不定积分毕业论文

1本科生毕业论文设计不定积分的计算方法及拓展作者姓名：指导教师：所在学院：数学与信息科学学院专业（系）：数学与应用数学班级（届）：201X届数学X班二〇一五年四月二十四日2目录中文摘要、关键字………………………………………………………………11不定积分的计算方法……………………………………………………21.1分部积分法………………………………………………………………21.1.1分部积分法得基本认识……………………………………………21.1.2函数u、v的优选判别……………………………………………31.2第一换元积分法……………………………………………………41.2.1第一换元积分法概念……………………………………………41.2.2常用凑微分公式………………………………………………41.3第二换元积分法……………………………………………………51.3.1第二换元积分法概念……………………………………………51.3.2第二换元法的常用代换…………………………………………52几种特殊类型函数的积分………………………………………………82.1计算有理函数的不定积分……………………………………………82.1.1有理函数的基本认识……………………………………………92.1.2有理真分式分解及部分分式法…………………………………92.2计算三角函数有理式的不定积分…………………………………112.3计算某些无理根式的不定积分………………………………………142.4计算分段函数的不定积分……………………………………………16参考文献………………………………………………………………………17英文摘要、关键字………………………………………………………………181不定积分的计算方法及拓展数学与信息科学学院数学与应用数学指导教师作者摘要:不定积分在数学分析学科中的占据着重要地位.不定积分是计算微分的逆运算,是计算函数定积分运算的基本前提,是一种处理具体应用如,物理学运动、液体流速等,经济学函数数量统计,以及几何学上曲线、曲面等问题的重要途径.本文主要阐述了三种常用的计算方法和四类特殊函数的不定积分计算方法.关键字:原函数不定积分变量代换有理式有理化三角函数有理式无理根式2引言不定积分的计算方法的研究不仅仅是某些经验方法的积累它存在着更多哲学的思辨.它依靠一定的逻辑规则为微积分学科的应用与思辩开拓了新途径,是定积分计算的基础.针对有理式、三角函数有理式及无理根式三种特殊函数的不定积分在思想及具体方法进行的探究联系与总结.最终,归纳分类形成合理的统一的公式解法.1不定积分的计算方法应用基本积分公式表、积分性质以及某些复合运算的技巧可解得一些函数的原函数.而一些不符合基本积分公式的函数计算不定积分经转化最终也可归为基本不定积分.对于如lnx,tanx,cotx,secx,cscx,arcsinx,arctanx等这类无法直接应用基本积分公式的初等函数求其原函数,我们需要从一些求导法则去导出相应的不定积分法则,扩充不定积分公式.1.1分部积分法1.1.1分部积分法得基本认识定理1假设有()ux、()vx可导,且()()uxvx存在,于是有不定积分()()uxvx也存在,并有()()()()()()uxvxdxuxvxuxvx.常简写作udvuvvdu[1].一般地,被积函数中若含有某些幂函数,无理根式,对数函数,反三角函数等因式时可应用分部积分法计算不定积分,可将这类因式作为u;对于容易看出v,且v的原函数易解得的情况下也可以应用分部积分法[3].例1计算cosxxdx.解:令,ux,cosvx则有1u,sinvx.由分部积分公式得cossinsinsincosxxdxxxxdxxxxC.例2计算arctanxdx.解:令arctanux,1v,则211ux,vx,由分部积分公式得221arctanarctanarctanln(1)C12xxdxxxdxxxxx.有些情况下,可能需多次应用分部积分法,若循环出现某个积分,可应用解方3程的思想求解.例3计算2Ixadx.分析:2xa应用分部积分法;同时,需作适当的代换求解.解:222xIxxadxxa,由于222xdxdxIaxaxa,可设2txxa,22xxadtdxxa,2dxdttxa;整理得221lnC221axaxxIxa.1.1.2函数u、v的优选判别分部积分的难点不仅在于积分方法的正确应用还在于函数u、v的正确选择[8].函数u、v的选择原则:(1)由v计算v要容易求得(应用分部积分公式的前提);(2)vdu需比udv更容易导出(应用分部积分公式的目的)[4].Ⅰ.()kxnPxadx,()sinnPxkxdx类型积分.()nPx是关于x的n次多项式,0a;其中kxa,sinkx所表示的是指其代表的一类函数,k是常数.取P()nux.例4计算2(x1)3xIdx.分析:令21ux,3xv,需重复应用分部积分公式;解:+1)+1-ln32223(23213()Cln3ln3ln3ln3xxxxxIxdxx.Ⅱ.()lndnPxxx,()arcsindnPxxx类型积分.其中lnx,arcsinx等表示的是其所属的一类函数.取()nvPx.例5计算arccosdxxx.