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简单数阵图传说四五千年前，我国黄河、洛水一带经常发生水灾。大禹治水时，洛水中浮现出一只大乌龟，乌龟背上有9个数（如下图）：这是天给禹的启示，后来用自然数表示（如上图），叫做洛书，外国人称洛书为“中国方阵”。由于“中国方阵”有许多有趣的现象，如每一行、每一列和每一对角线上各个数之和都相等。所以我们把这样的方阵图叫做幻方。幻方和数阵是我国丰富的文化遗产之一，明朝程大位、清朝张潮等人，曾创造了丰富多彩的幻方和数阵图。幻方曾使不少爱好者入迷，目前世界上最大的幻方——“1256阶泛对角幻方”就是1990年11月22日由无锡一位中学教师发明的，这一个数字方阵，纵横排成1256行，任何一条线以及任何对角线各数和都是990693236。幻方有许多构造方法，这里只简单介绍几种方法。例1将1-9九个数字填在图内九个方格里，每格填一个数字，使每一横行、每一纵行和两条对角线上三个数之和相等。分析与解答1+2+3+……+8+9＝45，是三个横行或纵行数字之和。因此，每一横行或纵行三个数字之和等于45÷3＝15。1-9九个数字中，其中三个不同的数相加等于15，只可能是：9+5+1，9+4+2，8+6+1，8+5+2，8+4+3，7+6+2，7+5+3，6+5+4。图中每一横行、每一纵行和每一条对角线的三角数必定是其中一个算式中的三个加数。中心数有4条线红过，要求它能在四个算式中出现，除了5没有其他可选择。又因为8、2、4、6各出现在三个算式中，所以这四个数应填在四个角上，这样每一格应填哪一个数就可以确定了。816357492有罗伯法填幻方很简便，可以有几句话来概括罗伯法：1居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框往下填，右出框时左边放，排重便在下格填，右上排重一个样。数阵是一种由幻方演变而来的数学图。数阵可以分为辐射型和封闭型两种。填数阵时一般先考虑正中间的数，顶角上的数。例2将1-7七个数，分别填入图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆内的和相等。分析与解答从图中可看出：中圈所填的数是三条直线上共用的，它是一个用了三次的数。因此，我们在思考时，应先把中间圈内的数找到。怎样确定中间圆圈所填的数呢？设中间圈内的数为x，在计算三条直线上数的总和时，它多算了2次。又因为3条直线上数的总和是3的倍数，所以1+2+3+……+7+2x除以3是整数且没有余数。这样中圈所填的数很快可以确定下来，可为1、4、7。当中圈填1时，每条直线上其他两个数的和为9，这时三组数分别为1、2、7，1、3、6，1、4、5。当中圈填4时，三组数分别为4、5、3，4、2、6，4、1、7。当中圈填7时，三组数分别为7、6、1，7、3、4，7、2、5。想一想：从1+2+3+……+7－x除以3商是整数而且没有余数，怎样思考。例3把1-10十个数填入图中的小圆中，使每个大圆圈中六个数的和是30。分析与解答每个大圆圈中有六个数，两个大圆圈人有十二个数。要把十个数填入十二个小圆圈中，必有两个小圆圈公用。设两个大圆的交叉点上的两个数是a、b，这样在计算两个大圆圈上的十二个数时，a和b都多加了一次。根据题意，1+2+3+……+10+a+b除以2是30，即a+b＝5，在1-10中，只有1和4，2和3这两组数的和是5。当中间两个圆中的数是1和4，另外四个数的和都是30－5＝25，应该是2、8、6、9和3、7、5、10；当中间两个圆中的数是2和3，两组数分别是1、5、9、10和4、6、7、8。例4将1-8这八个自然数分别填入八个圆圈内，使四边形每条边上的四数之和都相等。分析与解答要把1-8八个数填入图中的八个圆内，首先应该确定四个顶点上圆内的数字。用a、b、c、d分别表示四个顶点的数字，因为四个顶点上的数在求和时多用了一次，所以1+2+……+7+8+a+b+c+a除以4的商应该是整数而且没有余数。1+2+……7+8＝36，除以4的商是整数，因此，a+b+c+d除以4的商必须是整数且没有余数。因为1+2+3+4＝10，5+6+7+8＝26，所以a+b+c+d的和最小等于12，最大等于24。（1）当a+b+c+d＝12，每边四个数的和是（36+12）÷4＝12。因为1+2+3+6＝12，1+2+4+5＝12，经试验，a、b、c、d分别是1、2、3、6，然后用凑数法使每边和是12。（2）当a+b+c+d等于16、20、24时，应怎样填？（3）此题的基本答案如下：课后练习1、用3-11这九个数补全图（1）中的幻方，再用2-10这九个数补全图（2）中的幻方。48610图（1）图（2）2、左图（3）用“罗伯法”编制一个五阶幻方。从小爱数学爱数学图（3）图（4）3、试在图（4）所示的空白方格中填上字，使得图中的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的五个方格中，都分别含有“从小爱数学”这五个字。4、将1-11十一个数分别填入图（5）内，使每条线上的三个○内数字的和相等。5、把1-8八个数分别填入图（6）八个○内，使两个大圆圈中五个数的和相等。6、将1-6六个数分别填入图（7）的○内，使每边上的三个○内数字和相等。7、将1-9这九个数分别填入图（8）的九个○内，使三角形每边上的四数之和都19，且有一个顶点○中的数字为1。8、将下面图（9）的十个小圆圈的汉字分别换成1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数字，使得每个正方形顶点圆圈内四个数之和都相等而且最大，这个和是多少。9、将1-10这十个数分别填入图（10）中的十个○内，使五边形每边上的三个数之和都相等，并使该值尽可能大。10、将1-9九个数分别填入图（11）中的○内，使外三角形边上○内数字之和等于里面三角形边上○内数字之和。