2014年六年级数学思维训练：数论综合二

第1页（共23页）2014年六年级数学思维训练：数论综合二一、兴趣篇1．有4个不同的正整数，它们中任意2个数的和都是2的倍数，任意3个数的和都是3的倍数．要使这4个数的和尽可能小，这4个数应该分别是多少？2．已知算式（1+2+3+…+n）+2007的结果可表示为n（n＞1）个连续自然数的和．请问：共有多少个满足要求的自然数n？3．有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有4种．所有满足上述条件的自然数中最小的一个是多少？4．甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小2008．满足上述条件的自然数有几组？5．两个不同两位数的乘积为完全平方数，它们的和最大可能是多少？6．n个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到2008．请问：n最小是多少？7．一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=52﹣32，16就是一个“智慧数”，请问：从1开始的自然数列中，第2008个“智慧数”是多少？8．将100!﹣5分别除以2，3，4，…，100，可以得到99个余数（余数有可能为0）．这99个余数的和是多少？9．小悦、冬冬和阿奇三人经常去电影院，小悦每隔2天去一次，冬冬每隔4天去一次，阿齐每隔6天去一次．今天他们三人都去电影院，将来会有连续三天都有人去电影院．如果今天是第1天，那么最早出现的具有上述性质的连续三天是哪三天？10．有三个连续的自然数，它们的平方从小到大依次是10、9、8的倍数．这三个数中最小的一个是多少？二、拓展篇（共12小题，满分0分）11．一个正整数，如果加上100是一个完全平方数，如果加上168，则是另一个完全平方数，则这个正整数是．12．已知甲、乙两个自然数的最大公约数是6，两数之和为1998．满足上述条件的数一共有多少组？13．冬冬往一个水池里扔石子．第一次扔l颗石子，第二次扔2颗石子，第三次扔3颗石子，第四次扔4颗石子…他准备扔到水池的石子总数是106的倍数．请问：冬冬最少需要扔多少次？14．数学老师把一个两位数的约数个数告诉了小悦，聪明的小悦仔细思考了一下后算出了这个数．同学们，你们知道这个数可能是多少吗？15．在一个正整数的所有约数中，个位数字为0，1，2，…，9的数都出现过，这样的正整数最小是多少？16．求最小的正整数n，使得2006+7n是完全平方数．17．请写出由不同的两位数组成的最长的等比数列．18．有一些自然数，它们不能用三个不相等的合数之和来表示．这样的自然数中的最大一个是多少？19．有些数既能表示成5个连续自然数的和，又能表示成6个连续自然数的和，还能表示成7个连续自然数的和．例如：105就满足上述要求，105=19+20+21+22+23；105=15+16+17+18+19+20；105=12+13+14+15+16+17+18．请问：在1至1000中一共有多少个满足上述要求的数？第2页（共23页）20．一个特殊的圆形钟表只有一根指针，指针每秒转动的角度为连续自然数数列．现在设定指针第一秒转动的角度为a度（a为小于360的整数），则其第二秒转动a+l度，第三秒转动a+2度…如果指针在第一圈内恰好能指回出发位置，那么a一共有几种设定方法？最小可以被设成多少？21．某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…，12．他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？22．在等差数列1，8，15，22，29，36，43，…中，如果前n个数乘积的末尾0的个数比前n+l个数乘积的末尾0的个数少3个，那么n最小是多少？三、超越篇（共8小题，满分0分）23．有一些正整数，它可以表示成连续20个正整数的和，而且当把它表示成连续正整数之和（至少2个）的形式时，恰好有20种方法．这样的正整数最小是多少？（写出质因数分解）24．有些自然数可以表示成两个合数相乘再加一个合数的形式，例如：33=4×6+9．请问：不能表示成这种形式的自然数最大是多少？25．在给定的圆周上有100个点．任取一点标上1；按顺时针方向从标有1的点往后数2个点，标上2；从标有2的点再往后数3个点，标上3…依此类推，直至在圆周上标出100．对于圆周上的这些点，有的点可能标上多个数，有的点可能没有被标数．请问：标有100的那个点上标出的数最小是多少？26．三个聪明的初中生聚在一起玩一个推理的游戏，小强与小花各选了一个自然数并分别将它告诉小安．小安告诉小强和小花，他将分别把这两个数的和与乘积写在不同的纸上．小安写好后，将其中一张纸藏起来，把另一张纸亮出来给小强和小花看（这张纸上写着2008）．小安请小强和小花互猜对方所选的数，小强首先宣称他无法确定小花所选的数，小花听完小强的话后，也说她无法确定小强所选的数．请问：小花所选的数是什么？27．已知三个互不相等的正整数成等比数列，且三个数的乘积是完全平方数，那么这三个数的和最小是多少？28．是否存在一个完全平方数，它的每一位上的数字全都相同（至少是两位数）？如果存在，请写出一个；如果不存在，请说明理由．29．有一根均匀木棍，先用红色刻度线将它分成m等份，再用蓝色刻度线将它分成n等份，m＞n．然后按所有刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长短不一的小棍，其中最长的小棍恰有100根．求m和n．30．是否存在这样的自然数：在这个数后面重写一遍这个数，新组成的数是一个完全平方数？如果存在，请举例；如果不存在，请说明理由．第3页（共23页）2014年六年级数学思维训练：数论综合二参考答案与试题解析一、兴趣篇1．有4个不同的正整数，它们中任意2个数的和都是2的倍数，任意3个数的和都是3的倍数．要使这4个数的和尽可能小，这4个数应该分别是多少？【分析】首先从被2、3整除数的特征入手，根据被3除的余数特征分析探讨得出答案即可．【解答】解：任意两数之和是2的倍数，说明这4个数要么都是2的倍数，要么都不是2的倍数．