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巧妙求和（一）——四下奥数制作人：陈宏说一说右图是谁，你知道他小时候的故事吗？名人故事•数列：若干个数排成一列。（一列数字）•项数：数列中项的个数。（数字个数）•首项：数列第一项。（第一个数字）•末项：数列最后一项。（最后一个数字）•等差数列：从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列。•公差：后项与前项的差称为公差。（相邻两个数的差）•通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差•项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？•解析：容易看出这是一个等差数列•公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。•项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。对应练习•1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？•2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？•3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？•解析：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。要求第100项•可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。•第100项=3+4×（100－1）=399对应练习•1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？•2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。•3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。•解析：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。•1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050•上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：•等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2•这个公式也叫做等差数列求和公式。对应练习•（1）1+2+3+…+49+50•（2）6+7+8+…+74+75•（3）100+99+98+…+61+60例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和。•解析：这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。•要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：•项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25•首项=2，末项=50，项数=25•等差数列的和=（2+50）×25÷2=650对应练习•（1）2+6+10+14+18+22•（2）5+10+15+20+…+195+200•（3）9+18+27+36+…+261+270例5：计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）•容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。•进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1~100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。•（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）•=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）•=1+1+1+…+1•=50对应练习•（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）•（2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999）•（3）（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）谢谢观赏