学而思七上--第2讲--绝对值几何意义突破

领先中考培优课程MATHEMATICS绝对值几何意义突破目标一熟练绝对值式子的几何意义——距离，理解最值的含义目标二掌握几何意义求多个绝对值之和的最小值的方法目标三掌握一般的绝对值式子求最值、定值的方法—一零点分段法2知识目标思维引入——最值的含义知识导航最大值与最小值统称为最值，一个代数式一般能取到无数个值，我们把其中最大的值叫做最大值，最小的值叫做最小值，例如：当x等于任意数时，代数式2x能取到无数个值．但其中最小的值是0．因此可以说,仅当x＝2时．2x取得最小值为0；此时2x可以无穷大．因此它没有最大值．当1≤x≤3时，2x－3能取到无数个值，但当x＝1时2x－3取得最小值为－1；当x＝3时，2x－3取得最大值为3．这里也可以描述为．当l≤x≤3时,－1≤2x－3≤3．练习——最值的含义的理解1.x2的最小值是，当x＝时它取得最小值；一23x的最大值是，当x＝时它取得最大值；当x＝时，(1－3x)2＋2取得最小值为；当x＝时，3一1x取得最大值为；2.先化简43xx，再求它的最值，并说明相应的x的取围．3．先化简51xx，再求它的最值，并说明相应的x的取值范围.总结归纳虽然“最值”这个概念是代数层面上的，通过代数计算来找最值是最本质的方法，但通过上面的练习不难发现，如果纯通过代数计算来找最值，有时过程会比较繁琐，计算量也较大，耗时又易错.初中知识两大主线——几何与代数各成体系又相辅相成，例如数轴就是用形来表示数，后面学习坐标系与函数后会有更多数与形的结合．现阶段，绝对值的代数运算意义和它在数轴上表示距离的几何意义，就架起了数与形的桥梁．灵活运用绝对值的代数意义与几何意义，融会贯通，就能使二者相得益彰，不仅能为解题带来很大帮助，这种思维间的转换对以后的学习也大有裨益．本讲要学习的主要就是仅含绝对值的式子求最值的方法——绝对值的几何意义．模块一绝对值的几何视角——距离知识导航通过前面的学习．我们对绝对值的代数意义已经很熟悉．)()b(baabababa＜，这让我们看到一个含绝对值式子的第一反应就是，我们可以把它拆开．例如，当1x这个式子出现在我们眼前，它就被我们强迫症般的在脑海中变成了)1(1)1(11＜xxxxx．诚然，这种利用代数意义进行的转换在做绝对值化简时是必要且实用的．但在做最值类题型时反而绕了，转换为距离更简．实际上，前面我们已经多次接触了绝对值的几何意义，上一讲更是大量用到了绝对值来表示数轴上点的距离，因此当我们看到要“表示数轴上的距离”时．会不自觉的想到“可以用绝对值来表示”．反过来，我们也应该认识到，当一个绝对使式子出观时，它也代表着距离．例如，a表示数轴上数a对应的点到原点的距离，nm的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离.所以，当1x这个式子出现在我们眼前，它还应该被我们强迫症般的在脑海中变成“这表示数轴上x对应的点与1对应的点之间的距离”．练习几何视角1.21的几何意义是数轴上表示－1的点与表示2的点之间的距离，则21＝；2．x的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离：x＝1的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是：3.ba的几何意义是表示的点与表示的点之间的距离，且abba；ba的几何意义是表示的点与表示的点之间的距离，baba；4．2x的几何意义是数轴上表示点与表示点之间的距离；若2x＝2，则x＝；5．当x＝－1时，25xx＝，当x＝时，25xx＝.例1．(1)数轴上四个点的位置关系如右图，且它们表示的数分别为p,q，r，s．若,10rp9,12sqsp则rq＝．(2)有理数a、b、c、d各自对应着数轴上X、Y、Z、R四个点，且它们满足以下三个条件：①db比ba，dccbdaca、、、都大；②cdcaad；③c是a、b、c、d中第二大的数．则点X、Y、Z、R从左到右依次是.练满足baba成立的条件是()．A．ab≥0B．ab＞1C.ab≤0D.ab≤1模块二绝对值之和求最小值知识导航求21xx的最小值；1x即数轴上x与1对应的点之间的距离，2x即数轴上x与2对应的点之间的距离，把这两个距离在同一个数轴上表示出来，然后把距离相加即可得原式的值.设A、B、P三点对应的数分别是1、2、x.当l≤x≤2时，即P点在线段AB上，此时121ABPBPAxx；当x＞2时，即P点在B点右侧，此时21xx＝PA＋PB＝AB＋2PB＞AB；当x＜1时，即P点在A点左侧，此时21xx＝PA＋PB＝AB＋2PA＞AB；综上可知，当l＜x＜2时（P点在线段AB上），21xx取得最小值为1．此结论可以推广：若已知以a＜b，则当a≤x≤b时，bxax取得最小值为b－a.题型一两个绝对值相加求最小值例2（1）当x满足时,2005xx取得最小值为；当x满足时,43xx取得最小值为；当x满足时，46xx取得最小值为．（2）当－1≤x≤6时，xx2的最小值为,最大值为.（3）当31xx取得最小值时，试化简55xx＝．总结归纳绝对值的最值问题多以选填题的形式考察，上述绝对值几何意义的方法能迅速求解，但此法不能作为大题的解题步骤，所以一旦要求写大题步骤，只能使用零点分段法化简，分别求出每一段的取值范围，最后得到最值．练（1）当x满足时，xx8取得最小值为；当x满足时．1132xx取得最小值为．