2014年六年级数学思维训练:数论综合二

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第1页(共23页)2014年六年级数学思维训练:数论综合二一、兴趣篇1.有4个不同的正整数,它们中任意2个数的和都是2的倍数,任意3个数的和都是3的倍数.要使这4个数的和尽可能小,这4个数应该分别是多少?2.已知算式(1+2+3+…+n)+2007的结果可表示为n(n>1)个连续自然数的和.请问:共有多少个满足要求的自然数n?3.有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式,并且在不计加数顺序的情况下,这样的表示方法至少有4种.所有满足上述条件的自然数中最小的一个是多少?4.甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小2008.满足上述条件的自然数有几组?5.两个不同两位数的乘积为完全平方数,它们的和最大可能是多少?6.n个自然数,它们的和乘以它们的平均数后得到2008.请问:n最小是多少?7.一个正整数若能表示为两个正整数的平方差,则称这个数为“智慧数”,比如16=52﹣32,16就是一个“智慧数”,请问:从1开始的自然数列中,第2008个“智慧数”是多少?8.将100!﹣5分别除以2,3,4,…,100,可以得到99个余数(余数有可能为0).这99个余数的和是多少?9.小悦、冬冬和阿奇三人经常去电影院,小悦每隔2天去一次,冬冬每隔4天去一次,阿齐每隔6天去一次.今天他们三人都去电影院,将来会有连续三天都有人去电影院.如果今天是第1天,那么最早出现的具有上述性质的连续三天是哪三天?10.有三个连续的自然数,它们的平方从小到大依次是10、9、8的倍数.这三个数中最小的一个是多少?二、拓展篇(共12小题,满分0分)11.一个正整数,如果加上100是一个完全平方数,如果加上168,则是另一个完全平方数,则这个正整数是.12.已知甲、乙两个自然数的最大公约数是6,两数之和为1998.满足上述条件的数一共有多少组?13.冬冬往一个水池里扔石子.第一次扔l颗石子,第二次扔2颗石子,第三次扔3颗石子,第四次扔4颗石子…他准备扔到水池的石子总数是106的倍数.请问:冬冬最少需要扔多少次?14.数学老师把一个两位数的约数个数告诉了小悦,聪明的小悦仔细思考了一下后算出了这个数.同学们,你们知道这个数可能是多少吗?15.在一个正整数的所有约数中,个位数字为0,1,2,…,9的数都出现过,这样的正整数最小是多少?16.求最小的正整数n,使得2006+7n是完全平方数.17.请写出由不同的两位数组成的最长的等比数列.18.有一些自然数,它们不能用三个不相等的合数之和来表示.这样的自然数中的最大一个是多少?19.有些数既能表示成5个连续自然数的和,又能表示成6个连续自然数的和,还能表示成7个连续自然数的和.例如:105就满足上述要求,105=19+20+21+22+23;105=15+16+17+18+19+20;105=12+13+14+15+16+17+18.请问:在1至1000中一共有多少个满足上述要求的数?第2页(共23页)20.一个特殊的圆形钟表只有一根指针,指针每秒转动的角度为连续自然数数列.现在设定指针第一秒转动的角度为a度(a为小于360的整数),则其第二秒转动a+l度,第三秒转动a+2度…如果指针在第一圈内恰好能指回出发位置,那么a一共有几种设定方法?最小可以被设成多少?21.某住宅区有12家住户,他们的门牌号分别是1,2,…,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数,并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除,已知这些电话号码的首位数字都小于6,并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除,问:这一家的电话号码是什么数?22.在等差数列1,8,15,22,29,36,43,…中,如果前n个数乘积的末尾0的个数比前n+l个数乘积的末尾0的个数少3个,那么n最小是多少?