搜索
1.2直线的方程第1课时直线方程的点斜式学习目标思维脉络1.理解直线方程的点斜式、斜截式,明确其形式特点及适用范围.2.能利用点斜式、斜截式求出直线的方程.3.理解直线截距的概念,会求直线的截距.4.能利用直线方程的点斜式、斜截式解决简单的实际应用问题.1.直线的方程一般地,如果一条直线l上任一点的坐标(x,y)都满足一个方程,满足该方程的每一个数对(x,y)所确定的点都在直线l上,我们就把这个方程称为直线l的方程.2.直线方程的点斜式和斜截式方程名称确定条件直线方程局限性选择条件点斜式已知一点P0(x0,y0)和斜率ky-y0=k(x-x0)不能表示与x轴垂直的直线①已知斜率;②已知一点可设点斜式方程斜截式已知斜率k和在y轴上的截距by=kx+b不能表示与x轴垂直的直线①已知在y轴上的截距;②已知斜率可设斜截式方程做一做1若已知直线l过点M(-1,0),且斜率为1,则直线l的方程是()A.x+y+1=0B.x-y+1=0C.x+y-1=0D.x-y-1=0解析:由直线方程的点斜式可得直线l的方程是y-0=1·[x-(-1)],即x-y+1=0.答案:B做一做2斜率等于-3,且在y轴上的截距为2的直线的方程为()A.3x+y-2=0B.3x-y-2=0C.3x+y+2=0D.3x-y+2=0解析:依题意知直线的方程为y=-3x+2,即3x+y-2=0.答案:A思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)过点P的直线都可用点斜式写出.()(2)过点P(x0,y0)且与x轴垂直的直线方程是y=y0.()(3)𝑦-𝑦0𝑥-𝑥0=k表示过点P(x0,y0)的直线.()(4)直线的点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的任何直线.()(5)方程𝑦-𝑦0𝑥-𝑥0=k与方程y-y0=k(x-x0)并不一致.后者是直线方程的点斜式,表示整条直线,前者由于x≠x0,因此方程表示的图形是直线去掉一个点(x0,y0).()答案:(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√探究一探究二探究三一题多解探究一求直线的点斜式方程【例1】根据下列条件,写出直线的点斜式方程:(1)经过点(3,1),倾斜角为45°;(2)斜率为√2,与x轴交点的横坐标为-5;(3)过点B(-1,0),D(4,-5);(4)过点C(-2,3),与x轴垂直.分析:直线的点斜式方程需要定点坐标和斜率两个条件,解题时首先分析所求直线的斜率是否存在,若存在,则求出斜率,再根据点斜式写出方程.探究一探究二探究三一题多解解:(1)设直线的倾斜角为α,因为α=45°,k=tanα=tan45°=1,所以所求直线的点斜式方程为y-1=x-3,即y=x-2.(2)由直线与x轴交点的横坐标为-5,得直线过点(-5,0).又斜率为√2,由直线的点斜式方程得y-0=√2[x-(-5)],即y=√2(x+5).(3)直线的斜率为k=-5-04-(-1)=-1,所以直线的点斜式方程为y-0=-(x+1),即y=-(x+1).(4)由于直线与x轴垂直,所以斜率不存在,又过点(-2,3),故方程为x=-2.探究一探究二探究三一题多解探究一探究二探究三一题多解变式训练1(1)若直线l的方程为y=-2(x+m)-n,则该直线的斜率为;(2)若直线方程为y+4=k(x-2),其中k∈R,则该直线必经过定点.解析:(1)由方程y=-2(x+m)-n可得y+n=-2(x+m),由点斜式方程可知该直线的斜率为-2.(2)直线方程y+4=k(x-2)符合点斜式,易知其经过定点(2,-4).答案:(1)-2(2)(2,-4)探究一探究二探究三一题多解探究二求直线的斜截式方程【例2】根据下列条件求直线的斜截式方程:(1)斜率为3,在y轴上的截距等于-1;(2)在y轴上的截距为-4,且与x轴平行.分析:(1)已知斜率和在y轴上的截距,可直接利用斜截式写方程;(2)所求直线与x轴平行,此时斜率为0,是特殊的直线,可以确定直线上所有点的纵坐标,再由纵坐标写直线的方程.解:(1)由斜截式可得,所求直线的方程为y=3x-1;(2)因为直线与x轴平行,所以直线上所有点的纵坐标相等,均为-4,故所求的直线方程为y=-4.探究一探究二探究三一题多解探究一探究二探究三一题多解变式训练2(1)已知直线方程为y-2=3(x+3),则它在y轴上的截距为;(2)已知直线的斜率为2,在y轴上的截距m为时,该直线经过点(1,1).