响应曲线图由图分析知，曲线振荡很频繁，故加大比例系数，取𝐾p=100可绘制出PID校正后系统阶跃响应曲线图如图17：-12-图17𝐾p=100时PID校正后系统的阶跃响应曲线图由图分析知，稳态误差较大，稳定时间较大，故增加微分参数，加大微分作用，分别取𝑇𝑑=0.05、0.1、0.3。在MATLAB中输入如下代码，可绘制出三种情况下的系统阶跃响应曲线图如图18：s=tf('s')G1=100*(1+0.05*s+1/0.15/s)*6.