三、超越篇(共8小题,满分0分)23.有一些正整数,它可以表示成连续20个正整数的和,而且当把它表示成连续正整数之和(至少2个)的形式时,恰好有20种方法.这样的正整数最小是多少?(写出质因数分解)24.有些自然数可以表示成两个合数相乘再加一个合数的形式,例如:33=4×6+9.请问:不能表示成这种形式的自然数最大是多少?25.在给定的圆周上有100个点.任取一点标上1;按顺时针方向从标有1的点往后数2个点,标上2;从标有2的点再往后数3个点,标上3…依此类推,直至在圆周上标出100.对于圆周上的这些点,有的点可能标上多个数,有的点可能没有被标数.请问:标有100的那个点上标出的数最小是多少?26.三个聪明的初中生聚在一起玩一个推理的游戏,小强与小花各选了一个自然数并分别将它告诉小安.小安告诉小强和小花,他将分别把这两个数的和与乘积写在不同的纸上.小安写好后,将其中一张纸藏起来,把另一张纸亮出来给小强和小花看(这张纸上写着2008).小安请小强和小花互猜对方所选的数,小强首先宣称他无法确定小花所选的数,小花听完小强的话后,也说她无法确定小强所选的数.请问:小花所选的数是什么?27.已知三个互不相等的正整数成等比数列,且三个数的乘积是完全平方数,那么这三个数的和最小是多少?28.是否存在一个完全平方数,它的每一位上的数字全都相同(至少是两位数)?如果存在,请写出一个;如果不存在,请说明理由.29.有一根均匀木棍,先用红色刻度线将它分成m等份,再用蓝色刻度线将它分成n等份,m>n.然后按所有刻度线将该木棍锯成小段,一共可以得到170根长短不一的小棍,其中最长的小棍恰有100根.求m和n.30.是否存在这样的自然数:在这个数后面重写一遍这个数,新组成的数是一个完全平方数?如果存在,请举例;如果不存在,请说明理由.第3页(共23页)2014年六年级数学思维训练:数论综合二参考答案与试题解析一、兴趣篇1.有4个不同的正整数,它们中任意2个数的和都是2的倍数,任意3个数的和都是3的倍数.要使这4个数的和尽可能小,这4个数应该分别是多少?【分析】首先从被2、3整除数的特征入手,根据被3除的余数特征分析探讨得出答案即可.【解答】解:任意两数之和是2的倍数,说明这4个数要么都是2的倍数,要么都不是2的倍数.任意三数之和是3的倍数,分析几种假设:1、假设这四个数都是三的倍数﹣﹣情况可以成立;2、假设其中一个数是三的倍数﹣﹣这要求剩下三个数两两相加或三个相加都是3的倍数,而三个不是3倍数的数两两相加是无法得到3的倍数的数的(不是3的倍数的数与3相除得的余数只能是1和2,而1和2拿出3个来两两相加是无法都得到3的),不成立.3、假设其中两个数是三的倍数﹣﹣同样要求剩下的两个数中任意一个或者两个相加都是3的倍数,与假设违背,不成立.4、假设其中三个数是三的倍数﹣﹣要求剩下的一个数必须是三的倍数,同样与假设违背,不成立.因此,这四个数必须都是3的倍数(其中一个可为0)列出3的倍数(含0)0、3、6、9、12、15、18、21、24、27从中取出4个数,这四个数全是2的倍数:0、6、12、18从中取出4个数,这四个数不能是2的倍数:3、9、15、21很明显,0、6、12、18符合尽可能小的要求.所以这四个数为0、6、12、18.2.已知算式(1+2+3+…+n)+2007的结果可表示为n(n>1)个连续自然数的和.请问:共有多少个满足要求的自然数n?【分析】1到n是n个连续自然数的和,将2007平均分给n个数,所得的n个数仍是连续的自然数,要将2007平均分成n份,所以2007能被n整除,即n是2007的约数.2007=1×3×3×223,约数共有6个(1,3,9,223,669,2007).题目要求n大于1,去掉1,当n=3时,原式=1+2+3+669×3=670+671+672当n=9时,原式=1+2+3+…+9+223×9=224+225+…+232当n=223时,原式=1+…+223+9×223=10+11+…+232当n=669时,原式=1+…+669+3×669=4+5+…+672当n=2007时,原式=1+…+2007+1×2007=2+3+…+2008【解答】解:假设这n个自然数为k+11,k+2,…,k+n+n,则(k+1+1)+(k+2)+…+(k+n+n)=(1+2+3+.1+2+3+…+n+n)+2007得nk=2007(n,k为自然数)因为:第4页(共23页)2007=3×3×223所以2007的约数有3,9,223,669,2007,所以共15种情况.