解析:(1)由y-2=3(x+3)可得y=3x+11.对照斜截式方程可知直线在y轴上的截距b=11.(2)由已知可得直线方程为y=2x+m,又直线经过点(1,1),所以1=2+m,得m=-1.答案:(1)11(2)-1探究一探究二探究三一题多解探究三直线方程的简单应用【例3】已知直线l的斜率为2,且与x轴、y轴围成的三角形的面积为36,求此时直线与x轴、y轴围成的三角形的周长.分析:已知斜率,且与坐标轴上的截距有关,因此可设截距式y=2x+b,利用直线l和x轴、y轴围成的三角形的面积为36,求出直线l的方程,然后再求三角形的周长.探究一探究二探究三一题多解解:由于直线l的斜率为2,故设l的方程为y=2x+b.令x=0,得y=b;令y=0,得x=-𝑏2.由已知得12·|b|·-𝑏2=36,解得|b|=12.即b=±12,所以l的方程为y=2x+12或y=2x-12.当b=12时,l与x轴、y轴上的交点分别为(-6,0),(0,12);当b=-12时,l与x轴、y轴上的交点分别为(6,0),(0,-12).故三角形的周长为6+12+√62+122=18+6√5.探究一探究二探究三一题多解探究一探究二探究三一题多解变式训练3已知直线l过点(-2,2),且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,求直线l的方程.解:由题意知直线l的斜率存在,设为k(k≠0),则所求直线方程为y-2=k(x+2).令y=0,得x=-2-2𝑘𝑘;令x=0,得y=2k+2.则-2-2𝑘𝑘·|2k+2|=2,解得k1=-12,k2=-2.则所求的直线方程为y-2=-12(x+2)或y-2=-2(x+2),即x+2y-2=0或2x+y+2=0.探究一探究二探究三探究四一题多解关于直线恒过定点问题典例求证无论k取任何实数时,直线(k+1)x-(k-1)y-2k=0必过定点,并求出此定点.思路点拨:方法1:将已知直线方程整理成(A1x+B1y+C1)k+(A2x+B2y+C2)=0的形式,解方程组𝐴1𝑥+𝐵1𝑦+𝐶1=0,𝐴2𝑥+𝐵2𝑦+𝐶2=0得(x,y)即为定点.方法2:将已知直线方程整理成点斜式,由点斜式确定定点.方法3:取两个特殊值后再求解.探究一探究二探究三探究四一题多解证法1:直线方程可整理为(x+y)+k(x-y-2)=0.则直线(k+1)x-(k-1)y-2k=0过直线l1:x+y=0与l2:x-y-2=0的交点,联立得方程组𝑥+𝑦=0,𝑥-𝑦-2=0,解得𝑥=1,𝑦=-1.所以直线恒过定点(1,-1).证法2:原直线方程可变形为y+1=𝑘+1𝑘-1(x-1),此为直线方程的点斜式,该直线一定过点(1,-1),所以该直线必过定点,定点的坐标为(1,-1).证法3:由k的任意性,取k=0,得x+y=0,①取k=1,得x-1=0,②由①②得直线x+y=0与直线x-1=0的交点坐标为(1,-1),将点(1,-1)代入直线方程,(k+1)·1-(k-1)·(-1)-2k=0成立,所以直线(k+1)x-(k-1)y-2k=0必过定点,定点为(1,-1).探究一探究二探究三探究四一题多解1234561.经过点C(-√2,2),倾斜角为30°的直线方程为()A.3x-√3y+6+√6=0B.3x-√3y-6-√6=0C.√3x+3y-6-√6=0D.√3x-3y+6+√6=0解析:直线的倾斜角为30°,即直线的斜率为√33,再用点斜式方程得直线方程为y-2=√33(x+√2),即√3x-3y+6+√6=0.答案:D1234562.直线y=π4x-1的斜率等于()A.1B.-1C.π4D.-π4解析:由直线方程的斜截式知其斜率为π4.答案:C1234563.直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是()A.12abB.12|ab|C.12𝑎𝑏D.12|𝑎𝑏|解析:令x=0,可得y=1𝑏;令y=0,可得x=1𝑎.则三角形面积S=12×1𝑎×1𝑏=12|𝑎𝑏|.答案:D1234564.直线y=√3x-3的倾斜角是;在y轴上的截距是.解析:设直线的倾斜角为α,由已知tanα=√3,所以α=60°;令x=0得y轴上的截距是-3.答案:60°-31234565.经过点(-2,1),且斜率与直线y=-2x-1的斜率相等的直线方程为.解析:直线y=-2x-1的斜率为-2.故所求直线的斜率为-2,又经过点(-2,1),故所求直线方程为y-1=-2(x+2),可化为2x+y+3=0.答案:2x+y+3=0