（2）已知x为整数，且满足44xx,则x的所有可能值之和为.（3）求54xx的最小值，并写出相应的x的范围．挑战压轴题（2014武昌七校七上期中压轴题）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为baAB，根据以上知识解题：(1)若数轴上两点A、B表示的数为x、－1.①A、B之间的距离可用含x的式子表为；②若该两点之间的距离为2,那么x值为.(2)21xx的最小值为，此时x的取值范围是；已知152321yyxx，求x－2y的最大值和最小值.拓◆已知yyxx15912，求x＋y的最值．题型二多个绝对值相加求最小值以四个绝对值之和为例，求4321xxxx的最小值；设A、B、C、D、P五点对应的数分别为1、2、3、4、x，在数轴上画出各点，排好序之后由远及近依次两两一组求和。①当1≤x≤4时，41xx＝PA＋PD＝4－1＝3，取得最小值；②当2≤x≤3时，32xx＝PB＋PC＝3－2＝1，取得最小值；所求的PDPCPBPAxxxx4321，即上面两式41xx与32xx之和，如果这两式能同时取得最小值，即PA＋PD与PB＋PC同时最小，那么它们的和必然也取得最小值．故当2≤x≤3时，4321xxxx的最小值为(4－1)＋(3－2)＝4．再以三个绝对值之和为例，求21xxx的最小值；设A、B、C、P四点对应的数分别为0、1、2、x．①当0≤x≤2时，2022PCPAxx，取得最小值；②当x＝l时，01PBx，取得最小值；所求的21xxx＝PA＋PB＋PC即上面两式之和，如果这两式2xx和1x能同时取得最小值，即PA＋PC与PB同时最小，那么它们的和必然也取得最小值．故仅当x＝l时，21xxx的最小值为(2–0)＋0＝2．若求更多的偶数个或奇数个绝对值之和，可以用同样的方法求其最小值．例3（1）当x满足时，6413xxxx取得最小值为；当x满足时，xxxx123取得最小值为；当x满足时，xxxx4731取得最小值为；(2)当x满足时，512xxx取得最小值为；当x满足时，xxx562取得最小值为；（3）当x满足时，201621xxx取得最小值为；当x当x满足时，10121xxx取得最小值为；（4）若0＜a＜10,则当x满足时，1010axxax的最小值是；总结归纳奇数个x取“中间点”若1221naaa＜＜＜，当x满足时，1221naxaxax取得最小值；最小值为0231222112nnnnnaaaaaaaa.偶数个x取“中间段”若naaa221＜＜＜，当x满足时，naxaxax221取得最小值；最小值为nnnnnnaaaaaaaa11221212.练(1)当x满足时，48xxxx取得最小值为；当x满足时，xxx2131取得最小值为.(2)求654xxxx的最小值，并写出相应的x的范围．拓◆求13121xxx的最值；○2求131121xx的最值.模块三绝对值之差求最值知识导航求21xx的最大值：设A、B、P三点对应的数分别为l、2、x，当1≤x≤2时，即P点在线段AB上，此时21xx＝PA－PB，其值在－1到1之间，其中，当x＝l时，PA－PB＝－l，当x＝2时PA－PB＝1,当l＜x＜2时，－1＜PA－PB＜1.当x＞2时，即P点在B点右侧，此时21xx＝PA－PB＝AB＝1．当x＜l时，即P点在A点左侧，此时21xx＝PA－PB＝－1．综上可得：当x≤l时（P点在A点左侧）．21xx取得最小值为－l：当x≥2时（P点在B点右侧）．21xx取得量大值为1．用绝对值代数意义展开亦可知21xx＝)2(1)21(3221xxxx＜＜）（此结论可以推广：bxax的最大值为ba．最小值为－ba，至于当x满足什么条件时分别取最大、最小值．则可以画数轴分析或把绝对值展开计算．例4（1）用绝对值的几何意义求53xx的最值.(2)用“零点分段法”化简14xx，求出最值，并说明相应的x的取值范围．(3)求75xx的最值．练（2012武昌七校七上期中）①当x在何范围时，21xx有最大值，并求出最大值.②当x在何范围时，4321xxxx有最大值，并求出它的最大值．③代数式100994321xxxxxx最大值是．模块四定值问题知识导航定值即指代数式的值恒为某一个数．例如．用“零点分段法”化简可得)1(1)21(32)2(121xxxxxx.可见当x≥2时21xx的值恒为1．即定值为1；当x≤l时21xx的值恒为－1，即定值为－1．再如，令s＝21xx，化简可得s＝21xx＝)2(32)12(1)1(32xxxxx，可见对于－2≤x≤－l范围内的任意x值，s的值恒为常数1，我们就说当－2≤x≤－1时s为定值．综上可知，要让某式有定值，必须使它在某一条件下的取值与x无关．因此，定值问题的核心任务是，找到x的某个取值范围，使得代数式中的x正好可以相互抵消．例5(1)如果对于某一给定范围内的x值，p＝31xx为定值，则此定值为，相应的x的范围是．（2）如果对于某一给定范围内的x值，p＝25xx为定值，则此定值为．(3)如果对于某一给定范围内的x值，p＝922-5xx为定值，则此定值为，相应的x的范围是.练如果对于某一给范围内的x值，m＝733-2xx为定值，则此定值为，相应的x的范围是.总结归纳定值问题虽然也可以用绝对值的几何意义——转化为距离来求解，但它并不是此类题型的本质解法，仅在x的系数都为l时此法较为便捷．产生定值的根本原因是x相互抵消了，因此定值问题的本质解法是用类似“零点分段法”的思路，将式子中的每个绝对值