分析:依据上述说明arccosux,vx,应用适当的根式代换求解即可;4解:222arccosdarccos221xxdxxxxxx,221arccosdarccosarcsin1242xxxxxxxxC.Ⅲ.sinkxanxdx,coskxanxdx类型不定积分.需重复应用分部积分公式或应用公式uvdxuvuvuvdx.特别的,①22sinsincostteetdtttC;②22cos(sinsincoscossincos)tteetdtttttC.例6计算cos,0axIebxdxab.解:设cosubx,2axeva则sinubbx,2cosubbx;axeva,axve;整理,得22cossinaxabxbbxIeCab.1.2第一换元积分法1.2.1第一换元积分法的概念定理2若被积函数(x)(())()fguxux,且()G()guduuC,则有()()d()fxdxguuGuC[2].第一积分换元积分法也称“凑”微分积分法,它常常由基础积分公式转化而来通过凑微分的方法引出新的积分变量.1.2.2常用凑微分公式Ⅰ.凑常数:1()()faxbdxFaxbCa.Ⅱ.凑幂函数:1()[()]()[()]()C1fxfxfxdxfxdfxⅢ.凑三角函数:(sin)cosd(sin)dcosfxxxfxx;2(tan)(tan)tancosdxfxfxdxx;52(arcsin)d(arcsin)darcsin1fxxfxxx;2(arctan)d(arctan)darctan1fxxfxxx.Ⅳ.凑倒数:()()ln()C()()fxdfxdxfxfxfx,(其中(x)0f).例7计算sincos1xxdxe;2）2arcsin1xdxx.解:1）令sintx,则有sincos11xtxdxdtIee,因121tttedtdee,故,211221(-1)ttttdedeIeesin2arctan-12arctan-1txeCeC.2）令sintarcx,由于,因此21dxdtx322arcsin2(arcsin)13xIdxtdtxx.1.3第二换元积分法(代换法)1.3.1第二换元积分法概念定理3若被积函数()g(())()fxxx,()0ux且存在()()Fxfx,则有1()d(())()()(())guugxxdxfxdxFuC[2].第二换元积分法并不是单纯的复合函数求导的逆过程,也涉及到反函数求导定理.第二积分换元法,主要应用于计算无理根式的不定积分.针对此类含根式的不定积分,该方法可设法消去根号,将其转化为简单函数的不定积分.1.3.2第二换元法的常用代换代换变形去将被积函数化成容易计算的形式.常见的积分的代换有根式代换、三角函数代换、倒置代换[5].Ⅰ.根式代换当被积函数中为根式如,naxb、1122naxbaxb,可设()Mxt.6例8计算1）3751dxx;2)11xdxxx.解:1）设375tx,则235dxt,于是23351751dxtdttx,233333(75)3675ln751C1055751dxxxxx.2)令1xtx,则1t,211xt,222(1)tdxdtt;于是2221121(1)2ln(122(1))C(1)xtxdxttdtxxxxxtx.Ⅱ.三角函数变换①被积函数含因式22ax,可设sinxat或cosxat进行转化;②被积函数含因式22xa,可设tanxat或cotxat进行转化;③被积函数含因式22xa,可设secxat或cscxat进行转化.例9计算1)22axdx;2)22dxxa;.解:1)设sinxat,则有cosdxatdt.于是arcsinxta,axa,22t;则有22222222sincoscos(1cos2)2aaxdxaatatdtatdttdt整理得2222221(tsin2)CarcsinC2222aaxxaxdxtaxa.2)设tanxax,22seccosadxdtatdtt;当22t时,tanxax存在反函数,由此2222secseclnsectanCtan1dxatdttdtttxaat;（方法引入）根据tanxta构造参考直角三角形,则有22secxata,7222222lnClnCdxxaxxaxaaaxa221lnCxax.例10(区分变形)计算22=Kxadx.分析:利用分部积分法222222=Kxadxxxaxdxa,其中,222222222222xaadxIxdxadxxadxaxaxa,整理得22222lnx22xaKxaxaC.Ⅲ.倒置代换若被积函数的分母中含因子2axbxc或分母次数较高时,可令1xt.例11计算2321dxxxx.分析:被积函数分母中含根式2321xx,可应用倒置代换;另外,分母中存在2at形式根式可令2utat进行二次代换.解:令1tx,则有1xt,2dxtdt,于是2222dt=-1323212(t1)1dxtdtxxxttt;令2(1)2(1)utt,于是221321lnC321dxxxxxxxxx.例12计算71(1)dxxx.解:若1xt,则21dxdtt,于是677711ln21C(1)114tdxxxxt.8Ⅳ.指数代换当被积函数含有因子xe时,可令xte以简化被积函数.例13计算2(1)xxdxee.解:令xte,则0t,xdedt;于是22222(1)(1)(1)xxxxxdxdedteeeett,11arctanarctanxxtCeCte