任意三数之和是3的倍数，分析几种假设：1、假设这四个数都是三的倍数﹣﹣情况可以成立；2、假设其中一个数是三的倍数﹣﹣这要求剩下三个数两两相加或三个相加都是3的倍数，而三个不是3倍数的数两两相加是无法得到3的倍数的数的（不是3的倍数的数与3相除得的余数只能是1和2，而1和2拿出3个来两两相加是无法都得到3的），不成立．3、假设其中两个数是三的倍数﹣﹣同样要求剩下的两个数中任意一个或者两个相加都是3的倍数，与假设违背，不成立．4、假设其中三个数是三的倍数﹣﹣要求剩下的一个数必须是三的倍数，同样与假设违背，不成立．因此，这四个数必须都是3的倍数（其中一个可为0）列出3的倍数（含0）0、3、6、9、12、15、18、21、24、27从中取出4个数，这四个数全是2的倍数：0、6、12、18从中取出4个数，这四个数不能是2的倍数：3、9、15、21很明显，0、6、12、18符合尽可能小的要求．所以这四个数为0、6、12、18．2．已知算式（1+2+3+…+n）+2007的结果可表示为n（n＞1）个连续自然数的和．请问：共有多少个满足要求的自然数n？【分析】1到n是n个连续自然数的和，将2007平均分给n个数，所得的n个数仍是连续的自然数，要将2007平均分成n份，所以2007能被n整除，即n是2007的约数．2007=1×3×3×223，约数共有6个（1，3，9，223，669，2007）．题目要求n大于1，去掉1，当n=3时，原式=1+2+3+669×3=670+671+672当n=9时，原式=1+2+3+…+9+223×9=224+225+…+232当n=223时，原式=1+…+223+9×223=10+11+…+232当n=669时，原式=1+…+669+3×669=4+5+…+672当n=2007时，原式=1+…+2007+1×2007=2+3+…+2008【解答】解：假设这n个自然数为k+11，k+2，…，k+n+n，则（k+1+1）+（k+2）+…+（k+n+n）=（1+2+3+.1+2+3+…+n+n）+2007得nk=2007（n，k为自然数）因为：第4页（共23页）2007=3×3×223所以2007的约数有3，9，223，669，2007，所以共15种情况．答：共有5个满足要求的自然数n．3．有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有4种．所有满足上述条件的自然数中最小的一个是多少？【分析】在所有的质数中，从小到大的那一组至少是41+4=45．于是对45、46、47根据题意进行拆分，从而找出满足上述条件的自然数中最小的一个数，解决问题．【解答】解：在所有的质数中，从小到大的那一组至少是41+4=45．按题目要求分析，45有如下12种方法：45=3+42=5+40=7+38=11+34=13+32=17+28=19+26=23+22=29+16=31+14=37+8=41+4按题目要求分析，46有如下7种方法：46=2+44=7+39=11+35=13+33=19+27=31+15=37+9按题目要求分析，47有如下7种方法：47=2+45=3+44=5+42=7+40=11+36=13+34=17+30=19+28=23+24=29+18=27+10=41+6=43+4因此，满足题意的最小自然数是47．4．甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小2008．满足上述条件的自然数有几组？【分析】可设甲、乙两个自然数分别为a、b，则：a2﹣ab=a（a﹣b）=2008=2×2×2×251，依此可求2008的约数的个数，进一步即可求解．【解答】解：设甲、乙两个自然数分别为a、b，则：a2﹣ab=a（a﹣b）=2008=2×2×2×251，2008的约数共有（3+1）×（1+1）=8（个），那么满足条件的解共有8÷2=4组．答：满足上述条件的自然数有4组．5．两个不同两位数的乘积为完全平方数，它们的和最大可能是多少？【分析】从最大的两位数99进行分析，得到满足条件的另外一个乘数，得到它们的和，再分析两位数98，进一步即可求解．【解答】解：最大的两位数是99，99=9×11，另外一个乘数要含因数11，最大是4×11=44，和=99+44=143；还有一种情况是98=2×49，另外一个乘数含因数2，最大是2×36=72，和=98+72=170．答：它们的和最大可能是170．6．n个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到2008．请问：n最小是多少？【分析】设它们的平均数为x，则nx×x=2008，即nx2=2008，由此即可得出答案．【解答】解：设它们的平均数为x，则nx×x=2008，即nx2=2008，因为2008=2×2×2×251，所以nx2=2008=502×22．答：n最小是502．7．一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=52﹣32，16就是一个“智慧数”，请问：从1开始的自然数列中，第2008个“智慧数”是多少？第5页（共23页）【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数=m2﹣n2=（m+n）（m﹣n），因为m，n是正整数，因而m+n和m﹣n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差．【解答】解：1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=（k+1）2﹣k2（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．对于被4整除的偶数4k，有4k=（k+1）2﹣（k﹣1）2（k=2，3，…）．即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．对于被4除余2的数4k+2（k=0，1，2，3，…），设4k+2=x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），其中x，y为