答:共有5个满足要求的自然数n.3.有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式,并且在不计加数顺序的情况下,这样的表示方法至少有4种.所有满足上述条件的自然数中最小的一个是多少?【分析】在所有的质数中,从小到大的那一组至少是41+4=45.于是对45、46、47根据题意进行拆分,从而找出满足上述条件的自然数中最小的一个数,解决问题.【解答】解:在所有的质数中,从小到大的那一组至少是41+4=45.按题目要求分析,45有如下12种方法:45=3+42=5+40=7+38=11+34=13+32=17+28=19+26=23+22=29+16=31+14=37+8=41+4按题目要求分析,46有如下7种方法:46=2+44=7+39=11+35=13+33=19+27=31+15=37+9按题目要求分析,47有如下7种方法:47=2+45=3+44=5+42=7+40=11+36=13+34=17+30=19+28=23+24=29+18=27+10=41+6=43+4因此,满足题意的最小自然数是47.4.甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小2008.满足上述条件的自然数有几组?【分析】可设甲、乙两个自然数分别为a、b,则:a2﹣ab=a(a﹣b)=2008=2×2×2×251,依此可求2008的约数的个数,进一步即可求解.【解答】解:设甲、乙两个自然数分别为a、b,则:a2﹣ab=a(a﹣b)=2008=2×2×2×251,2008的约数共有(3+1)×(1+1)=8(个),那么满足条件的解共有8÷2=4组.答:满足上述条件的自然数有4组.5.两个不同两位数的乘积为完全平方数,它们的和最大可能是多少?【分析】从最大的两位数99进行分析,得到满足条件的另外一个乘数,得到它们的和,再分析两位数98,进一步即可求解.【解答】解:最大的两位数是99,99=9×11,另外一个乘数要含因数11,最大是4×11=44,和=99+44=143;还有一种情况是98=2×49,另外一个乘数含因数2,最大是2×36=72,和=98+72=170.答:它们的和最大可能是170.6.n个自然数,它们的和乘以它们的平均数后得到2008.请问:n最小是多少?【分析】设它们的平均数为x,则nx×x=2008,即nx2=2008,由此即可得出答案.【解答】解:设它们的平均数为x,则nx×x=2008,即nx2=2008,因为2008=2×2×2×251,所以nx2=2008=502×22.答:n最小是502.7.一个正整数若能表示为两个正整数的平方差,则称这个数为“智慧数”,比如16=52﹣32,16就是一个“智慧数”,请问:从1开始的自然数列中,第2008个“智慧数”是多少?第5页(共23页)【分析】如果一个数是智慧数,就能表示为两个正整数的平方差,设这两个数分别m、n,设m>n,即智慧数=m2﹣n2=(m+n)(m﹣n),因为m,n是正整数,因而m+n和m﹣n就是两个自然数.要判断一个数是否是智慧数,可以把这个数分解因数,分解成两个整数的积,看这两个数能否写成两个正整数的和与差.【解答】解:1不能表示为两个正整数的平方差,所以1不是“智慧数”.对于大于1的奇正整数2k+1,有2k+1=(k+1)2﹣k2(k=1,2,…).所以大于1的奇正整数都是“智慧数”.对于被4整除的偶数4k,有4k=(k+1)2﹣(k﹣1)2(k=2,3,…).即大于4的被4整除的数都是“智慧数”,而4不能表示为两个正整数平方差,所以4不是“智慧数”.对于被4除余2的数4k+2(k=0,1,2,3,…),设4k+2=x2﹣y2=(x+y)(x﹣y),其中x,y为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